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福建省福州市2012届高三下学期5月综合练习数学(理科)试卷


福建省福 州 市 2012 届 高 三 下 学 期 5 月 综 合 练 习

数学(理科)试卷
(完卷时间:120 分钟;满分:150 分) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封 线内填写学校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式:
样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差 锥体体积公式:

s?

1? 2 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? ? n?

1 V ? Sh 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷 (选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中 有且只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x x ? x ? 0} ,则 ? M ? U
2

A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0或x ? 1} 数 z1 ? z2 所对应的点位于 A.第一象限 C.第三象限

B. {x | 0 ? x ? 1}
y A

D. {x | x ? 0或x ? 1} ??? ??? ? ? 2.如图,在复平面内,若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA, OB ,则复 B.第二象限 D.第四象限

O B

x

3.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则“ a1 ? 0 ”是“ S3 ? S2 ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若一个几何体的三视图,其正视图和侧视图均为矩形、 俯视图为正三角形,尺寸如图所示,则该几何体的体积为

第 2 题图

2 3 3 C. 3
A.

3 3 2 D. 2 3
B.
第 4 题图

5.如图,执行程序框图后,输出的结果为 A.8 B.10 C.12 D.32 ? ?? ? 6.下列函数中,周期为 ? ,且在 ? , ? 上单调递增的奇函数是 ?4 2?

第 1 页 共 9 页

?? ? A. y ? sin ? x ? ? 2? ?
C. y ? sin ? 2 x ? ? ? ? ?
? 2?

?? ? B. y ? cos ? 2 x ? ? 2? ? ?? ? D. y ? cos ? 2 x ? ? 2? ?

??? ??? ? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 7.已知 AB ? BC ? 0 , AB ? 1 , BC ? 2 , AD ? DC ? 0 ,则 BD 的最大值为
A.

2 5 5

第 5 题图

B. 2

C.

5

D. 2 5
D1

8.若从区间 (0, e) 内随机取两个数,则这两个数之积不小于 e 的概率为 ...

C1 B1 P C

2 1 2 B. 1 ? C. D. A1 e e e 9.如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,若平面 A BCD1 上一动点 1 1
1 A. 1 ? e

P 到 AB1 和 BC 的距离相等,则点 P 的轨迹为

D

A B A.椭圆的一部分 B.圆的一部分 第 9 题图 C.一条线段 D.抛物线的一部分 10.将方程 x ? tan x ? 0 的正根从小到大地依次排列为 a1 , a2 ,?, an ,? ,给出以下不等

式: ①0 ? an?1 ? an ? ; 2 ③2an?1 ? an?2 ? an ;

?

② ? an?1 ? an ? ? ; 2 ④2an?1 ? an?2 ? an ;

?

其中,正确的判断是 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.

? x ,x ? 0 ? 11.已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f ? f ? ?1? ? ? ?2 , x ? 0 ?
12. 已知双曲线

.

x2 y 2 ? ? 1( m ? 0, n ? 0) 的离心率为 2, 有一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的 m n 焦点重合,则 n ? __________. 13 . 已 知 等 http://wx.jtyjy.com/ 差 数 列 ?an ? 的 公 差 不 为 零 ,
a1 ? a2 ? a5 ? 13 , 且 a1 、 a 2 、 a 5 成 等 比 数 列 , 则 a1 的 取 值 范 围


f ?(?3) ? f ?(1)

. 14.已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如图所示,



★★★ .

第 14 题图

15. 假定平面内的一条直线将该平面内的一个区域分成面积相等的两个区域, 则称这条 ? 是平面 ? 内的任意一个封闭区域.现给出如下结论: 直线平分这个区域.如图, ① 过平面内的任意一点至少存在一条直线平分区域 ? ; ② 过平面内的任意一点至多存在一条直线平分区域 ? ; ③ 区域 ? 内的任意一点至少存在两条直线平分区域 ? ; ④ 平面内存在互相垂直的两条直线平分区域 ? 成四份. 其中正确结论的序号是 证明过程或演算步骤.
第 2 页 共 9 页 第 14 题图 第 15 题图



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字说明、

16. (本小题满分 13 分) 招聘会上,某公司决定先试用后再聘用小强,该公司的甲、乙两个部门各有 4 个不同 岗位. (Ⅰ)公司随机安排小强在这两个部门中的 3 个岗位上进行试用,求小强试用的 3 个 岗位中恰有 2 个在甲部门的概率; (Ⅱ)经试用,甲、乙两个部门都愿意聘用他.据估计,小强可能获得的岗位月工资 及相应概率如下表所示: 甲部门不同岗位月工资 X 1 (元) 2200 获得相应岗位的概率 P 1 0.4 2400 0.3 2400 0.3 2600 0.2 2800 0.2 2800 0.1 3200 0.1

乙部门不同岗位月工资 X 2 (元) 2000 获得相应岗位的概率 P2 0.4

求甲、乙两部门月岗位工资的期望与方差,据此请帮助小强选择一个部门,并说明理由. 17. (本小题满分 13 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , ?BAC ? 90? , 1 AB ? 2, AC ? 6 , 点 D 在线段 BB1 上,且 BD ? BB1 , A1C ? AC1 ? E . 3 (Ⅰ)求证:直线 DE 与平面 ABC 不平行; ( Ⅱ ) 设 平 面 ADC1 与 平 面 ABC 所 成 的 锐 二 面 角 为 ? , 若
cos ? ? 7 ,求 AA1 的长; 7 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设平面 ADC1 ? 平面 ABC ? l ,求直线
y

l 与 DE 所成的角的余弦值. 18. (本小题满分 13 分)

第 17 题图

如图,圆 C 与 y 轴相切于点 T ? 0, 2 ? ,与 x 轴正半轴相交于两点
M , N (点 M 在点 N 的左侧) ,且 MN ? 3 .
T A

C

(Ⅰ)求圆 C 的方程;

x2 y 2 (Ⅱ)过点 M 任作一条直线与椭圆 ? : ? ? 1 相交于两点 4 8
A、 B ,连接 AN 、BN ,求证: ?ANM ? ?BNM .
B

O

M

N

x

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

第 18 题图

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ?x ? 的图象在 x ? 0 处的切线方程; (Ⅱ)判断函数 f ( x) 的单调性;
? 1? 1 1 (Ⅲ)求证: ln ?1 ? ? ? ? 2 ( n ? N * ) . ? n? n n

ax ?a ? R? . x ?1

20. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系中,锐角 ? 、 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. (Ⅰ) 如果 tan ? ?

3 5 ,B 点的横坐标为 , cs ?? ? ? ? 的值; 求o 4 13

(Ⅱ)若角 ? ? ? 的终边与单位圆交于 C 点,设角 ? 、 ? 、

第 3 页 共 9 页

? ? ? 的正弦线分别为 MA、NB、PC,求证:线段 MA、NB、PC 能构成一个三角形;
(III)探究第(Ⅱ)小题中的三角形的外接圆面积是否为定值? 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
第 20 题图

21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 、 、 分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应 的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 设矩阵 M 是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标保持不变的伸缩变 换. (Ⅰ)求矩阵 M; (Ⅱ)求矩阵 M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. (2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知 点 A 、 的极坐标分别为 (1 , B

?
3

)、 , (3

2? ? x ? r cos ? , ), 曲线 C 的参数方程为 ? . (? 为参数) 3 ? y ? r sin ?

(Ⅰ)求直线 AB 的直角坐标方程 (Ⅱ)若直线 AB 和曲线 C 只有一个交点,求 r 的值. (3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 2 ? x ? x ? 1 ? m 对于任意的 x ? [?1, 2] 恒成立 (Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求函数 f ? m ? ? m ?
1 的最小值. (m ? 2) 2

理科数学试卷参考答案及评分参考
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.B 11. 2 2.A 12. 3.C 12 4.D 5.B 6.D 7. C 8. B 15. ①④ 9.D 10. D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 13. (1, ??) 14. ?5 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)记事件“小强试用的 3 个岗位中恰有 2 个在甲部门的概率”为 A ,则
P ? A? ?
2 1 C4 ? C4 3 ? . ··········· ··········· · 分 ··········· ·········· · 6 ·········· ··········· · C83 7

(Ⅱ) E甲 ? 2200 ? 0.4 ? 2400 ? 0.3 ? 2600 ? 0.2 ? 2800 ? 0.1 ? 2400 (元) ····· 7 分 , ····· ·····
E乙 ? 2000 ? 0.4 ? 2400 ? 0.3 ? 2800 ? 0.2 ? 3200 ? 0.1 ? 2400 (元) ·········8 分 . ········· ········

D ? X甲 ? ? ? 2200 ? 2400? ? 0.4 ? ? 2400 ? 2400? ? 0.3 ? ? 2600 ? 2400? ? 0.2 ? ? 2800 ? 2400? ? 0.1
2 2 2 2

? 40000 , ···································9 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ··

第 4 页 共 9 页

D ? X乙 ? ? ? 2000 ? 2400? ? 0.4 ? ? 2400 ? 2400? ? 0.3 ? ? 2800 ? 2400? ? 0.2 ? ?3200 ? 2400? ? 0.1
2 2 2 2

? 160000 . ··································10 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·

选择甲部门: 因为 X甲 ? X乙,D ? X甲 ? ? D ? X乙 ? , 说明甲部门各岗位的工资待遇波动比乙 部门小,竞争压力没有乙部门大,比较安稳······················· 分 ······················ 13 ·········· ··········· · 选择乙部门: 因为 X甲 ? X乙,D ? X甲 ? ? D ? X乙 ? , 说明乙部门各岗位的工资待遇波动比甲 部门大,岗位工资拉的比较开,工作比较有挑战性,能更好地体现工作价值. ··· 13 分 ··· ··· 17. (本小题满分 13 分) 解:依题意,可建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,设 AA1 ? h ,则
h? h? ? ? B ? 2,0,0 ? , C ? 0,6,0 ? , D ? 2,0, ? , A1 ? 0,0, h ? , C1 ? 0,6, h ? , E ? 0,3, ? .2 分 3? 2? ? ? ?? ? (Ⅰ)证明:由 AA1 ? 平面 ABC 可知 n1 ? ? 0,0,1? 为平面 ABC 的

一个法向量. ???? ?? ? ? h? h ∴ DE ? n1 ? ? ?2,3, ? ? ? 0, 0,1? ? ? 0 . ········· 分 ········ 3 ········ 6? 6 ? ∴ 直线 DE 与平面 ABC 不平行.·········· 分 ········· 4 ········· ?? ? (Ⅱ)设平面 ADC1 的法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,则
? ??? ???? h? h ? ?n2 ? AD ? ? x, y, z ? ? ? 2,0, 3 ? ? 2 x ? 3 z ? 0 , ····· 5 分 ····· ····· ? ? ??? ???? ?n? ? AC? ? ? x, y, z ? ? ? 0,6, h ? ? 6 y ? hz ? 0 1 ? 2 ?? ? 取 z ? ?6 ,则 x ? y ? h ,故 n2 ? ? h, h, ?6? . ····· 分 ····· ···· 6 ?? ?? ? ? n1 ? n2 ?? ?? ? ? 6 7 ? ∴ cos ? ? cos ? n1 , n2 ? ? ?? ?? = , ···············7 分 ··········· ···· ·········· ···· ? ? 2 7 n1 n2 1 ? 2h ? 36

解得 h ? 6 3 . ∴ ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· AA1 ? 6 3 . ···································8 分

(Ⅲ)在平面 BCC1 B1 内,分别延长 CB、C1 D ,交于点 F ,连结 AF ,则直线 AF 为平 面 ADC1 与平面 ABC 的交线. ······························· 分 ··········· ·········· ········· 9 ·········· ··········· ········· ∵ ∴ ∴

1 1 BD //CC1 , BD= BB1 = CC1 , 3 3
BF BD 1 ? ? . FC CC1 3

??? 1 ??? ? ? BF ? CB , 2 ??? ??? ??? ??? 1 ??? ? ? ? ? ? 1 ∴ AF ? AB ? BF ? AB ? CB ? ? 2,0,0? ? ? 2, ?6,0? ? ? 3, ?3,0? .········ 11 分 ········ ········ 2 2 ???? ? h? 由(Ⅱ)知, h ? 6 3 ,故 DE ? ? ?2,3, ? ? ?2,3, 3 , 6? ?

?

?

第 5 页 共 9 页



??? ???? ? ??? ???? ? AF ? DE ?15 5 ··········· ····· ·········· ····· cos ? AF , DE ?? ??? ???? ? ? ? 2 . ················12 分 ? 8 AF DE 3 2 ? 4
直线 l 与 DE 所成的角的余弦值为 ?
5 5 2 ? 2 .··············13 分 ··········· ··· ·········· ··· 8 8



18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设圆 C 的半径为 r ( r ? 0 ) ,依题意,圆心坐标为 (r , 2) . ······· 1 分 ······· ······· ∵ ∴ ∴

MN ? 3
25 ?3? r 2 ? ? ? ? 22 ,解得 r 2 ? . ·························3 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· 2? 4 ?
5? 25 2 ? 圆 C 的方程为 ? x ? ? ? ? y ? 2 ? ? . ··········· ········· 5 分 ··········· ········· ·········· ·········· 2? 4 ?
2 2 2

5? 25 2 ? (Ⅱ)把 y ? 0 代入方程 ? x ? ? ? ? y ? 2 ? ? ,解得 x ? 1 ,或 x ? 4 , 2? 4 ?

即点 M ?1,0 ? , N ? 4,0 ? . ·······························6 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· (1)当 AB ? x 轴时,由椭圆对称性可知 ?ANM ? ?BNM . ··········· 7 分 ··········· ·········· · (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,可设直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 1? .
? y ? k ? x ? 1? 联立方程 ? 2 ,消去 y 得, k 2 ? 2 x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 8 ? 0 . ········8 分 ········ ······· 2x ? y2 ? 8 ?

?

?

设直线 AB 交椭圆 ? 于 A? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ? 两点,则

x1 ? x2 ?
∵ ∴
?

2k 2 k2 ? 8 , x1 ? x2 ? 2 . ··························9 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· k2 ? 2 k ?2
k ? x1 ? 1? k ? x2 ? 1? y1 y2 ? ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4

y1 ? k ? x1 ? 2? , y2 ? k ? x2 ? 2? ,
k AN ? k BN ?

k ? x1 ? 1?? x2 ? 4 ? ? k ? x2 ? 1?? x1 ? 4 ?

? x1 ? 4 ?? x2 ? 4 ?

. ·······················10 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ·
2 ? k 2 ? 8? k2 ? 2 10k 2 ?8? 0, k2 ? 2

∵ ? x1 ? 1?? x2 ? 4 ? ? ? x2 ? 1?? x1 ? 4 ? ? 2 x1 x2 ? 5 ? x1 ? x2 ? ? 8 ?

?

············································11 分 ··········· ·········· ··········· ··········· · ·········· ··········· ··········· ·········· · ∴ ··········· ·········· · ·········· ··········· · k AN ? kBN ? 0 , ?ANM ? ?BNM . ······················ 12 分 综上所述, ?ANM ? ?BNM . ···························13 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ····· 19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? ∴ f ?( x) ?

2x , x ?1

1 2 x?3 ? ? , ·························1 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

∴ f ?(0) ? 3 ,所以所求的切线的斜率为 3. ···················· 2 分 ··········· ········· ·········· ·········· 又∵ f ? 0? ? 0 ,所以切点为 ? 0, 0 ? . ·························3 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···
第 6 页 共 9 页

故所求的切线方程为: y ? 3x . ··························· 分 ··········· ·········· ····· 4 ·········· ··········· ····· (Ⅱ)∵ f ( x) ? ln( x ? 1) ? ∴ f ?( x) ?

ax ( x ? ?1) , x ?1

1 a( x ? 1) ? ax x ? 1 ? a ? ? . ······················5 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

①当 a ? 0 时,∵ x ? ?1 ,∴ f ?( x) ? 0 ························ 6 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· ②当 a ? 0 时,
? f ?( x) ? 0 ? f ?( x) ? 0 由? ,得 ?1 ? x ? ?1 ? a ;由 ? ,得 x ? ?1 ? a ;··········7 分 ·········· ········· ? x ? ?1 ? x ? ?1

综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 单调递增; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ?1 ? a) 单调递减,在 (?1 ? a, ??) 上单调递增. ··· 8 分 ··· ··· (Ⅲ)方法一:由(Ⅱ)可知,当 a ? ?1 时,

f ? x ? ? ln ? x ? 1? ?


x 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. ··················· 9 分 ··········· ········ ·········· ········· x ?1 x . ············· 10 分 ··········· ·· ·········· ··· x ?1

当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,即 ln ? x ? 1? ?

1 1 1 ? 1? * 令 x ? ( n?N ) ,则 ln ?1 ? ? ? n ? . ················· 11 分 ··········· ······ ·········· ······· 1 n ?1 n ? n? ?1 n 1 1 1 1 1 ? 另一方面,∵ ,即 ? ? 2, n ? n ? 1? n 2 n n ?1 n
∴ ∴

1 1 1 ································ 12 ·········· ··········· ··········· ? ? 2 . ··········· ··········· ·········· · 分 n ?1 n n
? 1? 1 1 ln ?1 ? ? ? ? 2 ( n ? N* ) ························· 分 . ························ 13 ·········· ··········· ··· ? n? n n

方法二:构造函数 F ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x2 , (0 ? x ? 1) ··············9 分 ··········· ··· ·········· ···

1 x(2 x ? 1) ?1 ? 2x ? , ··········· ··········· · 分 ······················ 10 ·········· ··········· · 1? x x ?1 ∴当 0 ? x ? 1 时, F '( x) ? 0 ;
∴ F '( x) ? ∴函数 F ( x) 在 (0,1] 单调递增. ·························· 11 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· ∴函数 F ( x) ? F (0) ,即 F ( x) ? 0 ∴ ?x ? (0,1] , ln(1 ? x) ? x ? x ? 0 ,即 ln(1 ? x) ? x ? x ············12 分 ··········· · ·········· ·
2 2

令x?

1 ? 1? 1 1 ( n ? N* ) ,则有 ln ?1 ? ? ? ? 2 . ···················13 分 ··········· ········ ·········· ········ n ? n? n n

20. (本小题满分 14 分)

3 4 解: (Ⅰ)已知 ? 是锐角,根据三角函数的定义,得 sin ? ? , ? ? ,····· 分 ·····1 ···· cos 5 5
又 cos ? ?

5 12 ,且 ? 是锐角,所以 sin ? ? . ··················· 2 分 ··········· ········ ·········· ········· 13 13

第 7 页 共 9 页

4 5 3 12 16 所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? . ········· 4 分 ········· ········· 5 13 5 13 65
(Ⅱ)证明:依题意得, MA ? sin ? , NB ? sin ? , PC ? sin(? ? ? )
? ?? 因为 ?,? ? ? 0, ? ,所以 cos ? ? (0,1) , cos ? ? (0,1) ,于是有 ? 2?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? sin ? ,① ················ 分 ··········· ···· 6 ·········· ·····

又∵ ? +? ? ? 0, ? ? ,??1 ? cos(? +? ) ? 1 ,
sin ? ? sin((? ? ? ) ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? ,②

··········· ··········· ·········· ··········· ···· 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ··· 7 ·········· ··········· ··········· ·········· ···· 同理, sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? ,③ 由①,②,③可得,

线段 MA、NB、PC 能构成一个三角形. ······················8 分 ··········· ·········· · ·········· ···········
(III)第(Ⅱ)小题中的三角形的外接圆面积是定值,且定值为

? . 4

不妨设 ?A?B?C ? 的边长分别为 sin ?、 ?、 ?? ? ? ? ,其中角 A? 、 B? 、C ? 的对边分别为 sin sin
sin ?? ? ? ?、 ?、 ? .则由余弦定理,得: sin sin

cos A? ?

sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? ? ) ·······················9 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · 2sin ? ? sin ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ? sin ? 2sin ? ? sin ?

? ?

sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ? sin ? 2sin ? ? sin ?

? sin ? ? sin ? ? cos ? cos ?
? ? cos(? ? ? ) ································· 分 ································ 11 ·········· ··········· ···········

? ?? 因为 ?,? ? ? 0, ? ,所以 ? ? ? ? (0, ? ) ,所以 sin A? ? sin(? ? ? ) , ········ 分 ······· 12 ······· ? 2?

设 ?A?B?C ? 的外接圆半径为 R, 由正弦定理,得 2 R ?
B ?C ? sin(? ? ? ) 1 ? ? 1 ,∴ R ? , ············· 13 分 ··········· ·· ·········· ··· sin A? sin(? ? ? ) 2

所以 ?A?B?C ? 的外接圆的面积为

? . ························ 14 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· 4
0? ··········· ·········· · ·········· ··········· · ? . ··········· ··········· 2 分 2?

21. (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 (1)
?1 解: (Ⅰ)由条件得矩阵 M ? ? ?0 ?1 (Ⅱ)因为矩阵 M ? ? ?0

? ?1 0 0? ? (? ? 1)(? ? 2) , ? 的特征多项式为 f (? ) ? 2? 0 ? ?2

令 f (? ) ? 0 ,解得特征值为 ?1 ? 1 , ?2 ? 2 , ···················· 4 分 ··········· ········· ·········· ··········

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?? ? x ? ?? ? x ? ? x ? 设属于特征值 ?1 的矩阵 M 的一个特征向量为 e1 ? ? ? , M e1 ? ? ? ? ? ? , 则 解得 y ? 0 , ? 2y ? ? y? ? y? ?? ? 1 ? 取 x ? 1 ,得 e1 ? ? ? , ···································5 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· ?0? ?? ? 0 ? ? 同理,对于特征值 ? 2 ,解得 x ? 0 ,取 y ? 1 ,得 e2 ? ? ? ,············· 分 ··········· · 6 ·········· ·· ?1 ? ?? ? 1 ? ?? ? 0 ? ? 所以 e1 ? ? ? 是矩阵 M 属于特征值 ?1 ? 1 的一个特征向量, e2 ? ? ? 是矩阵 M 属于特征 ?0? ?1 ?

值 ?2 ? 2 的一个特征向量. ································ 分 ··········· ·········· ·········· 7 ·········· ··········· ·········· (2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 解: (Ⅰ)∵点 A 、 B 的极坐标分别为 (1 , ∴点 A 、 B 的直角坐标分别为 (

?
3

) 、 (3 ,

2? ), 3

1 3 3 3 3 ··········· ·· ·········· ··· ) ,············· 2 分 , ) 、 (? , 2 2 2 2

∴直线 AB 的直角坐标方程为 2 3x ? 4 y ? 3 3 ? 0 . ···············4 分 ··········· ···· ·········· ···· (Ⅱ)由曲线 C 的参数方程 ? 分 ∵直线 AB 和曲线 C 只有一个交点, ∴半径 r ? ··········· ·········· ·· 7 ·········· ··········· ·· ? 3 21 . ························ 分 14 (2 3) ? 4
2 2

? x ? r cos? , 化为普通方程为 x2 ? y 2 ? r 2 ,5 (?为参数) y ? r sin ? ?

3 3

(3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ)∵关于 x 的不等式 2 ? x ? x ? 1 ? m 对于任意的 x ? [?1, 2] 恒成立 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· ? m ? ( 2 ? x ? x ? 1)max ······························ 1 分 根据柯西不等式,有

( 2 ? x ? x ? 1)2 ? (1? 2 ? x ? 1? x ? 1)2 ? [12 ? 12 ] ? [( 2 ? x )2 ? ( x ? 1)2 ] ? 6
所以 2 ? x ? x ? 1 ? 6 ,当且仅当 x ?

1 时等号成立,故 m ? 6 . ·······3 分 ······· ······ 2
1 1 1 1 ? (m ? 2) ? (m ? 2) ? ?2 2 (m ? 2) 2 2 (m ? 2) 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 m ? 2 ? 0 ,则 f ? m ? ? m ? ∴ f ? m? ? 3
3

1 1 1 3 (m ? 2) ? (m ? 2) ? ? 2 ? 3 2 ? 2 ···············5 分 ··········· ···· ·········· ···· 2 2 (m ? 2)2 2

1 1 当且仅当 (m ? 2) ? ,即 m ? 3 2 ? 2 ? 6 时取等号, ···········6 分 ··········· ·········· 2 (m ? 2)2

所以函数 f ? m ? ? m ?

1 3 的最小值为 3 2 ? 2 ················· 7 分 ··········· ······ ·········· ······· (m ? 2) 2 2

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