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2008年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学理

?1?

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 学(理科)

本试题卷分第Ⅰ 卷和第Ⅱ 卷两部分。 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k P (k ) ? Cn Pk (1 ? p)n?k (k ? 01 2, ,n) , ? , n

球的表面积公式 球的体积公式

S ? 4πR2
V? 4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径 其中 R 表示球的半径

第Ⅰ (共 50 分) 卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1.已知 a 是实数, A.1

a?i 是春虚数,则 a =( 1? i
C. 2 D. ? 2



B.-1

2.已知 U=R,A= ?x | x ? 0?,B= ?x | x ? ?1? ,则(A ? A ? Cu B? ? ?B ? Cu A? ? ( A. ? B. ?x | x ? 0? C. ?x | x ? ?1 ? D. ?x | x ? 0或x ? ?1 ? )



3.已知 a ,b 都是实数,那么“a2>b2”是“ a >b”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.在(x―1)(x―2)(x―3)(x―4)(x―5)的展开式中,含 x4 的项的系数是( A.-15 B.85 C.-120 D.274 5.在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( A.0 B.1 C.2 D.4



x 3? 1 ? )( x ? [0, ]) 的图象和直线 y ? 的交点个数是( 2? 2 2 2



6.已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? A.16( 1 ? 4
?n



1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =( ) 4 32 32 ?n ?n ?n B.16( 1 ? 2 ) C. (1 ? 4 ) D. (1 ? 2 ) 3 3

?2?

7.若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3∶2,则双曲线的离心率是( a2 b2
B.5 C. 3 D. 5



A.3

8.若 cos a ? 2sin a ? ? 5 ,则 tan a =( A.



1 2

B.2

C. ?

1 2

D. ? 2

9.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是( A.1 B.2 C. 2 D.



2 2

10.如图,AB 是平面 a 的斜线段,A 为斜足,若点 P 在平面 a 内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点 P 的 轨迹是( )

A.圆

B.椭圆

C.一条直线

D.两条平行直线

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知 a >0,若平面内三点 A(1,-a) ,B(2,a2) ,C(3,a3)共线,则 a =________。 12.已知 F1、F2 为椭圆 |AB|=______________。 13.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 25 9

? 3b ? c?cos A ? a cosC ,则 cos A ? ________。

14.如图,已知球 O 的面上四点 A、B、C、D,DA⊥平面 ABC,AB⊥BC, DA ? AB ? BC ? 3 ,则球 O 的体 积等于________。

2 15.已知 t 为常数,函数 y ? x ? 2 x ? t 在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=__________。

16.用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字) ,要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且 1 和 2 相邻, 这样的六位数的个数是__________(用数字作答) 。

?3?

? x ? 0, ? 17.若 a≥0,b≥0,且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax ? by ? 1 ,则以 a ,b 为坐标点 P( a ,b)所形成的平面区域的面 ?x ? y ? 1 ?
积等于____________。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题 14 分) 如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°, AD ? 3 ,EF=2。

(Ⅰ)求证:AE∥平面 DCF; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A—EF—C 的大小为 60°? 19. (本题 14 分) 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是 袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是

2 ;从 5

7 。 9

(Ⅰ)若袋中共有 10 个球, (i)求白球的个数; (ii)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为ξ ,求随 机变量ξ 的数学期望ξ 。 (Ⅱ)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 最少。 20. (本题 15 分)

7 。并指出袋中哪种颜色的球个数 10

1 3 5 , )和到直线 y ? ? 距离相等的点的轨迹。 l 是过点 Q (-1,0)的直线,M 是 2 8 8 C 上(不在 l 上)的动点;A、B 在 l 上, MA ? l , MB ? x 轴(如图) 。
已知曲线 C 是到点 P( ?

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)求出直线 l 的方程,使得

QB

2

QA

为常数。

?4?

21. (本题 15 分)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

x ( x ? a) 。

(Ⅱ)设 g (a ) 为 f ( x ) 在区间 ?0,2? 上的最小值。 (i)写出 g (a ) 的表达式; (ii)求 a 的取值范围,使得

? 6 ? g (a) ? ?2 。
22. (本题 14 分) 已知数列 ?an ? , an ? 0 , a1 ? 0 , an?1 ? an?1 ? 1 ? an (n ? N ? ) 。记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,
2 2

Tn ?

1 1 1 。求证:当 n ? N * 时, ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? a n )

(Ⅰ) an ? an ?1 ; (Ⅱ) S n ? n ? 2 ; (Ⅲ) Tn ? 3 。

参考答案 1.D 2.D 11. 1 ? 2

3.D 12.8

4.A 13.

5.C 14.

6.C

7.D 15.1

8.B 16.40

9.C 17.1

10.B

3 3

9? 2

18.解法 1: (Ⅰ)证明:过点 E 作 EG⊥CF 交 CF 于 G,连接 DG,可得四边形 BCGE 为矩形,又 ABCD 为矩 形,所以 AD∥EG,从而四边形 ADGE 为平行四边形,故 AE∥DG。 因为 AE ? 平面 DCF,DG ? 平面 DCE, 所以 AE∥平面 DGF。

(Ⅱ)解:过点 B 作 BH⊥EF 交 FE 的延长线于 H,连接 AH,由平面 ABCD⊥平面 BEFC,AB⊥BC,得 AB ⊥平面 BEFC,从而 AH⊥EF,所以∠AHB 为二面角 A—EF—C 的平面角。 在 Rt△EFG 中,因为 EG ? AD ? 3 ,EF=2, 所以∠CFE=60°,FG=1,又因为 CE⊥EF, 所以 CF=4,从而 BE=CG=3, 于是 BH ? BE ? sin ?BEH ?

3 3 。 2

?5?

因为 AB ? BH ? tan ?AHB ,所以当 AB 为

9 时,二面角 A—EF—C 的大小为 60°。 2

解法 2:如图,以点 C 为坐标原点,以 CB、CF 和 CD 分别作为 x 轴、y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 C —xyz。

设 AB=a,BE=b,CF=c,则 C (0,0,0), A( 3,0, a) , B( 3,0,0) , E( 3, b,0) ,F (0,c,0)。 (Ⅰ)证明: AE ? (0, b, ?a) , CB ? ( 3,0,0) , BE ? (0, b,0) , 所以 CB ? AE ? 0 , CB ? BE ? 0 ,从而 CB⊥AE,CB⊥BE,所以 CB⊥平面 ABE。 因为 CB⊥平面 DCF,所以平面 ABE∥平面 DCF,故 AE∥平面 DCF。 (Ⅱ)解:因为 EF ? (? 3, c ? b,0) , CE ? ( 3, b,0) , 所以 EF ? CE ? 0 , | EF |? 2 ,从而 ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

? ?3 ? b ( c ? b ) ? 0 , 2 ? 3 ? (c ? b ) ? 2

解得 b=3,c=4,所以 E( 3,3,0) ,F (0,4,0)。 设 n=(1,y,z)与平面 AEF 垂直, 则 n ? AE ? 0 , n ? EF ? 0 ,解得 n ? ?1, 3, 又因为 BA⊥平面 BEFC, BA ? (0,0, a) ,

??? ?

??? ?

? ? ?

3 3? ?。 a ? ?

??? ?

??? ? ???? ? 9 | BA ? n | 3 3a 1 ? 所以 cos? n, BA? ? ??? ? ? ,得到 a ? 。 2 2 | BA | ? | n | a 4a ? 27 2
所以当 AB 为

9 时,二面角 A—EF—C 的大小为 60°。 2

19. (Ⅰ)解: (i)记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 A,设袋中白球的个数为 x,则

P( A) ? 1 ?

2 C10? x 7 ? ,得到 x=5。故白球有 5 个。 2 C10 9

(ii)随机变量ξ 的取值为 0,1,2,3,分别列是 ξ P 0 1 2 3

1 12

5 12

5 12

1 12

?6?

ξ 的数学期望

E? ?

1 5 5 1 3 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 。 12 12 12 12 2 2 y 1 n ,所以 2y<n,2y≤n-1 故 ? 。 5 n ?1 2

(Ⅱ)证明:设袋中有 n 个球,其中 y 个黑球,由题意得 y ? 记“从袋中任意摸出两个球,至少有 1 个黑球”为事件 B,则

P( B) ?

2 3 y 2 3 1 7 ? ? ? ? ? ? 。 5 5 n ? 1 5 5 2 10 2 n n ,红球的个数小于 。故袋中红球个数最少。 5 5

所以白球的个数比黑球多,白球个数多于

20. (Ⅰ)解:设 N (x,y)为 C 上的点,

1? ? 3? 5 5 ? 则 | NP |? ? x ? ? ? ? y ? ? ,N 到直线 y ? ? 的距离为 y ? 。 8 2? ? 8? 8 ? 1? ? 3? 5 ? 由题设得 ? x ? ? ? ? y ? ? ? y ? , 2? ? 8? 8 ?
化简,得曲线 C 的方程为 y ?
2 2

2

2

1 2 ( x ? x) 。 2

? x2 ? x ? (Ⅱ)解:设 M ? x, ? ,直线 l : y ? kx ? k ,则 B( x, kx ? k ) , 2 ? ?
从而 | QB |? 1 ? k 2 | x ? 1| 。 在 Rt△QMA 中,因为 | QM |2 ? ( x ? 1) 2 ?1 ?

? ?

x2 ? ?, 4?

x? ? ( x ? 1) ? k ? ? ( x ? 1)2 2? ? 2 2 2 | MA |2 ? ,所以 | QA | ?| QM | ? | MA | ? (kx ? 2)2 。 2 1? k 2 4(1 ? k )
2

2

| QA |?

| x ? 1| ? | kx ? 2 | 2 1? k 2



| QB |2 2(1 ? k 2 ) 1 ? k 2 x ? 1 。 ? ? 2 | QA | |k| x? k
当 k=2 时,

| QB |2 ? 5 5 ,从而所求直线 l 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 。 | QA |

? x2 ? x ? 2 M ? x, 解法 2:设 ? ,直线 l : y ? kx ? k ,则 B( x, kx ? k ) ,从而 | QB |? 1 ? k | x ? 1| 。 2 ? ?

?7?

过 Q (-1,0)垂直于 l 的直线 l1 : y ? ? 因为|QA|=|MH|,所以 | QA |?

1 ( x ? 1) 。 k


| x ? 1| ? | kx ? 2 | 2 1? k 2

| QB |2 2(1 ? k 2 ) 1 ? k 2 x ? 1 。 ? ? 2 | QA | |k| x? k
当 k=2 时,

| QB |2 ? 5 5 ,从而所求直线 l 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 。 | QA |
x ? a 3x ? a ? ( x ? 0) 。 2 x 2 x

21. (Ⅰ)解:函数的定义域为 [0, ??) , f '( x) ?

x?

若 a≤0,则 f '( x) ? 0 , f ( x ) 有单调递增区间 [0, ??) , 若 a>0,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ? 当x?

a , 3

a 时, f '( x) ? 0 , 3

a 时, f '( x) ? 0 , 3

? a? ?a ? f ( x) 有单调递减区间 ? 0, ? ,单调递增区间 ? , ?? ? 。 ? 3? ?3 ?
(Ⅱ)解: (i)若 a≤0, f ( x ) 在[0,2]上单调递增,所以 g (a) ? f (0) ? 0 。

若 0<a<6, f ( x ) 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? , 2 ? 上单调递增, 3 3 所以 g (a) ? f ?

? a? ? ?

?a ?

? ?

2a a ?a? , ??? 3 3 ?3?

若 a≥6, f ( x ) 在[0,2]上单调递减,所以 g (a) ? f (2) ? 2(2 ? a) 。

?0, a ? 0, ? 2a a ? , 0 ? a ? 6, 综上所述, g (a ) ? ?? ? 3 3 ? 2(2 ? a), a ? 6. ?
(ii)令 ?6 ? g (a) ? ?2 。 若 a≤0,无解。 若 0<a<6,解得 3≤a<6。

?8?

若 a≥6,解得 6 ? a ? 2 ? 3 2 。 故 a 的取值范围为 3 ? a ? 2 ? 3 2 。 22. (Ⅰ)证明:用数学归纳法证明。①当 n=1 时,因为 a2 是方程 x2+x-1=0 的正根,所以 a1<a2。 ②假设当 n=k(k∈N*)时, ak ? ak ?1 ,
2 2 2 2 因为 ak ?2 ? ak ? (ak ?2 ? ak ?1 ?1) ? (ak ?1 ? ak ?1 ?1) ? (ak ?2 ? ak ?1 )(ak ?2 ? ak ?1 ? 1) ,

所以 ak ?1 ? ak ?2 。 即当 n=k+1 时, an ? an?1 也成立, 根据①和②,可知 an ? an?1 对任何 n∈N*都成立。
2 2 (Ⅱ)证明:由 ak ?1 ? ak ?1 ?1 ? ak ,k=1,2,?,n-1(n≥2) 2 2 2 得 an ? (a2 ? a3 ? ?? an ) ? (n ?1) ? a1 ,因为 a1=0,所以 Sn ? n ?1 ? an 。 2 2 由 an ? an?1 及 an?1 ? 1 ? an ? an?1 ? 1得 an ? 1 。

所以 Sn ? n ? 2 。
2 2 (Ⅲ)证明:由 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ? ak ? 2ak ,得

a 1 ? k ?1 (k ? 2,3,?, n ? 1, n ? 3) , 1 ? ak ?1 2ak

所以

a 1 ? n?2n (n ? 3) , (1 ? a3 )(1 ? a4 )? (1 ? an ) 2 a2
a 1 an 1 ? nn 2 ? n ? 2 (n ? 3) , ? n?2 2 ? 2 (1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) 2 (a2 ? a2 ) 2

于是

故当 n≥3 时, Tn ? 1 ? 1 ?

1 1 ? ? ? n?2 ? 3 , 2 2

又因为 T1<T2<T3,所以 Tn<3。


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