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高中数学


函数的奇偶性与单调性练习
一、 填空题 1. 若 f(x)为奇函数, 且在(0, +∞)内是增函数, 又 f(-3)=0,则 xf(x)<0 的解集为_________. 2. 如果函数 f(x)在 R 上为奇函数,在[-1,0)上是增函数,试比较 f( 大小关系_________. 3. 已知偶函数 f ( x ) 在区间[0,+∞)单调递增,则满足 f(2x-1)<f( 4. 函数 f ( x ) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x ? 2) =

1 2 ),f( ),f(1)的 3 3

1 )的 x 取值范围是 3

1 , 若 f(1)=-5, 则 f(f(5))=_______. f ( x)

5. 若函数 f ( x) ? x ? | x ? a | 为偶函数,则实数 a ? __________.
2

二、

解答题

? x2 ? x ? 4 ( x ? 0) ? ? x 2 ? x,???x ? 0 ? ? x 6. 已知函数(1) f ( x) ? ? 与(2) f ( x) ? ? 2 2 ? ? ? x ? x, x ? 0 ?? x ? x ? 4 ( x ? 0) ? x ?
试判断(1)与(2)的奇偶性.

7. 已知函数 f(x)对一切 x、y∈R,都有 f(x+y)= f(x)+ f(y), (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(-3)=a,用 a 表示 f(12).

8. 已知函数 f(x)在(-1, 1)上有定义, 当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对任意 x、 y∈(-1,1) x? y 都有 f(x)+f(y)=f( ),试证明: 1 ? xy (1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.

9. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a +a+1)<f(3a -2a+1).求 a 的取值范围.

2

2

10. 已知奇函数 f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式 f(x-3)+f(x -3)<0,设 不等式解集为 A,B=A∪{x|1≤x≤ 5 },求函数 g(x)=-3x +3x-4(x∈B)的最大值.
2

2

1

函数的奇偶性与单调性练习(教师版) 一、 填空题 1. 若 f(x) 为奇函数,且在 (0 , + ∞ ) 内是增函数,又 f( - 3)=0, 则 xf(x)<0 的解集为

(?3, 0) (0,3) .
命题意图:本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合性质,一元一次不等式的解集以 及运算能力和逻辑推理能力.属★★★级题目. 知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、不等式的解法及转化思想. 错解分析:本题对不等式组的解题能力要求较高,容易漏掉小于 0 的情形,同时交并集 的运算技能不过关,结果也难获得. 技巧与方法:将 xf(x)<0 转化为不等式组求解,或在直角坐标系中画出示意图,依据图 形求解.

?x ? 0 ?x ? 0 xf ( x) ? 0 ? ? 或? 详解: ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ????????????????? ?3 ? x ? 0, 或0 ? x ? 3
1 2 ),f( ),f(1)的 3 3

2. 如果函数 f(x)在 R 上为奇函数,在[-1,0)上是增函数,试比较 f( 大小关系_ f(

1 2 )<f( )<f(1)_. 3 3

命题意图: 本题主要考查函数的奇偶性、 单调性的判定和逻辑推理能力.属★★级题目. 知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、比较大小及转化思想. 错解分析:本题注重考查基础知识,较易判断,可依据示意图直接得出结论. 技巧与方法:利用图象法求解. 详解:由题意,函数在区间 ? 0,1? 上是增函数,于是 f ( ) ? f ( ) ? f (1) 3. 已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调递增,则满足 f(2x-1)<f( (

1 3

2 3

1 )的 x 取值范围是_ 3

1 2 , )_ 3 3

命题意图:本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力. 属★★★★级题目. 知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、分类讨论数学思想及转化思想. 错解分析: 本题对思维能力要求较高, 如果不会分类, 运算技能不过关, 结果很难获得. 技巧与方法:分类讨论与添加绝对值.

+? ? 上是单调增函数 详解一:当2 x ? 1 ? 0时,由f (2 x ? 1) ? f ( ), 及函数f ( x)在 ?0, 1 2 1 2 则2 x ? 1 ? , 得x ? , 所以 ? x ? 3 3 2 3

1 3

2

当2x ?1=0时,函数f ( x)在?0, +?? 上是单调增函数
1 1 f (0) ? f ( )成立,得x ? 3 2 1 1 当2 x ? 1 ? 0时,由f (2 x ? 1) ? f ( ) ? f (? ), 3 3

偶函数f ( x)在?0, +?? 上是单调增函数 则函数f ( x)在? ??,0?上是单调减函数
1 1 1 1 于是2 x ? 1 ? ? , 得x ? ,所以 ? x ? 3 3 3 2

?1 1? 综上所述,x的取值范围是 ? , ? ?3 2?
详解二:

1 f ( x)是偶函数???????? f (2 x ? 1) ? f (| 2 x ? 1|) ? f ( ) 3

又 函数f ( x)在?0, +?? 上是单调增函数
1 1 1 1 1 ????|2x-1|< ? ? ? 2 x ? 1 ? ? ? x ? 3 3 3 3 2

?1 1? 因此,x的取值范围是 ? , ? ?3 2?
4. 函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)=

1 1 ,若 f(1)=-5,则 f(f(5))=_ ? __. 5 f ( x)

命题意图:本题主要考查函数的周期性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★ ★★级题目. 知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 错解分析:本题对思维能力要求较高,如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果 很难获得. 技巧与方法:对先计算 f(5),然后计算结果. 详解: f (3) ? f (1 ? 2) ?

1 1 1 ? ? , f (5) ? f (3 ? 2) ? ? ?5, f (1) 5 f (3) 1 1 1 1 , f (?1) ? ? ?? , f (?1) f (?1 ? 2) f (1) 5

f (1) ? f (?1 ? 2) ?

3

f (?3) ?

1 1 1 1 1 ? ? ?5, f (?5) ? ? ?? . f (?3 ? 2) f (?1) f (?5 ? 2) f (?3) 5 1 ( f ( x) ? 0) 或 f ( x ? a) ? ? f ( x) , f ( x)

一般地,若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? a) ?

则 f ( x ? 2a) ? f ( x) ,其中 a 为非 0 实常数. 5. 若函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | 为偶函数,则实数 a ? __0__. 命题意图:本题主要考查函数的奇偶性以及逻辑推理能力.属★★★★级题目. 知识依托:奇偶性定义及判定及转化思想. 错解分析:本题对思维能力要求较高,结果写成了 x 或-x 这些错误结论,不注意 a 是 实常数 技巧与方法:注意对参数 a 的讨论.
2 详解:当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | 为偶函数,当 a ? 0 时,函数既不是奇函数

也不是偶函数(或称为非奇非偶函数).

二、

解答题

? x2 ? x ? 4 ( x ? 0) 2 ? ? ? x ? x,???x ? 0 ? x 6. 已知函数(1) f ( x) ? ? 与(2) f ( x) ? ? 2 2 ? ? ? x ? x, x ? 0 ?? x ? x ? 4 ( x ? 0) ? x ?
试判断(1)与(2)的奇偶性. (1)解答一:由题设可知函数的定义域关于原点对称。 当 x ? 0 时, ? x ? 0

4

x2 ? x ? 4 , x (? x) 2 ? (? x) ? 4 x 2 ? x ? 4 f (? x) ? ? , ?x x ? f ( x) ? f (? x). 则f ( x) ? 当x ? 0, ? x ? 0, x2 ? x ? 4 , x (? x) 2 ? (? x) ? 4 x2 ? x ? 4 f (? x) ? ?? , ?x x ? f ( x) ? f (? x). 则f ( x) ? ? 综上所述,对于x ? 0都有f (? x) ? f ( x)成立, ? f ( x)为偶函数。

? x2 ? x ? 4 4 ? ( x ? 0) x ? 1 ? , ( x ? 0) ? ? 4 ? ? x x 解答二: f ( x) ? ? ?? ? 1? | x ? | 2 x ?? x ? x ? 4 ( x ? 0) ?? x ? 1 ? 4 , ( x ? 0) ? ? x ? x ?
定义域为 ?x | x ? R, 且x ? 0} , f (? x) ? f ( x) ,因此函数为偶函数. 注:分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内 x 取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据 x 的范围取相应的解析式化简,判断 f(x)与 f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判 断. (2)解析一:显然函数 f(x)的定义域为:(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 2 2 ∵当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-(-x) -x=-x -x=-f(x); 2 2 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x) -x=x -x=-f(x);
2 ? ? x ? x,???( x ? 0) ? x( x ? 1),???( x ? 0) ?? ? x(1? | x |) 解析二: f ( x) ? ? 2 ?? x ? x, ( x ? 0) ? x(? x ? 1), ( x ? 0) ?

定义域为 ?x | x ? R, 且x ? 0} , f (? x) ? ? f ( x) ,因此函数为奇函数. 综上可知:对于定义域内的任意 x,总有 f(-x)=-f(x)成立,∴函数 f(x)为奇函数; 7. 已知函数 f(x)对一切 x、y∈R,都有 f(x+y)= f(x)+ f(y), (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(-3)=a,用 a 表示 f(12). 分析:判断函数奇偶性的一般思路是利用定义,看 f(-x)与 f(x)的关系,进而得出函数的奇 偶性;解决本题的关键是在 f(x+y)= f(x)+ f(y)中如何出现 f(-x);用 a 表示 f(12)实际上

5

是如何用 f(-3)表示 f(12),解决该问题的关键是寻找 f(12)与 f(-3)的关系. 解答:

?1? 显然f ( x)的定义域是R,关于原点对称。
又 函数对一切x、y都有f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ), ? 令x ? y ? 0,得f (0) ? 2 f (0),? f (0) ? 0. 再令y ? ? x, 得f (0) ? f ( x) ? f (? x), ? f (? x) ? ? f ( x),? f ( x)为奇函数。

(2) 又

f (?3) ? a且f ( x)为奇函数,??? f (3) ? ? f (?3) ? ?a f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), x, y ? R

? f (12) ? f (6 ? 6) ? f (6) ? f (6) ? 2 f (6) ? 2 f (3 ? 3) ? 4 f (3) ? ?4a
8. 已知函数 f(x)在(-1, 1)上有定义, 当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对任意 x、 y∈(-1,1) x? y 都有 f(x)+f(y)=f( ),试证明: 1 ? xy (1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减. 命题意图:本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力. 属★★★★级题目. 知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 错解分析:本题对思维能力要求较高,如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果 很难获得. 技巧与方法: 对于(1), 获得 f(0)的值进而取 x=-y 是解题关键; 对于(2), 判定 的范围是焦点. 证明: (1) 由 f(x)+f(y)=f(

x 2 ? x1 1 ? x1 x 2

x? y ), 令 x=y=0, 得 f(0)=0, 令 y= - x, 得 f(x)+f( - 1 ? xy

x)=f(

x?x )=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数. 1? x2 (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减.
令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(

x 2 ? x1 ) 1 ? x1 x 2

∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴

x 2 ? x1 >0, 1 ? x 2 x1

又(x2-x1)-(1-x2x1)= (x2-1)(x1+1)<0 ∴x2-x1<1-x2x1,

6

∴0<

x 2 ? x1 x ? x1 <1,由题意知 f( 2 )<0 1 ? x 2 x1 1 ? x1 x 2

即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0. ∴f(x)在(-1,1)上为减函数. 9. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a +a+1)<f(3a -2a+1).求 a 的取值范围. 命题意图: 本题主要考查函数奇偶性、 单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定 方法.本题属于★★★★★级题目. 知识依托:逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析:逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱. 技巧与方法:本题属于知识组合题类,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,通过 本题会解组合题类,掌握审题的一般技巧与方法. 解:设 0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增, ∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1), ∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.
2 2

1 7 1 2 又2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? ) 2 ? ? 0,3a 2 ? 2a ? 1 ? 3(a ? ) 2 ? ? 0. 4 8 3 3 2 2 2 2 由 f(2a +a+1)<f(3a -2a+1)得:2a +a+1>3a -2a+1.解之,得 0<a<3.
10. 已知奇函数 f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式 f(x-3)+f(x -3)<0,设 不等式解集为 A,B=A∪{x|1≤x≤ 5 },求函数 g(x)=-3x +3x-4(x∈B)的最大值. 命题意图: 本题属于函数性质的综合性题目, 考生必须具有综合运用知识分析和解决问 题的能力,属★★★★级题目. 知识依托:主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析:题目不等式中的“f”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最 值问题时,学生容易漏掉定义域. 技巧与方法:借助奇偶性脱去“f”号,转化为关于 x 的不等式,利用数形结合进行集 合运算和求最值. 解:由 ?
2 2

?0 ? x ? 6 且 x≠0,故 0<x< 6 , 得? ?? 3 ? x ? 3 ? 3 ?? 6 ? x ? 6 ?? 3 ? x ? 3 ? 3
2
2 2

又∵f(x)是奇函数,∴f(x-3)<-f(x -3)=f(3-x ),又 f(x)在(-3,3)上是减函数, ∴x-3>3-x ,即 x +x-6>0,解得 x>2 或 x<-3,综上得 2<x< 6 ,即 A={x|2<x< 6 }, ∴B=A∪{x|1≤x≤ 5 }={x|1≤x< 6 },又 g(x)=-3x +3x-4=-3(x-
2 2 2

1 2 13 ) - 知:g(x)在 2 4

B 上为减函数,∴g(x)max=g(1)=-4.

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