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广东北江中学09届高三12月月考数学(理)试卷


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月月考数学(理 试卷 广东北江中学 09 届高三 12 月月考数学 理)试卷 选择题(共 第一部分 选择题 共 40 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题( 有一项是符合题目要求的) 有一项是符合题目要求的)
2 1.已知集合 A = {x | y = log 2 ( ? x + x + 2), x ∈ R} , B = {x | y = 1 ? x , x ∈ R} 则 A ∩ B =
2

A.

(?1,1)

B.

(?1,1]

C.

(?1, 2)

D.

[?1, 2]

2. 已知复数 z 满足

(

3 + 3i z = 3i ,则 z =

)

A

3 3 - i 2 2

B.

3 3 - i 4 4

C

3 3 + i 2 2

D

3 3 + i 4 4

3. 甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生,为统计三校学生某方面 的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,应在这三校分别抽取学 生 A. 30 人, 30 人, 30 人 B. 30 人, 45 人, 15 人 D. 30 人, 50 人, 10 人 C. 20 人, 30 人, 10 人 4. 已知函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + ? ) 对任意 x 都有 f ( A. 2 或 0 B. ?2 或 2 C. 0 D. ?2 或 0
4

π

+ x) = f ( ? x), 则 f ( ) 等于 6 6 6

π

π

5.“ a = 2 ”是“ ( x ? a ) 6 的展开式的第三项是 60 x ”的________条件 A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 甲、 乙两间工厂的月产值在 08 年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值. 乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到 08 年 11 月份发现两间工厂的月产值又 相同.比较甲、乙两间工厂 08 年 6 月份的月产值大小,则有 A. 甲的产值<乙的产值 B. 甲的产值=乙的产值 C. 甲的产值>乙的产值 D.不能确定 7. 已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,且 f ( x + 1) = 那么 f ( x ) 在 [2,3] 上是 A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数

1 ,若 f ( x ) 在 [ ?1, 0] 上是减函数, f ( x)

8. △ ABC 内有一点 O ,满足 OA + OB + OC = 0 ,且 OAiOB = OB iOC .则 △ ABC 一定是 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形

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第二部分
二. 填空题(每小题 5 分,共 30 分) 填空题 每小题 共

非选择题(共 非选择题 共 110 分)

9. 从 5 名外语系大学生中选派 4 名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动, 要求翻译有 2 人参加, 交通和礼仪各有 1 人参加, 则不同的选派方法共有 10. 定义某种运算 S = a ? b ,运算原理如图 1 所示,则式子:
开始

. (用数字作答)

5π ? ? ?1? ? 2 tan ? ? ln e + lg 100 ? ? ? 的值是 4 ? ? ?3?

?1

.
输入两个数 a 和 b



a≥b



输出 a ×( b +1)

输出 a ×( b –1)

11. 如图 2,由两条曲线

y = ? x 2 ,4 y = ? x 2 及直线 y = ?1 所围成
的图形的面积为 。
结束

图1

?x ? y + 2 ≥ 0 ? 12.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x + y ? 4 ≥ 0 , ?2 x ? y ? 5 ≤ 0 ?
目标函数 z = y ? ax ( a ∈ R ) .若 z 取最大值时的唯一最优解是 (1,3),则实数 a 的取值范围是________________. 注意, 注意,请从 13-15 题中任选两题,三题都选只计算前两题得分 - 题中任选两题,三题都选只计算前两题得分. 13.(坐标系与参数方程 选做题 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程 选做题)把极坐标方程 ρ cos(θ ? ____________________. 14.(几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题)如图,梯形 ABCD , AB // CD , 几何证明选讲选做题 图2

π

6

) = 1 化为直角坐标方程是

D E

C

E 是对角线 AC 和 BD 的交点, S ?DEC : S ?DBC = 1: 3 ,
则 S ?DEC : S ABD = __________ .

A

B

15. (不等式选讲选做题 函数 y = 5 x ? 1 + 10 ? 2 x 的最大值为_________________。 不等式选讲选做题) 不等式选讲选做题

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解答题( 小题,共 请写出必要的解题步骤) 三.解答题(共 6 小题 共 80 分,请写出必要的解题步骤) 解答题 请写出必要的解题步骤 16.(本小题满分 12 分) 已 知 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) ( A > 0, ω > 0, ? 的图象如右图 (Ⅰ)求 y = f ( x) 的解析式;

y
4

π

2

≤? ≤

π

2

)
0

π
6

π

x

?4

(Ⅱ)说明 y = f ( x) 的图象是由 y = sin x 的图象经过怎样的变换得到?

17. (本小题满分 12 分) 旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条. (Ⅰ)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率; (Ⅱ)求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.

18. (本小题满分 14 分) 已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ,且总与直线 l : x = ?1 相切, (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 两点,当 y1 y2 = ?16 时,直线 AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

19. (本小题满分 14 分) 如图,在四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点, A

CA = CB = CD = BD = 2 , AB = AD = 2.
(Ⅰ)求证: AO ⊥ 平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点 E 到平面 ACD 的距离. B E D O C

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20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) = ax ? ln x, x ∈ (0, e], g ( x ) =

ln x ,其中 e 是自然常数, a ∈ R. x

(Ⅰ)讨论 a = 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, f ( x ) > g ( x ) +

1 ; 2

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理 由.

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } , a1 = a2 = 2 , an +1 = an + 2an ?1 ( n ≥ 2) (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an (Ⅱ)当 n ≥ 2 时,求证:

1 1 1 + + ... + < 3 a1 a2 an
2 *

(Ⅲ)若函数 f ( x ) 满足: f (1) = a1 , f ( n + 1) = f ( n) + f ( n). ( n ∈ N ) 求证:

∑ f (k ) + 1 < 2 .
k =1

n

1

1

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广东北江中学 09 届 月考数学(理 答题 答题卷 高三 12 月月考数学 理)答题卷
姓名:____________班级: ____________学号:____________考号:___________ 姓名: 班级 班级: 学号 学号: 考 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 填空题( 9、______________;10、_______ ;11、________;12、_____________ 、 ; 、 、 、 13、______________;14、___________; 15、_______________. 、 、 、 三、解答题(共 80 分) 解答题( 16、(本小题满分 12 分) 、(本小题满分 、(

y
4

0

π
6

π

x

?4

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17、(本小题满分 12 分) 、(本小题满分 、(

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18、(本小题满分 14 分) 、(本小题满分 、(

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19、(本小题满分 14 分) 、(本小题满分 、( A

D O B E C

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20、(本小题满分 14 分) 、(本小题满分 、(

姓名:____________班级: ____________学号:____________考号 姓名: 班级 班级: 学号 学号: 考号 考号:_________

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21、(本小题满分 14 分) 、(本小题满分 、(

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月月考数学(理 试卷 试卷参考答案 广东北江中学 09 届高三 12 月月考数学 理)试卷参考答案
一、选择题:BDBBA CAD 二、填空题:9.60; 10.8; 11. 三、解答题: 16.(本小题满分 12 分) 解: ( 1) 由图知 A= 4----------------1 分 由

4 ; 12. (1, +∞) ;13. 3

3 x + y ? 2 = 0 ; 14.1:6;15. 6 3

3T π 5π 10π 9 =π ? = ,得 T = 所以 ω = -------------3 分 4 6 6 9 5 9 π π π 9 π 由 × + ? = ,得 ? = -------------5 分,所以, f ( x ) = 4sin( x + ) ---------6 分 5 6 2 5 5 5
(2) ①由 y = sin x 得图象向左平移 ② 再由 y = sin( x +

π

5 9 π ) 图象的横坐标缩短为原来 得 y = sin( x + ) 的图象---10 分 5 9 5 5 9 π 9 π ③由 y = sin( x + ) 的图象纵坐标伸长为原来的 4 倍得 f ( x ) = 4sin( x + ) 的图象 12 5 5 5 5
17. (本小题满分 12 分) 解:(1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为:P1=
3 A4 3 = ……4 分 43 8

π

5

单位得 y = sin( x +

π

5

) 的图象--------8 分

(2)设选择甲线路旅游团数为ξ,则ξ=0,1,2,3………………5 分 P(ξ=0)=
33 27 = 43 64
1 C3 ? 3 9 = 3 64 4

P(ξ=1)=

1 C 3 ? 3 2 27 = 64 43

P(ξ=2)=

P(ξ=3)=

3 C3

4

3

=

1 ………………9 分 64

∴ξ的分布列为:

ξ

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

P

………………10 分

∴期望 Eξ=0×

27 27 9 1 3 +1× +2× +3× = ………………12 分 64 64 64 64 4

18. (本小题满分 14 分) 解: (1) 因为动圆 M,过点 F (1, 0) 且与直线 l : x = ?1 相切,所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线

l 的距离.所以,点 M 的轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且
所以所求的轨迹方程为 y 2 = 4 x ---------5 分

p = 1, p = 2 , 2

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(2) 假设存在 A,B 在 y = 4 x 上,
2

所以,直线 AB 的方程: y ? y1 =

y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 = 2 (x ? 1 ) y2 y2 x2 ? x1 4 ? 1 4 4

4 y12 即 AB 的方程为: y ? y1 = (x ? ) ,即 ( y1 + y2 ) y ? y12 ? y1 y2 = 4 x ? y12 y1 + y2 4
即: ( y1 + y2 ) y + (16 ? 4 x ) = 0 ,令 y = 0 ,得 x = 4 , 所以,无论 y1 , y2 为何值,直线 AB 过定点(4,0) 19(本小题满分 14 分) 解:方法一:⑴.证明:连结 OC

∵ BO = DO, AB = AD,∴ AO ⊥ BD. ………… 1 分 ∵ BO = DO, BC = CD , CO ⊥ BD . ……… 2 分
在 ?AOC 中,由已知可得 AO = 1, CO = 3. … 3 分 而 AC = 2 , ∴ AO 2 + CO 2 = AC 2 , ………………… 4 分 D O C E A



∴∠AOC = 90o , 即 AO ⊥ OC. ………………… 5 分

∵ BD ∩ OC = O, ∴ AO ⊥ 平面 BCD .

B …………………………… 6 分

⑵.解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC , ∴ 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角,…………… 8 分

在 ?OME 中, EM =

1 2 1 AB = , OE = DC = 1, 2 2 2

∵ OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线,∴ OM =
∴ cos ∠OEM =

1 AC = 1 ……………9 分 2

OE 2 + EM 2 ? OM 2 2 , = 2 ? OE ? EM 4

……………………… 10 分

∴异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为

2 . ………………………… 11 分 4


⑶.解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .∵VE ? ACD = VA?CDE

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1 1 ∴ h ? S ?ACD = ? AO ? S ?CDE 3 3
………………………………………………12 分

在 ?ACD 中, CA = CD = 2, AD =

2,

1 2 7 1 3 2 3 ∴ S ?ACD = × 2 × 2 2 ? ( ) 2 = ,而 AO = 1 , S ?CDE = × ×2 = . 2 2 2 2 4 2

3 AO ? S ?CDE 1× 2 21 ∴h = , = = S ?ACD 7 7 2
方法二:⑴.同方法一.

∴点 E 到平面 ACD 的距离为

21 7

…14 分

⑵.解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系,则 B (1, 0, 0), D ( ?1, 0, 0), z 1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA = (?1, 0,1), CD = (?1, ? 3, 0). 2 2 A

∴ cos < BA, CD >=

BA ? CD BA ? CD

=

2 , 4

……………

9分 D O

∴ 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为

2 .…… 4

10x 分

B E

C y

⑶.解:设平面 ACD 的法向量为 n = ( x, y, z ), 则

?n ? AD = ( x, y, z ) ? (?1, 0, ?1) = 0 ? , ? ?n ? AC = ( x, y, z ) ? (0, 3, ?1) = 0 ?
∴?

?x + z = 0 ? ,令 y = 1, 得 n = ( ? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量. ? 3y ? z = 0 ?
又 EC = ( ?

EC ? n 1 3 3 21 , , 0), ∴点 E 到平面 ACD 的距离 h = .…14 分 = = 2 2 7 7 n 1 x ?1 = x x

20(本小题满分 14 分 解:(Ⅰ)∵ f ( x ) = x ? ln x , f ′( x ) = 1 ? ……1 分

∴当 0 < x < 1 时, f / ( x ) < 0 ,此时 f ( x ) 单调递减 当 1 < x < e 时, f / ( x ) > 0 ,此时 f ( x ) 单调递增 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) = 1 ……3 分 ……4 分

(Ⅱ)∵ f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值为 1,

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∴ f ( x ) > 0 , f ( x) min = 1 令 h( x) = g ( x) + ……5 分

1 ln x 1 1 ? ln x = + , h ′( x) = , ……6 分 2 x 2 x

当 0 < x < e 时, h ′( x ) > 0 , h( x ) 在 (0, e] 上单调递增 ……7 分 ∴ h( x ) max = h(e) =

1 1 1 1 + < + = 1 =| f ( x) | min e 2 2 2 1 2
……9 分

∴在(1)的条件下, f ( x ) > g ( x ) +

(Ⅲ)假设存在实数 a ,使 f ( x ) = ax ? ln x ( x ∈ (0, e] )有最小值 3,

f / ( x) = a ?

1 ax ? 1 = x x

……9 分

① 当 a ≤ 0 时, f (x ) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min = f (e) = ae ? 1 = 3 ,a = 所以,此时 f (x ) 无最小值. ②当 0 < ……10 分

4 (舍去), e

1 1 1 < e 时, f (x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a

1 f ( x) min = f ( ) = 1 + ln a = 3 , a = e 2 ,满足条件. ……11 分 a
③ 当

1 4 ≥ e 时, f (x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min = f (e) = ae ? 1 = 3 ,a = (舍去), a e
2

所以,此时 f (x ) 无最小值.综上,存在实数 a = e ,使得当 x ∈ (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3. 21(本小题满分 14 分) 解: (1) ∵ an +1 = an + 2an ?1 ,两边加 an 得: an +1 + an = 2( an + an ?1 ) ( n ≥ 2) ,

∴ {an +1 + an } 是以 2 为公比, a1 + a2 = 4 为首项的等比数列.

∴ an +1 + an = 4i2n ?1 = 2i2n ---------①
由 an +1 = an + 2an ?1 两边减 2an 得: an +1 ? 2an = ?( an ? 2an ?1 ) ( n ≥ 2)

∴ {an +1 ? 2an } 是以 ?1 为公比, a2 ? 2a1 = ?2 为首项的等比数列.
∴ an +1 ? 2an = ?2i(?1)n ?1 = 2i(?1) n -----------②
①-②得: 3an = 2[2 ? ( ?1) ]
n n

所以,所求通项为 an =

2 n [2 ? (?1)n ] --------5 分 3

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(2) 当 n 为偶数时,

1 1 3 1 1 3 2n ?1 + 2 n + = [ n ?1 + n ] = i n ?1 n an +1 an 2 2 + 1 2 ? 1 2 2 i2 + 2n ? 2n ?1 ? 1

3 2n ?1 + 2n 3 2 n ?1 + 2n 3 1 1 = i n ?1 n < i n ?1 n = ( n ?1 + n )(n ≥ 2) n ?1 2 2 i2 + 2 ? 1 2 2 i2 2 2 2

1 1? n 1 1 1 3 1 1 1 3 1 ∴ + + ... + < (1 + + 2 + ... + n ) = i 2 = 3 ? 3i n < 3 1 2 2 2 2 1? 2 a1 a2 an 2 2
当 n 为奇数时,∵ an =

2 n 1 [2 ? (?1) n ] > 0 ,∴ an +1 > 0, > 0 ,又 n + 1 为偶数 an +1 3

∴ 由(1)知,

1 1 1 1 1 1 1 + + ... + < + + ... + + < 3 --------10 分 a1 a2 an a1 a2 an an +1

(3)证明:∵ f ( n + 1) ? f ( n) = f 2 (n) ≥ 0

∴ f (n + 1) ≥ f (n),∴ f (n + 1) ≥ f (n) ≥ f (n ? 1) ≥ ??? ≥ f (1) = 2 > 0


1 1 1 1 1 = 2 = = ? f (n + 1) f (n) + f (n) f (n)[ f (n) + 1] f (n) f (n) + 1 1 1 1 = ? ----------------------------------------------------------------12 分 f (n) + 1 f (n) f (n + 1)
n



∴∑
k =1

1 1 1 1 1 1 1 =[ ? ]+[ ? ] + ??? + [ ? ] f (k ) + 1 f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n + 1) 1 1 1 1 = ? < = . f (1) f (n + 1) f (1) 2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------14 分

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