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2018年人教A版数学必修2 第2章 2.3.1 直线与平面垂直的判定_图文

阶 段 一 阶 段 三 2.3 阶 段 二 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 学 业 分 层 测 评 上一页 返回首页 下一页 1.了解直线与平面垂直的定义.(重点) 2 .理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂 直.(难点) 3.理解直线与平面所成角的概念,并能解决简单的线面角问题.(易 错点) 上一页 返回首页 下一页 [ 基础· 初探] 教材整理 1 直线与平面垂直的定义 阅读教材 P64 倒数第 1 行以上的内容,完成下列问题. 文字语言 图形语言 符号语言 任意一条 直线都垂 如果直线 l 与平面 α 内的_________ 直,就说直线 l 与平面 α 互相垂直,直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂 面,它们惟一的公共点 P 叫做垂足 上一页 返回首页 下一页 l⊥α ____ 直线 l⊥平面 α,直线 m?α,则 l 与 m 不可能( A.平行 C.异面 B.相交 D.垂直 ) 【解析】 由直线与平面垂直的定义可知,l⊥m,l 与 m 可能相交或异面, 但不可能平行. 【答案】 A 上一页 返回首页 下一页 教材整理 2 直线与平面垂直的判定定理 阅读教材 P65“例 1”以上的内容,完成下列问题. 文字语言 一条直线与一个平 面内的___________ 两条相交直 ___ 线 都垂直,则该直 线与此平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥a ? ? l⊥b ? ??l⊥α a?α ? b?α ? a∩b=P ? _________ 上一页 返回首页 下一页 一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置 关系是( ) B.垂直 D.不确定 A.平行 C.相交不垂直 【解析】 直线和三角形两边垂直,由线面垂直的判定定理知,直线垂直 三角形所在平面,则直线垂直第三边. 【答案】 B 上一页 返回首页 下一页 教材整理 3 直线与平面所成的角 阅读教材 P66“探究”以下至“例 2”以上的内容,完成下列问题. 锐角 1.定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的______. 2.范围:设直线与平面所成的角为 θ,则 0° ≤θ≤90° . 3.画法:如图 231 所示,斜线 AP 与平面 α 所成的角是_______ ∠PAO . 图 231 上一页 返回首页 下一页 若斜线段 AB 是它在平面 α 内射影长的 2 倍,则 AB 与平面 α 所成角的大小 为( ) A.60° C.30° B.45° D.90° 上一页 返回首页 下一页 【解析】 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形. 如图所示,∠ABO 即是斜线段 AB 与平面 α 所成的角. 又 AB=2BO, OB 1 所以 cos ∠ABO= AB =2, 所以∠ABO=60° . 【答案】 A 上一页 返回首页 下一页 [ 小组合作型] 线面垂直的定义及判定定理的理解 下列说法中正确的个数是( ) ①如果直线 l 与平面 α 内的两条相交直线都垂直,则 l⊥α; ②如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线垂直,则 l⊥α; ③如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内没有与 l 垂直的直线; ④如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直. A.0 C.2 上一页 B.1 D.3 返回首页 下一页 【精彩点拨】 利用线面垂直的定义及判定定理准确判断. 【自主解答】 由直线和平面垂直的定理知①对;由直线与平面垂直的定 义知,②正确;当 l 与 α 不垂直时,l 可能与 α 内的无数条直线垂直,故③不对; ④正确. 【答案】 D 上一页 返回首页 下一页 1.对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直 线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事,后者说法 是不正确的,它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内. 2.判定定理中要注意必须是平面内两相交直线. 上一页 返回首页 下一页 [ 再练一题] 1.下列说法中,正确的是( ) A.若直线 l 与平面 α 内无数条直线垂直,则 l⊥α B.若直线 l 垂直于平面 α,则 l 与平面 α 内的直线可能相交,可能异面, 也可能平行 C.若 a∥b,a?α,l⊥α,则 l⊥b D.若 a⊥b,b⊥α,则 a∥α 【答案】 C [ 当 l 与 α 内的任何一条直线都垂直时,l ⊥α,故 A 错;当 l ⊥α 时,l 与 α 内的直线相交或异面,但不会平行,故 B 错;C 显然是正确的; 而 D 中,a 可能在 α 内,所以 D 错误.] 上一页 返回首页 下一页 线面垂直判定定理的应用 32,在△ABC 中,∠ABC=90° 如图 2,D 是 AC 的 中点,S 是△ABC 所在平面外一点,且 SA=SB=SC. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC. 图 232 【精彩点拨】 题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等,AB⊥BC,D 是 AC 的中点,要证(1)需在平面 ABC 内找两条相交直线与 SD 垂直,故等腰三角形底 边的中线是可以利用的垂直关系,要证(2),需设法在平面 SAC 内找两条相交直 线与 BD 垂直,而(1)的结论可利用. 上一页 返回首页 下一页 【自主解答】 连接 BD. (1)∵SA=SC,D 为 AC 的中点,∴SD⊥AC. 在 Rt△ABC 中, 有 AD=DC=DB, ∴△SDB≌△SDA, ∴∠SDB=∠SDA=90° , ∴SD⊥BD. 又 AC∩BD=D,∴SD⊥平面 ABC. (2)∵AB=BC,D 是 AC 的中点,∴BD⊥AC. 又由(1)知 SD⊥BD,且 AC∩SD=D, ∴BD⊥平面 SAC. 上一页 返回首页 下一页

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