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2012年数学一轮复习精品试题第四十三讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图


2012 年数学一轮复习精品试题 第四十三讲 体的结构及其三视图和直观图

空间几何

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成,这个图形是( )

解析:选项 A 得到的是空心球;D 得到的是球;选项 C 得到的是车轮内胎;B 得到的 是空心的环状几何体,故选 C. 答案:C 2.在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( A.角的水平放置的直观图不一定是角 B.相等的角在直观图中仍然相等 C.相等的线段在直观图中仍然相等 D.若两条线段平行,且相等,则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等 解析:角在直观图中可以与原来的角不等,但仍然为角;由正方形的直观图可排除 B、 C,故选 D. 答案:D 3.下图所示的四个几何体,其中判断正确的是( ) )

A.(1)不是棱柱 C.(3)是圆台

B.(2)是棱柱 D.(4)是棱锥

解析:显然(1)符合棱柱的定义;(2)不符合;(3)中两底面不互相平行,故选 D. 答案:D 4.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

A.①② C.①④

B.①③ D.②④

解析:正方体三个视图都相同;圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是带圆 心的圆; 三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯形但不一定相同; 正四棱锥的正视图和侧视图 是全等的等腰三角形,故选 D. 答案:D 5.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形面积为 2,则原梯形的面积 为( )

A.2 C.2 2

B. 2 D.4

解析:设直观图中梯形的上底为 x,下底为 y,高为 h.则原梯形的上底为 x,下底为 y, 高为 2 2h,故原梯形的面积为 4,选 D. 答案:D

6. 某几何体的一条棱长为 7, 在该几何体的正视图中, 这条棱的投影是长为 6的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大 值为( ) B.2 3 D.2 5

A.2 2 C.4

解析:构造长方体,将棱 BH 构造为长方体的体对角线,由题意知 BH 的正视图的投影 为 CH,BH 的侧视图的投影为 BG,BH 的俯视图投影为 BD.

设 AB=x,AD=y,AE=h, 则由 CH= 6?DC2+DH2=6?x2+h2=6, 又 BH= 7?BC=1,即 y=1. BH 侧视图的投影为 BG= y2+h2, BH 俯视图的投影为 BD= x2+y2, ∴ y2+h2+ x2+y2≤2 当 x=h 时,取等号. 答案:C 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为________(只填 写序号). (y2+h2)+(x2+y2) =4, 2

解析:当截面与正方体的某一面平行时,可得①,将截面旋转可得②,继续旋转,过正 方体两顶点时可得③,即正方体的对角面,不可能得④. 答案:①②③ 8.有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母.下图是从 3 种不同角度看同一粒骰子 的情况,请问 H 反面的字母是________.

解析:因为正方体的骰子共有六个面,每个面都有一个字母,从每一个图中都看到有公 共顶点的三个面,又与标有 S 的面相邻的面有四个,由图可知,这四个平面分别标有 H、E、 O、P 四个字母,故能说明 S 的反面是 D,翻转图②使 P 调整到正前面,S 调整到正左面, 则 O 为正下面,所以 H 的反面是 O. 答案:O 9.有一个三棱锥和一个四棱锥,棱长都相等,问它们的一个侧面重叠后,还有几个暴 露面?________. 解析:如图(1)三棱锥 S—A′B′C′有四个暴露面,如图(2)四棱锥 V—ABCD 有五个 暴露面,且它们的侧面都是完全相同的正三角形.

如图(3)当三棱锥 S—A′B′C′的底面 A′B′C′与四棱锥 V—ABCD 的侧面 AVD 完 全重合后,四点 S,A,B,V 共面,同样四点 S,D,C,V 也共面,此时,新几何体共有 5 个面. 答案:5 10.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,两条侧棱长为 取值范围是________. 解析:如图 1,四面体 ABCD 中,AB=BC=CA=1,DA=DC= 是可以变动的. 13 ,只有棱长 BD 2 13 ,则第三条侧棱长的 2

设 M 为 AC 的中点,则 MD=

? 13?2-?1?2= 3,MB= 3.但是要构成三棱锥,如 2 ? 2 ? ? 2?
3 3 3 ,BD2=3MB= , 2 2

图 2 所示,必须 BD1<BD<BD2,BD1=MB= 3 3 3 <BD< . 2 2 3 3 3? ?2, 2 ?



答案:?

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 11.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,P 是 AA1 的中点,E 是 BB1 上一点,如 图所示,求 PE+EC 的最小值.

解:把面 A1ABB1 和面 B1BCC1 展成平面图形,如图所示,PE+EC 的最小值即为线段 1 PC 的长.由于 AP=PA1= ,AC=2, 2

所以 PC=

1 17 22+?2?2= , ? ? 2 17 . 2

所以 PE+EC 的最小值为

评析: “化折为直”是求空间几何体表面上折线段最小值问题的基本方法, 其途径是将 各侧面展开. 12.以正四棱台(底面为正方形,各个侧面均为全等的等腰梯形)为模型,验证棱台的平 行于底面的截面的性质:设棱台上底面面积为 S1,下底面面积为 S2,平行于底面的截面距 m S2+n S1 棱台上、下两底的距离的比为 m?n,则截面面积 S 满足下列关系: S= .当 m m+n =n 时,则 S= S 1+ S 2 (中截面面积公式). 2

解: 如图所示, 把棱台补成棱锥. 根据棱台上、 下底面与平行于底面的截面相似的性质, 上底面、下底面、截面的相似比为 S1: S2: S.

设 PO2=h,O1O2=x, 则 S1 PO2 = = S PO h(m+n) = , m h(m+n)+mx h+x· m+n h

h+x (h+x)(m+n) S2 PO1 = = = . m h(m+n)+mx S PO h+x· m+n ∴ nh(m+n) m(h+x)(m+n) (hn+hm+mx)(m+n) n S1 m S2 + = + = =m+n, h(m+n)+mx h(m+n)+mx h(m+n)+mx S S

m S2+n S1 即 S= . m+n 当 m=n 时,则 S= m S1+m S2 S 1+ S 2 = . 2 m+m

评析: 由于棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体, 台体中一些几何量的计 算不是很容易时就可以把台体还原为锥体, 利用锥体的一些性质解决台体问题, 如利用平行 于锥体底面的平面截锥体, 则截面面积和底面面积的比等于被截得的小锥体的高和原锥体的 高的比的平方, 截得的小锥体的体积和原来锥体的体积的比等于被截得的小锥体的高和原来 锥体高的比的立方等. 13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个 球过这个正方体的各个顶点.求这三个球的半径之比. 解:设正方体的棱长为 a,球的半径分别为 R1,R2,R3.球内切于正方体时,球的直径 a 和正方体的棱长相等,如图 1 所示,AB=2R1=a,所以 R1= ; 2

球与这个正方体的各条棱相切时,球的直径与正方体的面对角线长相等,如图 2 所示, CD=2R2= 2a,所以 R2= 2a ; 2

当球过这个正方体的各个顶点时, 也即正方体内接于球, 此时正方体的八个顶点均在球 面上,则正方体的体对角线长等于球的直径,如图 3 所示,EF=2R3= 3a,

所以 R3=

3a . 2

故三个球的半径之比为 1: 2: 3.


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