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学案-4.1任意角弧度制及任意角的三角函数

4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
[基础知识回顾] 1.角的概念: ⑴角的概念的推广 ① 按旋转方向不同分为______、_______、_______.② 按终边位置不同分为______和 _______. ⑵弧度制 ① 1 弧度的角:___________________________________叫做 1 弧度的角. ② 规定:正角的弧度数为_______,负角的弧度数为_______,零角的弧度数为_____,|α| =______,l 是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. ③ 弧度与角度的换算:360° =______rad;180° =____rad.1 rad ? 57.3 ④ 弧长公式:________,扇形面积公式: S扇形 ? =______=______ 2.角的关系: ⑴角 ? , ? 终边相同: ? ? 2k? ? ? , k ? Z ⑵角 ? , ? 终边关于 x 轴对称: ? ? __________________________ ; ⑶角 ? , ? 终边关于 y 轴对称: ? ? __________________________ ; ⑷角 ? , ? 终边关于原点对称: ? ? __________________________ ; 3.角的表示 ⑴象限角、轴上角
角终边的位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴非负半轴上 x 轴非正半轴上 角的取值集合 角终边的位置 y 轴非负半轴上 y 轴非正半轴上 x 轴上 y 轴上 坐标轴上 角的取值集合

⑵区间角:如 (2k? ?

?
2

, 2k? ? ? ), k ? Z

4.任意角的三角函数 ⑴定义: 三角函数定义一

三角函数定义二

sin ? ? ____ cos ? ? ____ tan ? ? ____

r ? x2 ? y 2 sin ? ? ____ cos ? ? ____ tan ? ? ____
⑶三角函数线

⑵三角函数符号:

1

⑶特殊角的三角函数值:如 0,

? ? ? ? 2? 5?

, , , , , , ? 的三角函数值. 6 4 3 2 3 6

[例题精选] 例 1.⑴将下列各角从度化成弧度: ① 12 ? ___ rad ;② ?210 ? ___ rad ;③ 22 30' ? ____ rad ;④ 1200 ? ____ rad ⑵将下列各角从弧度化成度:

2? ? ___ ;③ ?12? ? ___ ;④ 2 ? ____ ;⑤ ?1.2 ? ___ 6 15 (注意:弧度制单位 rad 在应用中可不写,但用度制一定要带单位,如:2 和 2 是不同的角)


?

? ___ ;②

练习 1:将 ?1485 化成 2k? ? ? (0 ? ? ? 2? ) 的形式是( (A) ?8? ?



?

4 4 4 19? 练习 2:与角 终边相同的角的集合是_____________;它们中最小的正角是________, 6
最大的负角是________;它们是第____象限角.

(B) ?8? ?

?

(C) ?10? ?

?

(D) ?10? ?

7? 4

例 2.分别写出与

? 的终边关于 x 轴,y 轴,原点对称的角的集合. 4

[变式 1]角 ? 的终边落在直线 y ? x 上,试写出角 ? 的集合.

[变式 2]写出终边在下列阴影部分内角的集合(含边界).

[变式 3]已知角 ? 的终边落在阴影部分内,其满足 ? ? [0,2? ) ,试写出 ? 的集合

例 3.已知角 ? 的终边过点 P(?4,3) ,求 sin ? ,cos ? , tan ?

[变式 1]已知角 ? 的终边过点 P(?4m,3m)(m ? 0) ,求 sin ? ,cos ? , tan ?
2

[变式 2]已知角 ? 的终边落在直线 3x ? 4 y ? 0 上,求 sin ? ,cos ? , tan ? 例 4.已知点 P(tan ? ,cos? ) 在第三象限,则角 ? 的终边在( (A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 练习 1: sin 5 ? cos3 的值( ) (A)大于 0(B)小于 0(C)等于 0(D)不大于 0 练习 2:函数 y ? )

sin x | cos x | tan x k? ? ? (x ? , k ? Z ) 的值域是______. | sin x | cos x | tan x | 2

例 5.求函数 y ? sin x ? ? cos x 的定义域

练习 1:利用三角函数线,求函数 y ? lg(2sin x ? 3) 的定义域.

练习 2:解不等式 cos ? ? ?

1 2


练习 3:在区间 (0, 2? ) 内,使 sin ? ? cos ? 成立的角的取值范围是( (A) (

? ?

, ) 4 2

(? ,

5? ? ? 5? ? ) (B) ( , ? ) (C) ( , ) (D) ( , ? ) 4 4 4 4 4

(

5? , 2? ) 4

[课后总结反思] 1. 角的定义及表示; 2. 三角函数的定义、符号; 3. 解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线.

3


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