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正余弦函数的图像和性质导学案


1.4.1-1.4.2 正弦函数、余弦函数的图象和性质
学习目标
1.能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.了解周期函数及最小正周期的概念. 3.熟记正、余弦函数的单调区间,并利用单调性解题.

学习重点、难点
1.能熟练运用“五点法”作图. 2.会求一些简单三角函数的周期. 3.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用.

学习过程 任务一、课前准备
(预习教材 P30~ P40,找出疑惑之处)

任务二、新课导学
一、正(余)弦函数的定义
实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系, 而一个确定的角又对应着唯一确定的正 弦(或余弦)值,这样,任意给定一个实数 x ,有唯一确定的值 sin x (或 cos x )与之对应, 由这个对应法则所确定的函数 y ? sin x (或 y ? cos x )叫做正弦函数(或余弦函数)其定 义域是 R ,及 y ? sin x ( x ? R ) 叫做正弦函数, y ? cos x ( x ? R ) 叫做余弦函数.

二、正(余)弦函数的图像
注:1.我们可以利用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象. 2.为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值 都为实数.

※ 探索新知:正弦函数的图像
① 函数 y=sinx 的图象 第一步:在直角坐标系内把单位圆十二等分,分别画出对应角的正弦线. 第二步:在相应坐标系内,在 x 轴表示 12 个角(实数表示) ,把单位圆中 12 个角的正弦线 进行右移. 第三步:通过刚才描点(x0,sinx0),把一系列点用光滑曲线连结起来.

y 2? 5? 6 ? 7? 6 3 ? 2 ? 3 ? 1 6 2? O 11? -1 4? 3? 5? 6 3 2 3 ? ? ? 6 3 2 2? 5? ? 7? 4? 3? 5? 11? 2? 3 6 6 3 2 3 6 x

1

问题 1:观察所得函数的图象,五个点在确定形状是起关键作用,哪五个点?

问题 2:如何作 y ? sin x( x ? R) 的图象?(自己动手完成)

② 余弦函数 y=cosx 的图象 探究 1:你能根据诱导公式,以正弦函数的图象为基础,通过适当的图像变换得到余弦 函数的图象吗?

cos x ? sin(

?
2

? x) ? sin(

?
2

? x)

根据诱导公式 cos x ? sin( x ? 度即得余弦函数 y=cosx 的图象.

?
2

) ,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移

? 个单位长 2

问题:为什么选第二个诱导公式而不选第一个? 余弦函数 y ? cos x ,x ? [0, 2? ] 的五个关键点是: ③ 正弦曲线与余弦曲线: 正弦函数 y ? sin x 的图象和余弦函数 y ? cos x 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

.

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

2

④用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 例 1.画出下列函数的简图. (1) y ? 1 ? sin x, x ?[0, 2? ] (2) y ? ? cos x, x ?[0, 2? ]

练 1.画出下列函数的简图: (1) y ? sin x (2) y ? 2 ? sin x, x ?[0, 2? ]

三、正(余)弦函数的性质
1.定义域: 正(余)弦函数的定义域都是 2.值域: (1)正弦函数的值域是 [?1,1] .

? 2k? , (k ? Z ) 时,取得最大值 2 3? ? 2k? , (k ? Z ) 时,取得最小值 ② 当且仅当 x ? 2
① 当且仅当 x ? (2)余弦函数的值域是 [?1,1] ① 当且仅当 2k? ( k ? Z ) 时,取得最大值 ② 当且仅当 x ? ? ? 2k? , ( k ? Z ) 时,取得最小值
3

?

; .

; .

例 2.求下列函数的定义域、值域. (1) y ? ?4cos x (2) y ? lg sin x (3) y ? cos(2 x ?

?
3

), x ? [?? , ? ]

练 2: (1)求函数 y ? 2sin 2 x ? cos x ? 1 的定义域. (2)求函数 y ? 2sin(2 x ?

?
3

), x ? [ ?

? ?

, ] 的值域. 6 6

例 3.求下列函数的最值,并指出分别什么时候取到最值. (1) y ? sin 2 x ? 1 (2) y ? sin x ? 2sin x
2

课后作业(一)
1.函数 y ? ? sin

x 的定义域 3
4



2. f ( x) 的定义域为 [0,1) , f (cos x) 的定义域 3.求函数的定义域:(1) y ?



1 1 ? cos x

(2) y ?

2 cos x sin x ? cos x

4.求下列函数的值域. (1) y ? 3sin( x ?

1 2

?
4

), x ? [?? , ? ]

(2) y ?

3sin x ? 1 sin x ? 2

5.求下列函数的最值,并指出分别什么时候取到最值. (1) y ? ?2sin x (2) y ? cos x ? 1 (3) y ? ? sin( x ? ①x?R ② x ? [?

? ?

1 3

?
6

, ] 3 4

)? 3

6.若 y ? a ? b cos3x 的最大值为

3 1 ,最小值为 ? ,求 y ? 2a sin x ? b 的最值. 2 2

5

3.周期性: 周期函数定义:对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个 值时,都有: f ( x ? T ) ? f ( x) 那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数 的周期.(观察图象)正弦函数 f ( x) ? sin x 性质如下: (1)正弦函数的图象是有规律不断重复出现的. (2)规律是:每隔 2? 重复出现一次(或者说每隔 2k? , k ? Z 重复出现). (3)这个规律由诱导公式 sin(2k? ? x) ? sin x 可以说明. 当 x 增加 2k? ( k ? Z )时,总有 f ( x ? 2k? ) ? sin( x ? 2k? ) ? sin x ? f ( x) . (4) 2 ? ,4 ? 等叫做函数 y ? sin x 的周期. 有关周期函数的说明: (1)对于周期函数来说,如果所有的周期中存在一个最小的正数,就称它为最小正周期. 我们通常所说的三角函数的周期是指三角函数的最小正周期. (2)并不是所有周期函数都存在最小正周期. (3)周期函数 x ? M ,则必有 x ? T ? M , 且若 T ? 0 则定义域无上界; T ? 0 则定义域 无下界. (4) “每一个值”只要有一个反例,则 f ( x) 就不为周期函数(如 f ( x0 ? T ) ? f ( x0 ) ). (5)周期函数的周期不止一个,若 T 是周期,则 kT (T ? Z ) 一定也是这个函数的周期. 问题: (1)对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin(

?
6

?

2? 2? ? ) ? sin ,能否说 是它的周期? 3 3 6

(2)正弦函数 y ? sin x , x ? R 是不是周期函数,如果是,周期是多少? (3)若函数 f ( x ) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x ) 的周期吗?为什么?
*

同理当 x 增加 2k? ( k ? Z )时,总有 f ( x ? 2k? ) ? cos(x ? 2k? ) ? cos x ? f ( x) .

y ? cos x 周期为 2k? ( k ? Z ) ,最小正周期为 2 ? .
例 4.求下列函数的周期. (1) y ? 3cos x (2) y ? sin 2 x (3) y ? 2sin( x ?

1 2

?
6

)

结论:函数 y ? sin(? x ? ? ) 的周期是 T ?

2?

?
6



练 3.求下列函数的周期. (1) y ? sin(

x ? ) (2) y ? sin(?2 x ? ) ? 4 4

1

?

?

注:有关三角函数的周期性: (1) y ? A sin(? x ? ? ) ? k

T?

2?

?



(2)若函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? a) ? ? f ( x) ,其中 a ? 0 ,则 f ( x) 的周期为 2 a . (3)若函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? a ) ?

1 ,其中 a ? 0 ,则 f ( x) 的周期为 2 a . f ( x)

(4)若函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? a) ? f ( x ? a) ,其中 a ? 0 ,则 f ( x) 的周期为 2 a . 例 5.已知函数 f ( x) 是奇函数,6 是 f ( x) 的一个周期,而且 f (?1) ? 1 ,求 f (5) .

例 6. 已知偶函数 y ? f ( x) 满足条件 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? [?1,0] 时,f ( x ) ? 3 ?
x

4 , 9

求 f (log1 ) 的值.
3

5

7

课后作业(二)
1.设 f ( x) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数, f ( x) 在 (0,3) 内单调递减,且 y ? f ( x) 的图 像关于直线 x ? 3 对称,则下面正确的结论是 ( )

A. f (1.5) ? f (3.5) ? f (6.5) C. f (6.5) ? f (3.5) ? f (1.5)
2.函数 y ? sin A .

B. f (3.5) ? f (1.5) ? f (6.5) D. f (3.5) ? f (6.5) ? f (1.5)
( D. 4? )

x 的最小正周期是 2
B .? C. 2?

? 2

3.在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) .若 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函数, 则 f ( x) ( ) A.在区间 [ ?2, ?1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 B.在区间 [ ?2, ?1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 C.在区间 [ ?2, ?1] 上是减函数,在区间 [3, 4] 上是增函数 D.在区间 [ ?2, ?1] 上是减函数,在区间 [3, 4] 上是增函数 4.若函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ,则函数 y ? f ( x) 的一个周期是______________. 5.函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? 则f

? f ?5?? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5 , f ? x?

______________.

6.判断下列函数是否为周期函数;若存在最小正周期,请求出. (1) y ? sin 2 x (2) y ? sin( ? 5)

x 2

(3)

y ? sin x

(4) y ? sin x

4.单调性: (1)正弦函数在每一个闭区间 到 ;在每一个闭区间 小 到 .即

上都是增函数,其值从 增大 上都是减函数,其值从 减

?;

?.
上都是减函数,其值从 上都是增函数,其值从 减小 增大

(2)余弦函数在每一个闭区间 到 ;在每一个闭区间 到 .即

?;

?.

8

例 6.确定下列函数的单调区间. (1) y ? 1 ? cos 2 x (2) y ? sin( ?

1 ? x ? ) , x ?[?2? , 2? ] 2 3

练 4.确定下列函数的单调区间. (1) y ? sin 3x (2) y ? sin( x ?

1 2

?
3

) , x ?[?2? , 2? ]

例 7.利用三角函数的性质比较下列各组数的大小. (1) sin( ?

?
18

) 与 sin(?

?
10

)

(2) cos(?

23? 17? ) 与 cos(? ) 5 4

练 5.利用三角函数的性质比较下列各组数的大小. (1) cos( ?

7? 7? ) 与 cos( ? ) 8 6

(2) cos 217 与 cos(?1220 )

(3) sin1,sin 2,sin 3

例 8.解不等式 sin x ?

1 , x ? [0, 2? ] ,若 x ? R 呢? 2

9

练 6.解不等式(1) sin x ? ?

1 3 (2) cos x ? 2 2

课后作业(三)
1.函数 y ? sin?

?? ? ? 2 x ? 的单调递减区间是( ?3 ?



A. ?2k? ?

? ? ? ?

?
12

,2k? ?

5? ? ,k ? Z 12 ? ?

B. ?4k? ?

? ?

5? 11 ?? ,4k? ? ,k ? Z 3 3 ? ? , k? ? 5? ? ,k ? Z 12 ? ?

C. ?k? ?

5? 11 ?? , k? ? ,k ? Z 12 12 ? ?


D. ?k? ?

? ?

?
12

2.下列不等式成立的是( A. sin ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? sin? ? ? ? 18 ? ? 10 ?

B. sin 3 ? sin 2

C. cos? ?

? 33? ? ? 17? ? ? ? cos? ? ? ? 5 ? ? 4 ?

D. cos

7? 16? ? cos 5 5


3.若函数 y ? sin x ? 1 在区间 ? a,

? ?? 上是增函数,则 a 的取值范围是( ? 2? ?

A. ? ??,

? ?

??
? 2?

B. ? ??, ?

? ?

??
? 2?

C. ? ?

? ? ? ,0 ? 2 ? ?
) C. ?? ,

D. ? ?

? ? ?? , ? ? 2 2?

4.函数 y ? cos x 的一个单调增区间是( A. ? ?

? ? ?? , ? 4 4? ?

B. ?

? ? 3? ? , ?4 4 ? ?

? ?

3? ? 2 ? ?

D. ?

? 3? ? , 2? ? ? 2 ?

5 . ? 、 ? 、 ? 均为锐角,若 sin ? ? 是( ) A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ?

1 3 , tan? ? 2 , cos ? ? ,则 ? 、 ? 、 ? 的大小顺序 3 4
C. ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ?

10

6.比较大小 (1) sin 250

sin 260

(2) cos

15? 8

cos

14? 9

7.设 sin x ? 5t ? 1 ,则 t 的范围是

. .

8.在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ,则角 A 、 B 、 C 的大小关系是 9.(1)求函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?

3

) 在区间 [0, ?] 上的单增区间. 3 ) 的单调增区间.

(2)求函数 f ( x) ? 2 sin( ?2 x ?

?

10.解下列方程或不等式; (1) sin x ?

1 ; 2

(2) sin x ?
2

1 2

(3) sin x ?

1 2

5.奇偶性: (1)正弦曲线关于 对称,及定义域关于原点对称且 f (? x) ? ? f ( x) 所以函数 函数; 对称 , 及定义域关于原点对称且 f (? x) ? f ( x) ,所以函数 函数.

y ? sin x, x ? R 为
( 2 )余弦曲线关于

y ? cos x, x ? R 为

思考:请用诱导公式推导正(余)弦函数的奇偶性:

11

例 8.求下列函数的奇偶性. (1) f ( x) ?

1 ? sin x 5 2 sin(2 x ? ? ) (2) f ( x) ? 2sin x ? 2 (3) f ( x) ? lg 1 ? sin x 2

练 7.判断下列函数的奇偶性. (1) y ? cos x ? 2 (2) y ? sin x cos x

例 9.若函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? =



练 8. f ( x) ? 5sin(2 x ? ? ) 的图象关于原点轴对称,则 ? =



6、对称性: (1) y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ?

?
2

, k ? Z ;对称中心为 (k? ,0) , k ? Z .

(2) y ? cos x 的对称轴为 x ? k? , k ? Z ;对称中心为 ( 例 10.函数 y ? sin A. x ? 0 练 9.函数 f ( x ) ?

?
2

? k? ,0 ) , k ? Z .

1 x 的图象的一条对称轴的方程是( 2
B. x ?

) D. .

?

1 ? cos(3 x ? ) 的对称轴是 2 2

2

C. x ? ?

x ? 2?

12

例 11.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 的一条对称轴是直线 x ? 求 ? 的值.

?
8



例 12.函数 f ( x) ? 4sin(2 x ?

?
6

) 的对称中心是



练 10.函数 f ( x) ? 2 cos(

1 ? x ? ) 的对称中心是 2 8



任务三、巩固训练
一、选择题
1.函数 y ? 1 ? cos x 的图象 A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 2.函数 y ? sin ? A. ( C.关于原点对称 ) D.关于直线 x=

? 对称 2

?1 ? x ? 3 ? 的最小正周期是( ?2 ?
B. π C. 2 π



π 2

D. 4 π )

3. 已知 x ? (0,2? ),函数y ? sin x ? ? cos x 的定义域为( A. [0, ? ]

? 3? B. [ , ] 2 2

C. [ , ? ] 2 ) D. (

?

D. [

3? ,2? ] 2

4.不等式 cos x ? 0, x ?[0, 2? ] 的解集为( A. ?0, ? ? B. ?0, ? ? 5. 函数 y=sin (2x+ A. x ? ? C. [

? 3?
2 , 2

]

? 3?
2 , 2

)
( )

?
2

5? ) 图象的一条对称轴方程是 2
B. x ? ?

?

4

C. x ?

?
8

D. x ?

5? 4

13

6.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象 3?
B.关于直线 x ?





A.关于点 ? , 0 ? 对称

?π ?3

? ?

π 对称 4 π 对称 3
( ) D. ? ,? ? ?6 ? )

C.关于点 ? , 0 ? 对称 7. 函数 y ? 2 sin( A. ?0, ? 3

?π ?4

? ?

D.关于直线 x ?

?
6

? 2 x), ( x ? ?0, ? ?) 为增函数的区间是

? ?? ? ?

B. ? , 12 12 ?

? ? 7? ? ? ?

C. ? , ? ?3 6 ?

? ? 5? ?

? 5?

?

8.已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

)( x ? R) ,下面结论错误 的( ..

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2? C.函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 0 对称 9.函数 y ? sin x 的一个单调增区间是 A. ? ? , ?

B.函数 f ( x ) 在区间 ?0, D.函数 f ( x ) 是奇函数 ( )

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

? ? ?? ? ? ??

B. ? , ?

? ? 3? ? ?? ? ?

C. ? ?, ?

? ?

?? ? ? ?

D. ?

? 3? ? , 2? ? ? ? ?

10.设点 P 是函数 f ( x) ? sin?x 的图象 C 的一个对称中心, 若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离 的最小值 A 2?
? ,则 f ( x) 的最小正周期是 4

B

?
?

C

? 2

D

? 4

二、填空题

? ,其中 ? ? 0 ,则 ? ? . 5 6 5 3 12.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c sin x ? 7 ( a 、 b 、 c 为常数) ,且 f (3) ? 8 ,则 f (?3) ? . ? 13.函数 y ? sin(2 x ? ) 的周期是 ,对称轴是 ,对称中心是 4
11. f ( x ) ? cos( ?x ?

) 最小正周期为



单调递增区间是 14. 比较 cos 4, cos

.

4 7 ? , sin ? 的大小 5 6

.

14

15. 下列命题中正确命题的序号是 (1) y ? cos x 的图象向左平移



? ,得 y ? sin x 的图象. 2

(2) y ? sin x 的图象向上平移 2 个单位,得 y ? sin( x ? 2) 的图象. (3) y ? cos x 的图象向左平移 ? 个单位,可得 y ? cos( x ? ? ) 的图象. (4) y ? sin( x ?

?
3

) 的图象由 y ? sin x 的图象向左平移

? 个单位得到. 3

三、解答题
16.用五点法画出函数 y ? 1 ? cos x(0 ? x ? 2? ) 的简图

17.求下列函数的定义域 (1) y ? ? sin

x 1 (2) y ? sin x ? ? cos x 3 2

(3) log 1 [2sin(2 x ?
2

?
4

) ? 2]

15

18.求下列函数的最大值和最小值,并写出取得最大值和最小值时的 x 的取值集合. (1) y ? ?3sin 2 x ①x?R ② x ? [?

? ?

, ] 3 4

(2) y ? 5cos(

?
4

?

1 x) ? 1 2

19.求下列函数的值域: (1)y ? ?2 cos 2 x ?

3 ? ? ? (2)y ? 2cos2 x ? cos x ? 1 (3)y ? 3cos(3 x ? ), x ? [ ? , ] 2 4 2 6

20.求下列函数的最小正周期. (1) y ? sin

1 x 2

(2) y ? 2sin( x ?

1 3

?
6

)

(3) y ? 2sin( x ?

1 2

?

1 ? ) ? cos( x ? ) 3 2 6

16

21.判断下列函数的奇偶性. (1) y ? 2 sin 2 x (2) y ? sin x ?1 (3) y ? 1 ? cos x ? cos x ?1

22.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增,且 f ( ) ? 0 , ?ABC 的内 角 A 满足 f (cos A) ? 0 ,求角 A 的取值范围.

1 2

17

1.4.3
学习目标:

正切函数的图象与性质

1.熟练运用正切函数的图象与性质解题. 2.能借助正切函数的图象探求其性质.

学习重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象、性质的研究. 学习过程:

任务一、课前准备
(预习教材 P42~ P45,找出疑惑之处)

任务二、新课导学
复习回顾: 1.正切函数的定义域: 2.作正切线. ,周期: .

设置情境:前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,但常见的三角函数还有正切函数, 今天我们来探讨一下正切函数的图象,以及它具有哪些性质.

知识探究
1.利用正切线绘制 y ? tan x 在 (?

? ?

, ) 内图象. 2 2

(将单位圆左移到 y 轴的左侧,正切线的大小和方向不变,不影响其应用)

18

2.观察正切函数在定义域内的图象,填写正切函数性质: (1)定义域: (2)值 域: (3)周期性: (4)奇偶性: (5)单调性: (6)对称性:

. . . . . .

任务三、例题分析
例 1.求函数 y

? tan( x ? ) 的定义域 4

?

.

练 1.求下列函数的定义域. (1) y ? 5 tan(3x) (2) y ?

1 tan( 2 x ?

?
4

)

例 2.求函数 y ? 3tan( x ?

? ??

5? )? ? x ? 6 ? 12 6

? ? 的值域. ?

练 2. 求函数 y ? tan(3 x ?

?

), x ? [0, ] 的值域. 3 2

?

19

例 3.比较大小: tan138? 与 tan143?

练 3.比较大小: tan( ?

11? 13? ) 与 tan( ? ) 4 5

例 4.求函数 y

x ? ? 3 tan( ? ) 的单调区间. 2 4

练 4.求函数 y

x ? ? 3 tan(? ? ) 的单调区间. 2 4

例 5.函数 y

? 3 tan( 2 x ? ) 的周期为 4

?

.

20

练 5.函数 y

x ? ? 3 tan( ? ? ) 的周期为 2 4

.

结论: y ? A tan(? x ? ? ) 的周期为 例 6.求函数 y ? 2 tan( x ?

. .

1 2

?
3

) 的对称中心

例 7.根据正切函数图象,写出满足下列条件的 x 的范围: ① tan x ? 0 ② tan x ? 0

练 6.根据正切函数图象,写出满足下列条件的 x 的范围: ① tan x ? 0 ② tan x ? 3

任务四、巩固训练
一、选择题
1.函数 y ? tan(

?
4

? x) 的定义域是(



A.{ x | x ? R 且 x ? ?

?
4

}

B.{ x | x ? R 且 x ?

C.{ x | x ? R 且 x ? k? ?
2.函数 y=tan (2x+ A. π

?
4

3? } 4

,k ? z}

D.{ x | x ? R 且 x ? k? ?
( C. ) D. ( )

3? ,k ? z } 4

? )的周期是 6

? 2 3.已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则 a、b、c 的大小关系是
B.2π

? 4

21

A.a<b<c

B.c<b<a

C.b<c<a

D. b<a<c ( )

4.在下列函数中,同时满足(1)在(0, A. y=|tanx| 5.函数 y=lgtan

? )上递增;(2)以 2π 为周期;(3)是奇函数的是 2
C.y=tan

B. y=cosx
x 的定义域是 2

1 x 2

D.y=-tanx ( )

? ,k∈ Z} 4 C.{x|2kπ<x<2kπ+π,k∈ Z}
A.{x|kπ<x<kπ+ 6.函数 y ? tan x 的图像对称于( A.原点 B. y 轴 C. x 轴 )

B.{x|4kπ<x<4kπ+ D.第一、三象限

? ,k∈ Z} 2

D.直线 y ? x

7.函数 y ? 2 tan(3 x ?

?
4

) 的一个对称中心是(



A. (

?
3

, 0)

B. (

?
6

, 0)

C. ( ?

?
4

, 0)

D. ( ?

?
2

, 0)

8. 函数 f ( x) ? tan ?(? ? 0) 的图像相邻的两支截直线 y ? 的值是( A. ) B.0 C.1 D.-1

?
4

所得线段长为

? ? , 则 f( ) 4 4

? 4

9.已知函数 y=tanωx 在(A.0<ω≤ 1 10.如果 α、β∈( A .α<β

? ? , )内是单调减函数,则 ω 的取值范围是 2 2 B. -1≤ω<0 C.ω ≥1

( D. ω≤ -1 ( ) D.α+β<
3? 2

)

? ,π)且 tanα<tanβ,那么必有 2
B. α>β C. α+β>
3? 2

二、填空题
11.函数 y=2tan(

? x - )的定义域是 3 2

,周期是 . .



12.函数 y=tan2x-2tanx+3 的最小值是 13.函数 y=tan(
x ? + )的递增区间是 2 3

14.下列关于函数 y=tan2x 的叙述:① 直线 y=a(a∈ R)与曲线相邻两支交于 A、B 两点,则线段 AB 长为 π; ② 直线 x=kπ+ 的命题序号为

k? ? ,(k∈ Z)都是曲线的对称轴;③ 曲线的对称中心是( ,0),(k∈ Z),正确 4 2

22

三、 解答题
15.求下列函数的定义域. (1)

y?

2 cos x ? 1 tan( x ? ) 3

?

(2) y ?

3 ? tan

x 2

16.判断下列函数的奇偶性. (1) f ( x) ? tan x (2) f ( x) ?

tan 2 x ? tan x 1 ? tan x

17. (1)函数 tan224 , sin 136 , cos310 的大小关系是(用不等号连接) . (2)若 ? ? ? 0,

?

?

?

? ?? ? ,试比较 tan(sin ? ).tan(tan ? ), tan(cos ? ) 的大小. ? 6?

23

18.已知 ? 、 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 tan(π+α)<tan(

5? 3? -β),求证: α+β< . 2 2

19. (1)求函数 y ? tan( ?

x ? ) 的单调区间. 2 4

π π 1 (2)若 x∈[- , ],求函数 y= 2 +2tanx+1 的最值及相应的 x 值. 3 4 cos x

20.是否存在实数 a , a ? Z ,使得函数 y ? tan(

?

? 5? ? ax) 在 x ? ( , ) 时是单调递增的? 4 8 8

若存在,求出 a 的一个值;若不存在,说明理由.

24

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