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高二数学矩阵的概念

第二章 矩阵
?2.1

矩阵的概念

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一、矩阵的概念
在实际问题里,经常用矩阵描述事物的状态和事物 之间的联系 ,例如 a , b , c , d 四个城市之间的火车交通情况如下图(图中 单箭头代表只有单向车,双箭头表示有双向车)。

a
b

d

c

常用表格来表示:

a
发 站

a

b

到站

c

d

b
d

c

其中 表示有火车直达。 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表:

定义:

由 m ? n 个数 a ij ?i ? 1,2,? , m; j ? 1,2,? , n ?

?0 ? ?0 ?1 ? ?1 ?

1 0 1? ? 0 1 0? 1 0 0? ? 0 0 0? ?

这就是 矩阵

排成的 m 行 n 列的数表 ? a11 a12 ? a1n ? ? ? ? a21 a22 ? a2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? a ? a n2 nn ? ? n1

称为一个 m行 n 列矩阵或 m ? n矩阵. 记为 Aij 或

( a ij ) m?n ; aij 称为矩阵的第 i行 j 列的元素.
元素为实数的称为实矩阵, 元素为复数的称为复矩阵 我们只讨论实矩阵.

矩阵通常用大写字母A、B、C等表示.
? x1 ? 3 x3 ? x4 ? 2 例1 线性非齐次方程组 ? ? 2 x1 ? x2 ? 2 x4 ? ?1 ?3 x ? 2 x ? x ? 6 x ? 4 2 3 4 ? 1

? 1 0 3 ?1 ?2 ? ? 与 3 ? 5 矩阵 ? 2 1 0 ? 2 ? 1 ? ? ? 3 2 ?1 6 4 ? ? ?

相对应。对方程

组的解的讨论,可能化为对上述矩阵的讨论。 例2 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成
? a11 ? A ? ? a21 ?a ? 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 ? ? a24 ?(也可用方括弧? ?表示)。其中 a34 ? ?

aij表示为工厂向第 i个店发送第 j 种产品的数量。

例3

? 1 0 3 5? ? ? 是一个 2 ? 4 实矩阵, ? ? 9 6 4 3?

? 13 6 2i ? ? ? ? 2 2 2 ? 是一个 3 ? 3 复矩阵, ? 2 2 2? ? ?

?1? ? ? ? 3? ? 4? ? ?

是一个 3 ? 1 矩阵,

?2 3 5 8?

是一个 1 ? 4 矩阵,

?9?
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是一个 1 ? 1 矩阵.

二、几种特殊矩阵
1) 零矩阵: 元素全为零的 m ? n 矩阵,记为:O或 0 注意: 不同阶数的零矩阵是不相等的. ? 0 0 0 0? ? ? 例如 ? 0 0 0 0? ? ? 0 0 0 0 ? ? 0 0 0 0 ?. ? ? 0 0 0 0? ? ? ? 2) 行矩阵: 只有一行的矩阵。 ? ? a1 , a2 ,? , an
m?n

?

?

行矩阵也称为行向量。

3) 列矩阵:

? b1 ? ? ? ? b2 ? 只有一列的矩阵。β ? ? ? ? ? ? ?b ? ? n?

4) 方阵: 行数列数皆相等的矩阵。如 n 阶方阵

An?n

? a11 ? ? a 21 ?? ? ? ?a ? n1

a12 a 22 ? an2

? a1 n ? ? ? a2n ? ? ? ? ? ? ? a nn ?

主对 角线

5) 上三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其上方。 下三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其下方。

?a a ? a ? ? O ? ? ?
11

12

22

? a ? ? ? a ? ? ? ? ? a ? ?
1n 2n nn

? a11 ? ? a 21 ? ? ? ?a ? n1

a 22 ? an 2

? ? O ? ? ? ? ? a nn ? ?

上三角 下三角 方阵

? ?1 0 ? 6) 对角矩阵: 形如 ? 0 ? 2 ?? ? ? ? 0 O0 ?

? 0? ? O ? 0 ? 的方阵, ? ?? ? ? ?n ? ? 不全为0

称为对角矩阵(或对角阵)。 并它记作 ? ? diag ? a1, a2 ,?, an ? 或
? a1 ? ? ? ? ? ? a2 ? ? ? ? ? ? a4 ? ?

7) 数量矩阵: 主对角元素都相等的对角矩阵。记作 kE 或 kE n ?k ?
? ? kEn ? ? ? ? ? ? k ? ? ? ? k? ?

8) 单位方阵:主对角线上全为1的对角方阵,记作
?1 ? ? ? ? 1 ? E?? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?

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三、小结
(1)矩阵的概念

m 行n列的一个数表

? a11 ? ? a 21 A?? ? ? ?a ? m1

a12 a 22 ? am1

? a1 n ? ? ? a2n ? ? ?? ? ? a mn ? ?

(2) 特殊矩阵

? ? ? ? ? ? ?

零矩阵; 行矩阵与列矩阵; 方阵 ?m ? n ?; 上(下)三角矩矩阵; 对角矩阵; 数量矩阵. 单位矩阵.

思考题
矩阵与行列式的有何区别?

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有了。“看来三位都累坏了,我这就去收拾做饭!”年轻男人说着,转身进厨房收拾做饭去了。年轻妇人轻声问:“三位可点些什么?”耿正 吃力地说:“请先给我们一点儿喝的吧!”“行!”年轻妇人答应着也进后面的厨房去了。一转身的功夫,她就用大木盘子端来三大碗面汤, 说:“温热的面汤,慢点儿喝!”兄妹三人各端起一碗面汤大口喝了,感觉稍微有了一些气力。耿正说:“谢谢!能不能再给我们喝一 碗?”“唔,没问题!”年轻妇人答应着,赶快转身再次走进厨房。少顷,她就端着一个大汤盆儿出来了,汤盆儿里边还搁了一把汤勺。她将 大汤盆儿放在耿正兄妹三人面前的饭桌上,给每人盛上一碗后,十分和善地说:“还喝多少,自己盛吧!看来你们是渴坏了呢。你们一边喝汤, 一边歇着,我得告诉当家的给你们做点儿什么饭啊?”耿正看看弟弟和妹妹。耿英说:“随便吧,什么都行!”耿直也说:“唔,什么都行!” 耿正抬头,很有礼貌地对年轻妇人说:“那就麻烦二位给我们做三碗清汤面条吧!”“那给你们炒个什么菜啊?”“谢谢,不用了。”“你们 是兄妹三人?”“是的。”“没有大人一起走?”耿直“哇”地一声哭出声来:“我们的爹爹今儿个上午让洪水卷走了!”耿英赶快给弟弟擦 眼泪,自己的眼泪也像断线的珠子一样滚落下来。年轻的妇人吃惊地瞪大了眼睛,说:“啊,听说今儿个上午碧山溃坝了我不问了,喝面汤吧。 我这就告诉当家的给你们做面条去!”年轻妇人转身进入后面的厨房,低声对丈夫说:“当家的,啧啧,你不知道,这三个是亲兄妹,他们的 爹已经被今儿个碧山溃坝的洪水冲走了!他们太可怜了,都饥饿干渴劳累伤心成那个样子了,但只要了三碗清汤面条!”这年轻店掌柜的一听 就愣住了,说:“哦,原来是这样!我看那样子就有些不对劲儿嘛!这样吧,我炒两个菜,你再热五个馒头。唉,这兄妹三个可真够难的!你 没有问他们是从哪里来,要到哪里去?”“还没有来得及细问呢,就眼泪汪汪的了!”“那就不要多问了。唉,这么晚了,他们可去哪里住 呢?”“要不就让他们在咱们店里暂住一晚上吧!”“看来,也只能是这样了!”不一会儿,店掌柜的夫妇俩各端着一个大方木盘出来了。妻 子走在前面,把三大碗香喷喷,热气腾腾的炝锅面条放在兄妹三人的面前;丈夫把两盘子热炒菜和五个大白馒头也摆在桌子上。妻子把那个已 经空了的大汤盆儿和三个碗挪到旁边的桌子上,轻轻地对耿正兄妹三人说:“慢慢吃吧!”耿正看到这夫妻俩端上来这么多,心中不解,就很 有礼貌地说:“掌柜的,我们只要了三碗清汤面条,怎么,这”店掌柜的和颜悦色地说:“你们可能是盘缠不多了吧?没事儿的,吃吧!”耿 正哽咽着说:“是的,大部分盘缠,都是爹带


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