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9.7.1直线和平面所成的角(二)


过角的顶点的射线和角的两边的夹角相等, 则这条射线在平面内的射影是角平分线


已 知?ABC ?α , P?α ,?PBA ? ?PBC, PQ ?α , 求 证 : QBA ? ?QBC. ? 证明:由题意 PBQ为BP与α所成 ? 角 P
E ?

A
Q C

B F

由 三 余 弦 公 式 : cosPBA ? ? cos?PBQ? cos?QBA cos?PBC ?

cos?PBQ ? cos?QBC

结合已知易得: QBA ? ?QBC ?

E

F



(4)PA, PC与 底 面 所 成 角 相 等 则 O是 PB, , 外 Δ ABC___心

例3.如图,在正方体 ABCD? A1B1C1D1 中,
求 A1B与平面BB1D1D所成角
D1
法1.解:连结A 1交B1D1于O1 1C

A1
D

O1 B1

C1 正方形中易知AO1 ? B1D1 1 正方体中DD? 平面A C1, 1 1

C B


A

连结OB 则?A1BO1为所求角 1
1 A 1B??A BO ? 300 1 1

? A1O ? 平面DB 1

? A1O1 ? DD1

A1O ? 平面A C1 1

RtΔA1BO1中,O1A 1 ?

例3.如图,在正方体 ABCD? A1B1C1D1 中,
求 A1B与平面BB1D1D所成角
D1
● ●

z B1

C1 以 AD, DC, DD 在 直 线 为 x轴 1所
y轴 , z轴 建 系 D ACD1 ?

法2.法向量来解决

A1

则A1(1,0,1), B(1,1,0),


D
x

A

B



D C y D(0,0,0),1(0,0,1) BA1 ?(0,-1,1)

DD1 ?(0,0,1), ?(1,1,0) DB

设平面BD n y, 1一个法向量为?(x, z)

设平面BD n y, 1一个法向量为?(x, z)

DD1 ?(0,0,1), ?(1,1,0) DB

n ? DD1, ? DB n
?n ? DD1 ?(x, z)?(0,0,1) z ? 0 y, ?

n ? DB ?(x, z)?(1,1,0) x ? y ? 0 y, ?
取一个法向量 ?(1, 1,0) n ? BA1 ?(0,-1,1), 1 1 cos ? A 1B,n ?? ? 2? 2 2 0 所求角与这个角互余?线面所成角30

例4:四十五5.长方 体ABCD? A1B1C1D1中,底 面边长为2正方形,高 为4,则A到截面ABD1 1 1 距离?
D1 A1 D A B B1 C C1

法1:找到射影点位置 Δ中求解 法2:法向量法先求斜 线和平面所 成角,进而求点到面距 离。 进而求点到面距离。

法3:三余弦公式求出 线面所求角,

例4:四十五5.长方 体ABCD? A1B1C1D1中,底 面边长为2正方形,高 为4,则A到截面ABD1 1 1 Δ中求解 距离? 法1:找到射影点位置
D1 A1 O D A B B1

?长方体中,A 1A,A B1 1 ,A1D1两两垂直, C1 A 在平面AB 内射影为垂心 ? 1 E 1D1

? 作 A1O ? 平 面 ABD1, 则 O落 高 线 1
C

又ΔABD1中,AB ? AD1 1 1

连结AE, 且 中 线 AE上 , 1
4? 2 4

RtΔAAE中,AE ? 2 1 1 AA1 ? 4,AE? 16 ? 4 ? 2 ? 3 2
由面积相等得:AO ? 1 ?

例4:四十五5.长方 体ABCD? A1B1C1D1中,底 面边长为2正方形,高 为4,则A到截面ABD1 1 1 线和平面所 距离? 法2:法向量法先求斜 z 成角,进而求点到面距 离。 D
1

A1 D A X

B1

C1 以 AD, DC, DD 在 直 线 为 x轴 , 所
1

y轴 , z轴 建 系 D ACD1 ?
C

B A(2,0,0),1(2,0,4),1(0,0,4),1(2,2,4) A D B

设平面的一个法向量为 (x, z) n ? y, y

AD1 ?(?2,0,4),1B1 ?(2,2,0) D n ? AD1, ? D1B1 n

AD1 ?(?2,0,4),1B1 ?(2,2,0) D ?n ? AD1 ?(x, z)?(?2,0,4) ?2x ? 4z ? 0 y, ?

n ? D1B1 ?(x, z)?(2,2,0) 2x ? 2y ? 0 y, ?

取n ?(2, 2,1) AA1 ?(0,0,4) ?
4 1 ? cos ? n,AA1 ?? ? 3?4 3 AA1与平面所成角与n,AA1向量夹角互余, ?

1 ? sinθ ? 3

1 4 h ? 4? ? 3 3

如 图 : 直 三 棱 柱 ABCA 1B1C1中 , ? ?ACB ? 90 ,AC ? BC ? 1, CC1 ? 2,
0

思考

求 直 线 AB与 平 面 BBC1C所 成 角 大 小 ? 1 1
C1 A1 2 C B1

1

1
A

B

练习3、正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F 分别为BB1 、CD的中点,求直线D1F与平 面ADE所成的角.
D1
A1
Z

C 1 B 1
C F

0 90

D

E
Y

A
X

B


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