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函数奇偶性练习题


函数奇偶性练习题
(一)精典例题
1.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? ( x ? 1)

1? x 1? x

(2) f ( x) ?

lg(1 ? x 2 ) | x ? 2 | ?2

? x2 ? x ( x ? 0) ? (3) f ( x) ? ? 2 ( x ? 0) ? ?? x ? x
(5) f ( x) ? (7) f ( x) ?

(4) f ( x) ? (6) f ( x) ?

x2 ?1 1 ? x2
1 ? cos x ? sin x 1 ? cos x ? sin x
2

x ?1 ? 1 ? x

1 ? x2 ? x ? 1 1? x ? x ?1
2

(8) y ? log a ( x ? 1 ? x )

2.求下列函数中的参数 (1)若 f ( x) ?

( x ? 1)( x ? a) 是奇函数,则 a ? ___ x

x ?x (2)设函数 f ( x) ? x e ? ae , x ? R ,是偶函数,则实数 a ? ____

?

?

(3)若 f ( x) ? a sin( x ? 组)

?

) ? b sin( x ? ) (ab ? 0) 是偶函数,则 ( a, b) 可以是(写出一 4 4

?

3.如果函数 f ( x ) 的定义域为 R ,且有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,求证: f ( ) ? f ( x) ? f ( y )

x y

且 f ( x ) 为偶函数。

4.已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则 f ( x ) 的解析式 为____ 5.已知 f ( x ) 是偶函数,x ? R , 当 x ? 0 时,f ( x ) 为增函数, 若 x1 ? 0, x2 ? 0 , 且 | x1 |?| x2 | , 则 ( )

A . f (? x1 ) ? f (? x2 )

B . f (? x1 ) ? f (? x2 ) D . ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

C . ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

6. 设函数 y ? f ( x) 对一切实数 x 都有 f ( x) ? f (2a ? x) ( a 为常数) , 且方程 f ( x) ? 0 有

k 个实根,求所有实根之和。

7.用 min ?a, b? 表示 a , b 两数中的最小值。若函数 f ( x) ? min x , x ? t 的图像关于直线

?

?

1 x ? ? 对称,则 t 的值为( ) 2
A.-2
2

B.2

C.-1

D.1

8.直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是____. 9.已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实 数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 A. 0 B.

5 2

(

) D.

1 2

C. 1

5 2

10.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | ?1, x ? R . (1)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2)求 f ( x ) 的最小值.

11. 已知 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的函数,满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且 x ? [0, 2] 时,

f ( x) ? 2 x ? x 2 ,
(1)求 x ? [?2, 0] 时, f ( x ) 的表达式; (2)证明 f ( x ) 是 R 上的奇函数.

12.已知 f ? x ? 是奇函数,满足 f ? x ? 2? ? f ? x ? ,当 x ??0,1? 时, f ? x ? ? 2x ?1 ,则

1 ? ? f (2) ? _____, f ? log 2 ? 的值是_________ . 24 ? ?

x 3 ? | x | ? sin x ? 2 13. 已 知 函 数 f ( x ) ? ( x ? R) 的 最 大 值 为 M , 最 小 值 为 m , 则 | x | ?2
M ? m ? __________
14. 对 于 函 数 f ( x) ? a sin x ? bx ? c ? a, b ? R, c ? Z ? , 选 取 a, b, c 的 一 组 值 计 算 f (1) 和 是( ) f (?1) ,所得出的正确结果一定不可能 ..... A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2

15. f ( x ) 和 g ( x) 的 定 义 域 都 是 非 零 实 数 , f ( x ) 是 偶 函 数 , g ( x) 是 奇 函 数 , 且

f ( x) ? g ( x) ?

1 f ( x) ,求 的取值范围。 x ? x ?1 g ( x)
2

16.已知 f ( x) ?

ax 2 ? 1 (a, b, c ? Z ) 是奇函数,又 f (1) ? 2, f (2) ? 3 ,求 a, b, c 的值。 bx ? c

17. 已 知 函 数

f ( x) 的 定 义 域 是 {x | x ∈ R, x ?
1 1 ,当 0 ? x ? 时, f ( x) ? 3x . 2 f ( x)

k , k ? Z}, 且 2

f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 , f ( x ? 1) ? ?
(1)求证: f ( x ) 是奇函数;

1 , 2k ? 1)(k ? Z)上的解析式; 2 1 (3)是否存在正整数 k ,使得当 x∈ (2k ? , 2k ? 1) 时,不等式 log3 f ( x) ? x2 ? kx ? 2k 有解? 2
(2)求 f ( x ) 在区间 (2k ? 证明你的结论.

(二)巩固与提高
1.判断下列函数的奇偶性 (1) y ? a x ? a ? x (3) y ? (2) y ? a x ? a ? x (4) y ?

a x ? a?x a x ? a?x
1? x 1? x

a x ?1 ax ?1

(5) y ? log a

2 (6) y ? log a ( x ? 1 ? x)

a2 ? x2 2.函数 f ( x ) ? 为奇函数的充要条件是____ x?a ?a
3. 定义在实数集上的函数 f ( x ) ,对一切实数 x 都有 f (1 ? x) ? f (3 ? x) 成立,且方程

f ( x) ? 0 有101个不同的实根,则所有实根之和为____
2 4.已知分段函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? [0,??) 时的解析式为 y ? x ,则这个函数在区间

(??,0) 上的解析式为



5.(1)设 f ( x ) 为定义在R上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 2x ? b ( b 为常数),则

f (?1) ? (
(A) 3

) (B) 1 (C)-1 (D)-3

6.已知函数 f ( x ) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) , (1)求证: f ( x ) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12)

7.(1)设 f ( x ) ( x ? R )是奇函数, f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,且 f (1) ?

1 ,则 f (5) =_____ 2

(2)设 f ( x ) 是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数。已知当 x ? ? 2,3? 时,

f ( x) ? x ,则当 x ?? ?2,0? 时, f ( x) 的解析式是____
8.已知 f ( x) ? a sin x ? b 3 x ? 4 ( a , b 为实数)且 f (lglog3 10) ? 5 ,则 f (lg lg3) =____ 9. 函 数 y ?

1 ( x ? ?1) 可 以 表 示 成 一 个 偶 函 数 f ( x) 与 一 个 奇 函 数 g ( x) 的 和 , 则 x ?1

f ( x) ? ____
2 10. 已 知 y ? f ( x) 是 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ( x ? 1) ; 若 当 x ? ?? 2,? ? 2

? ?

1? ?

时, n ? f ( x) ? m 恒成立,则 m ? n 的最小值为( A.1 B.

)

1 2

C.

1 3

D.

3 w 4

2 2 2 11. 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ? kx 满 足 f ( x ? 3) ? f (3 ? x) , 试 比 较 f (a ? b ? 3) 与

f (2ab ? 3) 的大小,其中 a , b 均为正实数。
12. 设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数

f ( x ? 2) ? ? f ( x),当0 ? x ? 1时f ( x) ? 2 x ?1,

则当 5 ? x ? 6 时, f ( x) 的解析式为___________。 13.设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在 (??,0) 上是增函数,则 f ? ?2? 与 f a ? 2a ? 3
2

?

?

( a ? R )的大小关系是(
2 A. f ? ?2? ? f a ? 2a ? 3 2 C. f ? ?2? ? f a ? 2a ? 3



? ?

? ?

2 B. f ? ?2? ? f a ? 2a ? 3

?

?

D.与 a 的取值无关若函数

14.已 知 f ( x) 是 奇 函 数 , g ( x) 是 偶 函 数 , 且 在 公 共 定 义 域 ?x | x ? R, x ? ?1? 上 有

f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x) 的解析式. x ?1

15.已知二次函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2(m ? 1) x ? 2m ? m 2 的图象关于 y 轴对称, 写出函数的解 析表达式,并求出函数 f ( x) 的单调递增区间.


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