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南通市启东市2015-2016学年高二下期末数学试卷含答案解析


2015-2016 学年江苏省南通市启东市高二(下)期末数学试卷
I 卷一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.已知集合 P={1,2,3,4},Q={0,3,4,5},则 P∩Q=________. 2.函数 f(x)= + 的定义域为________.

3. 用系统抽样的方法从 480 名学生中抽取容量为 20 的样本, 将 480 名学生随机地编号为 1~ 480.按编号顺序平均分为 20 个组(1~24 号,25~48 号,…,457~480 号) ,若第 1 组用 抽签的方法确定抽出的号码为 3,则第 4 组抽取的号码为________. 4.如图所示的流程图,输入的 a=2017,b=2016,则输出的 b=________.

5.在一个盒子中有分别标有数字 1,2,3,3,4 的 5 张卡片,现从中一次取出 2 张卡片, 在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是________. 6.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了 150 分到 450 分 之间的 1000 名学生的成绩, 并根据这 1000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图 (如图) , 则成绩在[300,350)内的学生人数共有________.

7.如图所示,该伪代码运行的结果为________.

8.已知函数 f(x)=|lgx|,若存在互不相等的实数 a,b,使 f(a)=f(b) ,则 ab=________. 9.若函数 f(x)= x3﹣ax2+1 在 x=﹣4 处取得极大值,则实数 a 的值为________.

10.已知函数 f(x)=

,则 f(log23+2016)=________.

11.若不等式 x2﹣2ax﹣b2+12≤0 恰有一解,则 ab 的最大值为________.

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12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f(x)=lnx(x≥1)的图象上的动点,该 图象在 P 处的切线 l 交 x 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 x 轴于点 N,设线段 MN 的中点的 横坐标为 t,则 t 的最大值是________. 13.已知函数 f(x)= 实数 k 的取值范围是________. 14.设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R,若对任意 x2>x1>0,f(x2)﹣f(x1)<x2﹣x1 恒成立, 则实数 m 的取值范围是________. 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15.设关于 x 的不等式(x+2) (a﹣x)≥0(a∈R)的解集为 M,不等式 x2﹣2x﹣3≤0 的 解集为 N,且 M∩N=[﹣1,2] (1)求实数 a 的值; (2)若在集合 M∪N 中任取一个实数 x,求“x∈M∩N”的概率. 16.函数 f(x)= (a、b、c∈Z)是奇函数,且 f(1)=2,f(2)<3 ,若函数 y=f(f(x) )﹣k 有 3 个不同的零点,则

(1)求 a、b、c 的值; (2)当 x<0 时,求函数 f(x)的单调区间. 17.启东市某中学传媒班有 30 名男同学,20 名女同学,在该班中按性别用分层抽样的方法 抽取一个容量为 5 的样本组成课外兴趣小组. (1)求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验,方法是 先从小组里选出 1 名同学做实验, 该同学做完后, 再从小组每剩下的同学中选一名同学做实 验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率; (3)实验结束后,第一次做实验的同学得到的实验数据为 68,70,71,72,74,第二次做 实验的同学得到的实验数据为 69,70,70,72,74,请问哪次做实验的同学的实验更稳定? 并说明理由. 18.已知 a 为实数,函数 f(x)=(x2+1) (x+a) (1)若函数 f(x)在 R 上存在极值,求实数 a 的取值范围; (2)若 f′(1)=0,求函数 f(x)在区间[﹣1, ]上的最大值和最小值; (3)若函数 f(x)在区间[﹣1, ]上不具有单调性,求实数 a 的取值范围. 19.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c. (1)若 f(﹣1)=0,试判断函数 f(x)的零点个数; (2)是否存在实数 a,b,c,使得 f(x)同时满足以下条件: ①对? x∈R,f(x﹣2)=f(﹣x) ; ②对? x∈R,0≤f(x)﹣x≤ (x﹣1)2?如果存在,求出 a,b,c 的值,如果不存在, 请说明理由. 20.已知函数 f(x)=(x﹣1)ex﹣ ax3﹣ x2+1(a∈R) .
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(1)当 a=0 时,求 f(x)的单调区间; (2)若在区间[0,+∞)上关于 x 的不等式 f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. II 卷 21.已知矩阵 A 将点(1,0)变换为(2,3) ,且属于特征值 3 的一个特征向量是 矩阵 A. ,求

22. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2sinθ, 直线 l 的参数方程是

(t 为参数) . 设

直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 23.某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行 4 次考核,规定:按顺序考核,一旦考 核合格就不必参加以后的考核, 否则还需要参加下次考核, 若小李参加每次考核合格的概率 依次组成一个公差为 的等差数列,他参加第一次考核合格的概率超过 ,且他直到参加第 二次考核才合格的概率为 .

(1)求小李第一次参加考核就合格的概率 p1; (2)求小李参加考核的次数 X 的分布列和数学期望 E(X) . 24.已知函数 f(x)=ln(2x+a)﹣4x2﹣2x 在 x=0 处取得极值. (1)求实数 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; (2)证明:对任意的正整数 n,不等式 2+ + +…+ >ln(n+1)都成立.

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2015-2016 学年江苏省南通市启东市高二(下)期末数学 试卷
参考答案与试题解析

I 卷一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.已知集合 P={1,2,3,4},Q={0,3,4,5},则 P∩Q={3,4}. 【考点】交集及其运算. 【分析】根据交集的定义,进行计算即可. 【解答】解:集合 P={1,2,3,4},Q={0,3,4,5}, 所以 P∩Q={3,4}. 故答案为:{3,4}.

2.函数 f(x)=

+

的定义域为[﹣3,1].

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据二次根式的性质得到关于 x 的不等式组,求出函数的定义域即可. 【解答】解:由题意得: ,解得:﹣3≤x≤1, 故答案为:[﹣3,1]. 3. 用系统抽样的方法从 480 名学生中抽取容量为 20 的样本, 将 480 名学生随机地编号为 1~ 480.按编号顺序平均分为 20 个组(1~24 号,25~48 号,…,457~480 号) ,若第 1 组用 抽签的方法确定抽出的号码为 3,则第 4 组抽取的号码为 75. 【考点】系统抽样方法. 【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可. 【解答】解:用系统抽样的方法从 480 名学生中抽取容量为 20 的样本. 则样本间隔为 480÷20=24, 若第 1 组用抽签的方法确定抽出的号码为 3, 则第 4 组抽取的号码为 3+24×3=75, 故答案为:75 4.如图所示的流程图,输入的 a=2017,b=2016,则输出的 b=2017.

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【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次计算 a,b 的值即可得解. 【解答】解:模拟程序的运行,可得 a=2017,b=2016, a=2017+2016=4033 b=4033﹣2016=2017 输出 a 的值为 4033,b 的值为 2017. 故答案为:2017. 5.在一个盒子中有分别标有数字 1,2,3,3,4 的 5 张卡片,现从中一次取出 2 张卡片, 在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是 . 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 先求出基本事件总数, 再求出在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个 数,由此能求出在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率. 【解答】解:在一个盒子中有分别标有数字 1,2,3,3,4 的 5 张卡片, 现从中一次取出 2 张卡片, 基本事件总数 n= =10, =4,

在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数 m= ∴在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率 p= 故答案为: . .

6.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了 150 分到 450 分 之间的 1000 名学生的成绩, 并根据这 1000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图 (如图) , 则成绩在[300,350)内的学生人数共有 300.

【考点】频率分布直方图. 【分析】结合图形,求出成绩在[300,350)内的学生人数的频率,即可求出成绩在[300, 350)内的学生人数. 【解答】解:根据题意,成绩在[300,350)内的学生人数的频率为 1﹣(0.001+0.001+0.004+0.005+0.003)×50=1﹣0.7=0.3, ∴成绩在[300,350)内的学生人数为:1000×0.3=300; 故答案为:300. 7.如图所示,该伪代码运行的结果为 9.
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【考点】伪代码. 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 S,i 的值,当 S=25 时不满足条件 S≤20, 退出循环,输出 i 的值为 9. 【解答】解:模拟执行程序,可得 i=1,S=1 满足条件 S≤20,执行循环体,i=3,S=4 满足条件 S≤20,执行循环体,i=5,S=9 满足条件 S≤20,执行循环体,i=7,S=16 满足条件 S≤20,执行循环体,i=9,S=25 此时,不满足条件 S≤20,退出循环,输出 i 的值为 9. 故答案为:9. 8.已知函数 f(x)=|lgx|,若存在互不相等的实数 a,b,使 f(a)=f(b) ,则 ab=1. 【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】若互不相等的实数 a,b,使 f(a)=f(b) ,则 1ga=﹣lgb,结合对数的运算性质, 可得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)=|lgx|, 若互不相等的实数 a,b,使 f(a)=f(b) , 则 1ga=﹣lgb, 即 lga+lgb=lg(ab)=0, ∴ab=1, 故答案为:1 9.若函数 f(x)= x3﹣ax2+1 在 x=﹣4 处取得极大值,则实数 a 的值为﹣2. 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出 a 的值即可. 【解答】解:f′(x)=x2﹣2ax=x(x﹣2a) , 令 f′(x)=0,解得;x=0 或 x=2a, 若函数 f(x)= x3﹣ax2+1 在 x=﹣4 处取得极大值, 则 2a=﹣4,解得:a=﹣2, 故答案为:﹣2.

10.已知函数 f(x)= 【考点】函数的值.

,则 f(log23+2016)= .

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【分析】利用分段函数及对数、指数性质及运算法则求解. 【解答】解:∵函数 f(x)= ,

∴f(log23+2016)=f(log23﹣1)= 故答案为: .

=

= .

11.若不等式 x2﹣2ax﹣b2+12≤0 恰有一解,则 ab 的最大值为 6. 【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】 根据题意△=0,得出 a2+b2=4, 利用基本不等式 ab≤ 【解答】解:不等式 x2﹣2ax﹣b2+12≤0 恰有一解, 所以△=4a2﹣4(﹣b2+12)=4a2+4b2﹣48=0, 即 a2+b2=12; 所以 ab≤ =6,当且仅当 a=b=± 时,“=”成立; 即可求出 ab 的最大值.

即 ab 的最大值为 6. 故答案为:6. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f(x)=lnx(x≥1)的图象上的动点,该 图象在 P 处的切线 l 交 x 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 x 轴于点 N,设线段 MN 的中点的 横坐标为 t,则 t 的最大值是 .

【考点】利用导数研究函数的极值;对数函数的图象与性质. 【分析】由题意设点 P 的坐标为(m,lnm) ;从而写出直线方程,从而得到 M(m﹣mlnm, 0) ,N(m+ ,0) ;从而求得 t= (2m+ ﹣mlnm) (m>1) ;再由导数求最值即可

【解答】解:设点 P 的坐标为(m,lnm) ; f′(m)= ; 则切线 l 的方程为 y﹣lnm= (x﹣m) ; l 的垂线的方程为 y﹣lnm=﹣m(x﹣m) ; 令 y=0 解得, M(m﹣mlnm,0) ,N(m+ 故 t= (2m+ ,0) ;

﹣mlnm) (m>1) ;

t′=



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故 t= (2m+

﹣mlnm)先增后减, ;

故最大值为 (2e+ ﹣e)= 故答案为:

13.已知函数 f(x)=

,若函数 y=f(f(x) )﹣k 有 3 个不同的零点,则

实数 k 的取值范围是﹣2≤k<﹣1. 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】作出函数 y=f(f(x) )的图象,即可确定实数 k 的取值范围. 【解答】解:由题意,x≤﹣1,f(x)=1﹣x2≤0,f(f(x) )=1﹣(1﹣x2)2; ﹣1<x≤0,f(x)=1﹣x2>0,f(f(x) )=﹣2+x2; x>0,f(x)=﹣x﹣1<0,f(f(x) )=1﹣(﹣x﹣1)2. 函数 y=f(f(x) )的图象如图所示, ∵函数 y=f(f(x) )﹣k 有 3 个不同的零点, ∴﹣2≤k<﹣1. 故答案为:﹣2≤k<﹣1.

14.设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R,若对任意 x2>x1>0,f(x2)﹣f(x1)<x2﹣x1 恒成立, 则实数 m 的取值范围是[ ,+∞) . 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】问题转化为函数 g(x)=f(x)﹣x=lnx+ ﹣x 在(0,+∞)递减,即 m≥x﹣x2 在 (0,+∞)恒成立,求出 m 的范围即可. 【解答】解:若对任意 x2>x1>0,f(x2)﹣f(x1)<x2﹣x1 恒成立, 即若对任意 x2>x1>0,f(x2)﹣x2<f(x1)﹣x1 恒成立,

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即函数 g(x)=f(x)﹣x=lnx+ ﹣x 在(0,+∞)递减,

g′(x)=

≤0 在(0,+∞)恒成立,

即 m≥x﹣x2 在(0,+∞)恒成立, 而 x﹣x2=﹣ ∴m≥ , 故答案为:[ ,+∞) . + ≤ ,

二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15.设关于 x 的不等式(x+2) (a﹣x)≥0(a∈R)的解集为 M,不等式 x2﹣2x﹣3≤0 的 解集为 N,且 M∩N=[﹣1,2] (1)求实数 a 的值; (2)若在集合 M∪N 中任取一个实数 x,求“x∈M∩N”的概率. 【考点】几何概型;一元二次不等式的解法. 【分析】 (1)根据不等式的解法先求出 N,根据 M∩N=[﹣1,2],得到 2 是方程(x+2) (a ﹣x)=0 的根,进行求解即可. (2)求出集合 M,以及 M∪N,根据几何概型的概率公式进行计算即可. 【解答】解: (1)由 x2﹣2x﹣3≤0 得(x+1) (x﹣3)≤0,得﹣1≤x≤3,即 N=[﹣1,3], ∵M∩N=[﹣1,2] ∴2 是方程(x+2) (a﹣x)=0 的根,则 4(a﹣2)=0,得 a=2, (2)当 a=2 时,x+2) (a﹣x)≥0 等价为 x+2) (2﹣x)≥0 得﹣2≤x≤2,即 M=[﹣2,2], 则 M∪N=[﹣2,3], ∵M∩N=[﹣1,2] ∴在集合 M∪N 中任取一个实数 x,求“x∈M∩N”的概率 P= = .

16.函数 f(x)=

(a、b、c∈Z)是奇函数,且 f(1)=2,f(2)<3

(1)求 a、b、c 的值; (2)当 x<0 时,求函数 f(x)的单调区间. 【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 【分析】 (1)由条件利用函数的奇偶性求得 a、b、c 的值. (2)当 x<0 时,根据函数 f(x)=x+ 【解答】解: (1)∵函数 f(x)= 的图象,利用导数求得它的单调区间. (a、b、c∈Z)是奇函数,

∴f(﹣x)=

=﹣f(x)=﹣

,∴c=0.

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又∵f(1)=2,∴ 根据 f(2)=

=

=2,∴a+1=2b.

<3,∴a=b=1.

综上可得,a=b=1,c=0. (2)当 x<0 时,函数 f(x)= =x+ ,∴f′(x)=1﹣ ,令 f′(x)=0,求得 x=﹣1,

在(﹣∞,﹣1)上,f′(x)>0,函数 f(x)单掉递增,在(﹣1,0)上,f′(x)<0,函 数 f(x)单掉递减, 故单调增区间为(﹣∞,﹣1) ,单调减区间为(﹣1,0) . 17.启东市某中学传媒班有 30 名男同学,20 名女同学,在该班中按性别用分层抽样的方法 抽取一个容量为 5 的样本组成课外兴趣小组. (1)求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验,方法是 先从小组里选出 1 名同学做实验, 该同学做完后, 再从小组每剩下的同学中选一名同学做实 验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率; (3)实验结束后,第一次做实验的同学得到的实验数据为 68,70,71,72,74,第二次做 实验的同学得到的实验数据为 69,70,70,72,74,请问哪次做实验的同学的实验更稳定? 并说明理由. 【考点】极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 【分析】 (1)由等可能事件概率计算公式先求出该传媒班某同学被抽到的概率,由此利用分 层抽样能求出课外兴趣小组中男同学的人数和课外兴趣小组中女同学的人数. (2)先求出基本事件总数,由此能求出选出的两名同学中恰有一名女同学的概率. (3)分别求出两次做实验的同学得到的实验数据的平均数和方差,由此能求出结果. 【解答】解: (1)∵启东市某中学传媒班有 30 名男同学,20 名女同学, 在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本组成课外兴趣小组, ∴该传媒班某同学被抽到的概率 p= 课外兴趣小组中男同学的人数为:30× 课外兴趣小组中女同学的人数为:20× = .

=3 人, =2 人.

(2)在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验, 方法是先从小组里选出 1 名同学做实验,该同学做完后, 再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验, 基本事件总数 n=5×4=20, ∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率: p= = .

(3)第一次做实验的同学得到的实验数据的平均数为: = (68+70+71+72+74)=71, 第一次做实验的同学得到的实验数据的方差为:
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S2=

[(68﹣71)2+(70﹣71)2+(71﹣71)2+(72﹣71)2+(74﹣71)2]=4.

第二次做实验的同学得到的实验数据的平均数为: = (69+70+70+72+74)=71, 第二次做实验的同学得到的实验数据的方差为: S'2= ∵ = [(69﹣71)2+(70﹣71)2+(70﹣71)2+(72﹣71)2+(74﹣71)2]= ,S2<S'2,∴第二次做实验的同学的实验更稳定. .

18.已知 a 为实数,函数 f(x)=(x2+1) (x+a) (1)若函数 f(x)在 R 上存在极值,求实数 a 的取值范围; (2)若 f′(1)=0,求函数 f(x)在区间[﹣1, ]上的最大值和最小值; (3)若函数 f(x)在区间[﹣1, ]上不具有单调性,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数 的最值. 【分析】 (1)求出函数的导数,得到 f′(x)=0 有两个不相等的实数根,根据△>0,求出 a 的范围即可; (2)根据 f′(1)=0,求出 a,得到函数的单调区间,从而求出函数的最大值和最小值即可; (3)若函数 f(x)在区间[﹣1, ]上不具有单调性,得到 f′(x)在[﹣1, ]有解,根据 二次函数的性质得到关于 a 的不等式组,解出即可. 【解答】解: (1)∵f(x)=(x2+1) (x+a)=x3+ax2+x+a, ∴f′(x)=3x2+2ax+1, 若函数 f(x)在 R 上存在极值, 则 f′(x)=0 有两个不相等的实数根, ∴△=4a2﹣12>0,解得:a> 或 a<﹣ ; (2)f′(x)=3x2+2ax+1,若 f′(1)=0, 即 3+2a+1=0,解得:a=﹣2, ∴f′(x)=(3x﹣1) (x﹣1) , x∈[﹣1, ]时,x﹣1<0, 令 f′(x)>0,解得:x< ,令 f′(x)<0,解得:x> , ∴f(x)在[﹣1, )递增,在( , ]递减, ∴f(x)max=f( )= ,f(x)min=f(﹣1)=﹣2;

(3)由(1)得:f′(x)=3x2+2ax+1,对称轴 x=﹣ ,

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若函数 f(x)在区间[﹣1, ]上不具有单调性, 则 f′(x)在[﹣1, ]有解,而 f(0)=1>0,

∴只需





解得: 故 a>

<a<3 或 a≥3, .

19.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c. (1)若 f(﹣1)=0,试判断函数 f(x)的零点个数; (2)是否存在实数 a,b,c,使得 f(x)同时满足以下条件: ①对? x∈R,f(x﹣2)=f(﹣x) ; ②对? x∈R,0≤f(x)﹣x≤ (x﹣1)2?如果存在,求出 a,b,c 的值,如果不存在, 请说明理由. 【考点】二次函数的性质;函数零点的判定定理. 【分析】 (1)将 x=﹣1 代入得到关于 a、b、c 的关系式,再由△确定零点个数; (2)假设存在 a,b,c∈R 使得条件成立, 由①可知函数 f(x)的对称轴是 x=﹣1,令最值为 0,由此可知 a=c; 由②知将 x=1 代入可求的 a、c 与 b 的值,最后验证成立即可. 【解答】解: (1)二次函数 f(x)=ax2+bx+c 中,f(﹣1)=0, 所以 a﹣b+c=0,即 b=a+c; 又△=b2﹣4ac=(a+c)2﹣4ac=(a﹣c)2, 当 a=c 时△=0,函数 f(x)有一个零点; 当 a≠c 时,△>0,函数 f(x)有两个零点; (2)假设 a,b,c 存在,由①知抛物线的对称轴为 x=﹣1, 所以﹣ =﹣1,即 b=2a;

不妨令 f(x)的最值为 0, 则 =0,

即 b2=4ac, 所以 4a2=4ac, 得出 a=c; 由②知对? x∈R,都有 0≤f(x)﹣x≤ (x﹣1)2, 不妨令 x=1,可得 0≤f(1)﹣1≤0, 即 f(1)﹣1=0, 所以 f(1)=1, 即 a+b+c=1;
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解得 a=c= ,b= ;

当 a=c= ,b= 时,f(x)= x2+ x+ = (x+1)2,其顶点为(﹣1,0)满足条件①, 又 f(x)﹣x= (x+1)2,所以对? x∈R,都有 0≤f(x)﹣x≤ (x+1)2,满足条件②. 所以存在 a= ,b= ,c= 时,f(x)同时满足条件①、②.

20.已知函数 f(x)=(x﹣1)ex﹣ ax3﹣ x2+1(a∈R) . (1)当 a=0 时,求 f(x)的单调区间; (2)若在区间[0,+∞)上关于 x 的不等式 f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的导数,判断导函数的符号,求出函数的单调区间即可; (2)求出函数的导数,构造函数 g(x)=ex﹣ax﹣1, (x≥0) ,通过讨论 a 的范围,判断函 数的单调性,从而求出满足条件的 a 的具体范围即可. 【解答】解: (1)a=0 时,f(x)=(x﹣1)ex﹣ x2+1, f′(x)=xex﹣x=x(ex﹣1)≥0, x≥0 时,ex﹣1≥0,x<0 时,ex﹣1<0, ∴f(x)在 R 递增; (2)f(x)=(x﹣1)ex﹣ ax3﹣ x2+1, (x≥0) , f′(x)=x(ex﹣ax﹣1) , x 令 g(x)=e ﹣ax﹣1, (x≥0) , x g′(x)=e ﹣a, ①a≤1 时,g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)递增, ∴g(x)≥g(0)=0,即 f′(x)≥0, ∴f(x)≥f(0)=0,成立, ②当 a>1 时,存在 x0∈[0,+∞) ,使 g(x0)=0,即 f′(x0)=0, 当 x∈[0,x0)时,f′(x)<0, ∴f(x)在[0,x0)上单调递减, ∴f(x)<f(0)=0,这与 f(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立矛盾, 综上:a≤1. II 卷 21.已知矩阵 A 将点(1,0)变换为(2,3) ,且属于特征值 3 的一个特征向量是 矩阵 A. 【考点】特征值与特征向量的计算. ,求

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【分析】先设矩阵

,这里 a,b,c,d∈R,由二阶矩阵 M 有特征值 λ=3 及对应的一

个特征向量及矩阵 M 对应的变换将点(1,0)变换为(2,3) ,得到关于 a,b,c,d 的方 程组,即可求得矩阵 M. 【解答】解:设 ,由 得, ,…

由 所以 . …

得,

,所以

22. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2sinθ, 直线 l 的参数方程是

(t 为参数) . 设

直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程. x=ρcosθ, y=ρsinθ, 【分析】 利用 x2+y2=ρ2, 可把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程. 将 直线 l 的参数方程消去 t 化为直角坐标方程: ,

令 y=0,可得 M 点的坐标为(2,0) .利用|MN|≤|MC|+r 即可得出. 【解答】解:曲线 C 的极坐标方程可化为 ρ2=2ρsinθ.又 x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2﹣2y=0. 将直线 l 的参数方程消去 t 化为直角坐标方程: ,

令 y=0,得 x=2,即 M 点的坐标为(2,0) .又曲线 C 的圆心坐标为(0,1) , 半径 r=1,则 , ∴ . 23.某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行 4 次考核,规定:按顺序考核,一旦考 核合格就不必参加以后的考核, 否则还需要参加下次考核, 若小李参加每次考核合格的概率 依次组成一个公差为 的等差数列,他参加第一次考核合格的概率超过 ,且他直到参加第 二次考核才合格的概率为 .

(1)求小李第一次参加考核就合格的概率 p1; (2)求小李参加考核的次数 X 的分布列和数学期望 E(X) . 【考点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分 布列. 【分析】 (1) 由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出小李第一次参加考核就合格的概 率.

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(2)小李 4 次考核每次合格的概率依次为:

,由题意小李参加考核的次数

X 的可能取值为 1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和 E(X) . 【解答】解: (1)由题意得 解得 或 , , ,

∵他参加第一次考核合格的概率超过 ,即 ∴小李第一次参加考核就合格的概率 p1= .

(2)∵小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为 的等差数列, 且小李第一次参加考核就合格的概率 p1= , ∴小李 4 次考核每次合格的概率依次为: ,

由题意小李参加考核的次数 X 的可能取值为 1,2,3,4, P(X=1)= , P(X=2)=(1﹣ )× = , , ,

P(X=3)=(1﹣ ) (1﹣ )× =

P(X=4)=(1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ )×1= ∴X 的分布列为: X 1 P E(X)= =

2

3

4



24.已知函数 f(x)=ln(2x+a)﹣4x2﹣2x 在 x=0 处取得极值. (1)求实数 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; (2)证明:对任意的正整数 n,不等式 2+ + +…+ >ln(n+1)都成立.

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)函数 f(x)=ln(2x+a)﹣4x2﹣2x,对其进行求导,在 x=0 处取得极值,可得 f′(0)=0,求得 a 值,求出 f(x)的表达式,从而求出函数的单调区间即可; (2)f(x)=ln(2x+1)﹣4x2﹣2x 的定义域为{x|x>﹣1},利用导数研究其单调性,可以 推出 ln(x+1)﹣x2﹣x≤0,令 x= ,可以得到 ln( +1)< + 缩证明.
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,利用此不等式进行放

【解答】解: (1)函数 f(x)=ln(2x+a)﹣4x2﹣2x f′(x)=2( ﹣2x﹣1) ,

当 x=0 时,f(x)取得极值, ∴f′(0)=0 故 ﹣2×0﹣1=0, 解得 a=1,经检验 a=1 符合题意, 则实数 a 的值为 1, ∴f(x)=ln(2x+1)﹣4x2﹣2x, (x>﹣ ) , f′(x)=2( ﹣2x﹣1)= ,

令 f′(x)>0,解得:﹣ <x<0,令 f′(x)<0,解得:x>0, ∴f(x)在(﹣ ,0)递增,在(0,+∞)递减; (2)f(x)的定义域为{x|x>﹣ }, 由(1)得:f(x)在(﹣ ,0)递增,在(0,+∞)递减, ∴f(x)≤f(0) ,故 ln(2x+1)﹣4x2﹣2x≤0(当且仅当 x=0 时,等号成立) 对任意正整数 n,取 2x= >0 得,ln( +1)< + ∴ln( )< , >ln2+ln +ln +…+ln =ln(n+1) . ,

故 2+ + +…+

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2016 年 9 月 7 日

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