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2016-2017学年高二数学(苏教版选修1-2)习题:第2章 推理与证明 章末检测2

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章末检测

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.在△ABC 中,E、F 分别为 AB,AC 的中点,则有 EF∥BC,这个问题的大前提为 ________. 答案 三角形的中位线平行于第三边
解析 这个三段论推理的形式为:大前提:三角形的中位线平行于第三边;小前提:EF 为△

ABC 的中位线;结论:EF∥BC.
2.对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式: 22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7 23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19 根据上述分解规律,若 m2=1+3+5+…+11,n3 的分解中最小的正整数是 21,则 m+n= ________. 答案 11
1+11 解析 ∵m2=1+3+5+…+11= 2 ×6=36,
∴m=6.∵23=3+5,33=7+9+11,

43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29,

∵n3 的分解中最小的数是 21,

∴n3=53,n=5,∴m+n=6+5=11.

3.用反证法证明命题“ 2+ 3是无理数”时,其反证假设是________. 答案 2+ 3是有理数 解析 应对结论进行否定,则 2+ 3不是无理数,即 2+ 3是有理数.

4.已知 f(x+1)=f?2xf??+x?2,f(1)=1(x∈N*),猜想 f(x)的表达式为________.

答案

2 x+1

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解析 当 x=1 时,f(2)=f?21f??+1?2=23=2+2 1,
当 x=2 时,f(3)=f?22f??+2?2=24=3+2 1;
当 x=3 时,f(4)=f?23f??+3?2=25=4+2 1, 故可猜想 f(x)= 2 .
x+1 5.对“a,b,c 是不全相等的正数”,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a=b 与 b=c 及 a=c 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. 其中判断正确的个数为________. 答案 1 解析 若(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则 a=b=c,与“a,b,c 是不全相等的正数”矛
盾,故①正确.a=b 与 b=c 及 a=c 中最多只能有一个成立,故②不正确.由于“a,b,c 是
不全相等的正数”,有两种情形:至多有两个数相等或三个数都互不相等,故③不正确. 6.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状 完全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有________个. ①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱锥. 答案 2 解析 类比相似形中的对应边成比例知,①③属于相似体. 7.数列{an}满足 a1=12,an+1=1-a1n,则 a2015 等于________. 答案 -1 解析 ∵a1=12,an+1=1-a1n, ∴a2=1-a11=-1,a3=1-a12=2,a4=1-a13=12, a5=1-a14=-1,a6=1-a15=2, ∴an+3k=an(n∈N*,k∈N*)
∴a2015=a2+3×671=a2=-1. 8.若数列{an}中,a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,…,则 a8=
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________. 答案 512 解析 由 a1,a2,a3,a4 的形式可归纳:

7×?1+7? ∵1+2+3+4+…+7= 2 =28,

∴a8 的首项应为第 29 个正奇数,即 2×29-1=57.

∴a8=57+59+61+63+65+67+69+71

8×?57+71?



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=512.

9.在数列{an}中,a1=1,且 Sn,Sn+1,2S1 成等差数列(Sn 表示数列{an}的前 n 项和),则 S2, S3,S4 分别为________,猜想 Sn=________. 答案 32,74,185 22nn--11(n∈N*)

解析 由 Sn,Sn+1,2S1 成等差数列,得 2Sn+1=Sn+2S1,因为 S1=a1=1,所以 2Sn+1=Sn+2. 令 n=1,则 2S2=S1+2=1+2=3?S2=32, 同理,分别令 n=2,n=3,可求得 S3=74,S4=185.

由 S1=1=212-0 1,S2=32=222-1 1,S3=74=232-2 1,

S4=185=242-3 1,猜想

2n-1 Sn= 2n-1 .

10.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第 n 个图案中有白色 地面砖的块数是________.

答案 4n+2 解 观察可知:除第一个以外,每增加一个黑色地板砖,相应的白地板砖就增加四个, 因此第 n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以 6 为首项,公差是 4 的等差数列的第 n 项”. 故第 n 个图案中有白色地面砖的块数是 4n+2. 11.观察下列等式: (1+1)=2×1
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(2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 按此规律,第 n 个等式可为________. 答案 (n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1) 12.f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*),经计算得 f(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,f(32)>72,推 测当 n≥2 时,有________. 答案 f(2n)>2+2 n(n≥2) 解析 观测 f(n)中 n 的规律为 2k(k=1,2,…)

2+k 不等式右侧分别为 2 ,k=1,2,…,

2+n ∴f(2n)> 2 (n≥2).

13.已知 2+32=2 23, 3+83=3 38, 4+145

=4 145,…,若 答案 6 35

6+ab=6

ab(a,b 均为实数),推测 a=________,b=________.

解析 由前面三个等式,推测被开方数的整数与分数的关系,发现规律.由三个等式知,整

数和这个分数的分子相同,而分母是分子的平方减 1,由此推测 6+ba中,a=6,b=62-1

=35,即 a=6,b=35. 14.在平面几何中,△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为AEEB=ABCC,把这个结论类 比到空间:在三棱锥 ABCD 中(如图所示),面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于 E,则得 到的类比的结论是________.

答案 AEEB=SS△ △ABCCDD 解析 CE 平分∠ACB,而面 CDE 平分二面角 ACDB.∴ABCC可类比成SS△△BACCDD,故结论为AEEB=SS△△BACCDD. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分)
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15.(14 分)已知 a、b、c 是互不相等的非零实数.求证三个方程 ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a =0,cx2+2ax+b=0 至少有一个方程有两个相异实根. 证明 反证法: 假设三个方程中都没有两个相异实根, 则 Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0.相加有 a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+ c2-2ac+a2≤0, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.① 由题意 a、b、c 互不相等,∴①式不能成立. ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 16.(14 分)设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? (1)证明 假设数列{Sn}是等比数列,则 S22=S1S3, 即 a21(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2), 因为 a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 即 q=0,这与公比 q≠0 矛盾, 所以数列{Sn}不是等比数列. (2)解 当 q=1 时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列; 当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列,否则 2S2=S1+S3, 即 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾. 17.(14 分)请你把不等式“若 a1,a2 是正实数,则有aa212+aa221≥a1+a2”推广到一般情形,并证 明你的结论. 解 推广的结论: 若 a1,a2,…,an 都是正实数,则有 aa212+aa223+…+a2na-n 1+aa2n1≥a1+a2+…+an.
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证明:∵a1,a2,…an 都是正实数, ∴aa212+a2≥2a1;aa223+a3≥2a2;… a2na-n 1+an≥2an-1;aa2n1+a1≥2an, aa212+aa223+…+a2na-n 1+aa2n1≥a1+a2+…+an. 18.(16 分)已知 a,b,c 为正数,且 f(n)=lgan+b3n+cn, 求证:2f(n)≤f(2n). 证明 要证 2f(n)≤f(2n)
只需证???an+b3n+cn???2≤a2n+b32n+c2n
即证(an+bn+cn)2≤3(a2n+b2n+c2n) 即 2anbn+2cnbn+2ancn≤2(a2n+b2n+c2n) ∵a2n+b2n≥2anbn,a2n+c2n≥2ancn, b2n+c2n≥2bncn ∴2anbn+2cnbn+2ancn≤2(a2n+b2n+c2n) ∴原不等式成立. 19.(16 分)正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{a2n}成等差数列.证明数列{an}中有无穷多 项为无理数. 证明 由已知有:a2n=1+24(n-1), 从而 an= 1+24?n-1?,取 n-1=242k-1, 则 an= 1+242k(k∈N*). 用反证法证明这些 an 都是无理数. 假设 an= 1+242k为有理数,则 an 必为正整数,且 an>24k, 故 an-24k≥1,an+24k>1,与(an-24k)(an+24k)=1 矛盾,所以 an= 1+242k(k∈N*)都是无 理数, 即数列{an}中有无穷多项为无理数.
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20.(16 分)设 a,b,c 为一个三角形的三条边,s=12(a+b+c),且 s2=2ab,试证:s<2a. 证明 要证 s<2a,由于 s2=2ab,所以只需证 s<sb2, 即证 b<s. 因为 s=12(a+b+c),所以只需证 2b<a+b+c,即证 b<a+c. 由于 a,b,c 为一个三角形的三条边,所以上式成立,于是原命题成立.
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