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2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(安徽卷,解析版)

2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(安徽卷,解析 版)
本试卷分第Ⅰ卷( 选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第 Ⅱ卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分,考 试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背 面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 答第Ⅱ卷时, 必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写, 要求字体工整、 .... 笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后 再用 0.5 毫米的黑 ... 色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效, ......... 在试题卷、草稿纸上答题无效。 .... ........ 4. 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式: 椎体体积 V ? 若y?

1 Sh ,其中 S 为椎体的底面积,h 为椎体的高. 3

1 n ? , (x ? y1 (x 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2 )…, n ,y n )为样本点, y ? bx ? a 为回归直 n i ?1 1 n 1 n x1 , y ? ? y1 ? n i ?1 n i ?1

线,则 x ?
n

b?

? ? x ? y ?? y
i ?1 1 n i ?1

1

? y?
2

? ? x1 ? x ?

?

?x y
i ?1 n

n

1 1

? nx y ? nx 2
, a ? y ? bx

?x
i ?1

2 i

a ? y ? bx
说明:若对数据适当的预处理,可避免对大数字进行运算. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项 中,只 有一项是符合题目要求的。 (1) 设 i 是虚数单位,复数 (A)2

?? ai 为纯虚数,则实数 a 为 ??i ? (B) ? 2 (C) ? ?

(D)

? ?

(1) 【命题意图】本题考查复数的基本运算,属简单题. 【解析】设

?? ai =bi(b ? R) ,则 1+ai ? bi(2 ? i) ? b ? 2bi ,所以 b ? 1, a ? 2 .故选 A. ??i
1

(2)集合 U ? ?, ?, ?, ?, ?, ?? , S ? ?, ?, ?? , T ? ?, ?, ?? ,则 S (A) ?, ?, ?, ??

?

?

?

I
?

(CU T ) 等于

?

(B) ?, ??

?

(C)

???

(D) ?, ?, ?, ?, ??

(2)B【命题意图】本题考查集合的补集与交集运算.属简答题. 【解析】 ? T ? ?1,5, 6? ,所以 S ? T ? ?1, 6? .故选 B. U U

?

?

(3) 双曲线 ? x ? y ? ? 的实轴长是

?

?

(A)2

(B) ? ?

(C) 4

(D) 4 ?

(3)C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的性质.属容易题.

【解析】 ? x ? y ? ? 可变形为

?

?

x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 ? 4 , a ? 2 , 2a ? 4 .故选 C. 4 8
? ?

(4) 若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x ? y ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为 (A) ? 1 (B) 1 (C) 3 (D) ? 3

(4)B【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系,属容易题. 【解析】圆的方程 x ? y ? ? x ? ? y ? ? 可变形为 ( x ??) ? ( y ? ?) ? ? ,所以圆心为(- 1,2) ,代入直线 ?x ? y ? a ? ? 得 a ? 1 .
? ?

?

?

(5)若点(a,b)在 y ? lg x 图像上, a ? ? ,则下列点也在此图像上的是

(A) (

? ,b) (B ) (10a,1 ? b) a

(C) (

?? ,b+1) a

(D)(a ,2b)

2

(5)D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算,考查对数函数的图像与对应点的关系.
2 ? 【解析】由题意 b ? lg a , ?b ? ? lg a ? lg a ,即 a , 2b 也在函数 y ? lg x 图像上.

?

?

?x ? y ? 1, ? (6)设变量 x,y 满足 ?x ? y ? 1 ,则 x ? ? y 的最大值和最小值分别为 ?x ? ? ?
2

说明:若对数据适当的预处理,可避免对大数字进行运算. (A) 1, ? 1 (B) 2, ? 2 (C ) 1, ? 2 (D)2, ? 1 (6)B【命题意图】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中 等难度题. 【解析】 x ? y ? 1, x ? y ? 1, x ? 0 三条直线的交点分别为(0,1)(0,-1)(1,0) , , ,分别 代入 x ? ? y ,得最大值为 2,最小值为-2.故选 B. (7)若数列 an ? 的通项公式是 an ? (??)g(?n ? ?) ,则 a? ? a? ? L a?? ? (A) 15 (B) 12 (C ) ??? (7)A【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一:分别求出前 10 项相加即可得出结论; (D) ???

?

法二: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a9 ? a10 ? 3 ,故 a? ? a? ? L a?? ? ??? ? ?? .故选 A. (8)一个空间几何体得三视图如图所示,则该几何体的表面积为

第(8)题图 (A) 48 (B)32+8 ?? (C) 48+8 ?? (D) 80

(8)C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法. 【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为 2,下底 为 4 , 高 为 4 , 两 底 面 积 和 为 2?

4 4 ? 2 ? 2 17 ? 24 ? 8 17 ,所以几何体的表面积为 48 ? 8 17 .故选 C.
(9) 从正六边形的 6 个顶点中随机选 择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概 率等于 (A)

?

?

1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 24 , 四 个 侧 面 的 面 积 为 2

? ??

(B)

? ?

(C)

? ?

(D)

? ?

(9)D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题. 【解析】通过画树状图可知从正六边形的 6 个顶点中随机选 择 4 个顶点,以它们作为顶点

3

的四边形共有 15 个,其中能构成矩形 3 个,所以是矩形的概率为
n ?

3 1 ? .故选 D. 15 5

(10) 函数 f ( x) ? ax g(?? x) 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则 n 可能是 (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(10)A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用,考查函数图像,考查思维的 综合能力.难度大. 【 解 析 】 代 入 验 证 , 当 n ? 1 时 , f ( x)?

a x? ? ? x ? g ( )

?

a x ?? x, )则 ( ? ? x

f ?( x)?

1 a? ? x ? ? x ,由 f ?(x) ? a( ?x ? ??x ??) ? ? 可知, x1 ? , x2 ? 1 ,结合图像可 ( ? )? 3
? ? 1? 3? ?1 ? ?3 ?

知 函 数 应 在 ? 0, ? 递 增 , 在 ? ,1? 递 减 , 即 在 x ?

1 取 得 最 大 值 , 由 3

? ? ? ? f ( ) ? a ? g(?? )? ? ,知 a 存在.故选 A. ? ? ? ?
2011 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(文科) 第 II 卷(非选择题 共 100 分) 考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. ................. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. (11)设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, f ( x) = 2x ? x ,则 f (1) ?
2

.

(11)-3【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查函数值的求法.属中等难度题. 【解析】 f (1) ? ? f (?1) ? ?[2(?1) ? (?1)] ? ?3 .
2

(12)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 15

.

4

(12)15【命题意图】本题考查算法框图的识别,考查等差数列前 n 项和. 【解析】由算法框图可知 T ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ?

k (k ? 1) ,若 T=105,则 K=14,继续执行 2

循环体,这时 k=15,T>105,所以输出的 k 值为 15. (13)函数 y ?

1 6 ? x ? x2

的定义域是

.

(13)(-3,2) 【命题意图】本题考查函数的定义域,考查一元二次不等式的解法. 【解析】由 6 ? x ? x ? 0 可得 x ? x ? 6 ? 0 ,即 ? x +3?? x ? 2 ? ? 0 ,所以 ?3 ? x ? 2 .
2 2

? ? b ? 2 , a 与 b 的夹角为 (14) 已知向量 a, 满足 a+2b)· a-b) b ( ( =-6, a ? , 且 则
(14)60°【命题意图】本题考查向量的数量积,考查向量夹角的求法.属中等难度的题.

.

2 2 【 解 析 】 a ? 2b ? a ? b ? ?6 , 则 a ? a ? b ? 2b ? ?6 , 即 1 ? a ? b ? 2 ? 2 ? ?6 ,

?

?

?

??

? ?

?

?2

? ?

?2

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? a ?b 1 a ? b ? 1,所以 cos? a, b? ? ? ? ? ,所以 ? a, b? ? 60? . a?b 2
(15)设 f ( x) = a sin 2 x ? b cos 2x ,其中 a,b ? R,ab ? 0,若 f ( x ) ? f ( ) 对一切则 x ? R

?

6

恒成立,则 ① f(

11? )?0 12

② f(

? 7? )< f( ) 5 10

③ f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数 ④ f ( x) 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

⑤存在经过点(a,b)的直线与函数的图 f ( x) 像不相交 以上结论正确的是 (写出 所有正确结论的编号).

5

(15)①③【命题意图】本题考查辅助角公式的应用,考查基本不等式,考查三角函数求值, 考查三角函数的单调性以及三角函数的图像. 【 解 析 】

f ( x) ? a sin 2 x ? b cos 2 x ? a 2 ? b 2 sin(2 x ? ? ) ?

a 2 ? b2





? ? ? 3 1 ? f ( ) ? a sin ? b cos ? a ? b …0 , 由题意 f ( x ) ? f ( ) 对一切则 x ? R 恒成立, 6 3 3 2 2 6


a 2 ? b2 ?

3 1 3 1 3 a ? b 对 一 切 则 x ? R 恒 成 立 , 即 a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ? ab , 2 2 4 4 2
00恒 成 立 , 而 a 2 ? 3b 2 …2 3ab , 所 以 a 2 ? 3b2 = 2 3ab , 此 时 ?

a 2 ? 3b2 剠2 3ab

?? ? a ? 3b ? 0 .所以 f ( x) ? 3b sin 2 x ? b cos 2 x ? 2b sin ? 2 x ? ? . 6? ?
① f(

11? ? 11? ? ? ) ? 2b sin ? ? ? ? 0 ,故①正确; 12 6? ? 6
7? ? 7? ? ? ? 47? ? ? 13? ) ? 2b sin ? ? ? ? 2b sin ? ? ? 2b sin ? 10 ? 5 6? ? 30 ? ? 30 ? ?, ? ? ?, ?

② f(

? ? 2? ? ? ? 17? ? ? 13? f ( ) ? 2b sin ? ? ? ? 2b sin ? ? ? 2b sin ? 5 ? 5 6? ? 30 ? ? 30
所以 f (

? 7? ) < f ( ) ,②错误; 5 10

③ f (? x) ? ? f ( x) ,所以③正确; ④由①知 f ( x) ? 3b sin 2 x ? b cos 2 x ? 2b sin ? 2 x ? 由 2k? ?

? ?

??

?,b ? 0, 6?

?
2

剟2 x ?

?
6

2k? ?

?
2

知 2 k? ?

2? 剟x 3

k? ?

?
6

,所以③不正确; 2

⑤由①知 a ? 3b ? 0 ,要经过点(a,b)的直线与函数的图 f ( x) 像不相交,则此直线与 横轴平行,又 f ( x) 的振幅为 2b ? 3b ,所以直线必与 f ( x) 图像有交点.⑤不正确.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答写在答题卡的制定区域内. (16)(本小题满分 13 分) 在 ? ABC 中, b, 分别为内角 A, C 所对的边长, 3 , 2 , ? 2cos( B ? C ) ? 0 , a, c B, a= b= 1
6

求边 BC 上的高.

(16)解:∵A+B+C=180°,所以 B+C=A, 又 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,∴ 1 ? 2cos(180 ? A) ? 0 ,
?

即 1 ? 2cos A ? 0 , cos A ?

1 , 2

又 0°<A<180°,所以 A=60°. 在△ABC 中,由正弦定理

b sin A 2 sin 60? 2 a b ? ? 得 sin B ? , ? a 2 3 sin A sin B
2 sin(45? ? 30? )

又∵ b ? a ,所以 B<A,B=45°,C=75°, ∴BC 边上的高 AD=AC·sinC= 2 sin 75 ?
?

? 2(sin 45? cos 30? ? cos 45? sin 30? )

? 2(

2 3 2 1 3 ?1 ? ? ? )? . 2 2 2 2 2

(17) (本小题满分 13 分)

, ,其中实数k1 ? k 2满足k1k 2 +2 ? 0, 设直线 l1 : y ? k1x+1 l2 : y=k 2 x ? 1
(I)证明 l1 与 l 2 相交; (II)证明 l1 与 l 2 的交点在椭圆 2x +y =1上. (18) (本小题满分 13 分) 设 f ( x) ?
2 2

ex ,其中 a 为正实数. 2

(Ⅰ)当 a ?

3 时,求 f ( x) 的极值点; 4

(Ⅱ)若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. (19) (本小题满分 13 分) 如 图 , ABEDFC 为 多 面 体 , 平 面 ABED 与 平 面

ACFD 垂直,点 O 在线段 AD 上, OA ? 1 , OD ? 2 ,
7

? OAB,? OAC , ? ODF 都是正三角形。
(Ⅰ)证明直线 BC∥EF ; (Ⅱ)求棱锥 F ? OBED 的体积.

(20) (本小题满分 10 分) 某地最近十年粮食需求量逐年上升, 下表是部分统计数据: 年份 需求量(万 吨) 2002 236 2004 246 2006 257 2008 276 2010 286

(Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。 温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.

(21) (本小题满分 13 分) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数, 使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列, 将这 n ? 2 个数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn , n≥1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

tan (Ⅱ)设 bn ? tan an ? an ?1, 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

8


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