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导数与单调性极值最基础值习题


导数与单调性极值最基础值习题

评卷人





一.选择题(共 14 小题) 1.可导函数 y=f(x)在某一点的导数值为 0 是该函数在这点取极值的( A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.必要非充分条件 ) B.极小值﹣2,极大值 3 D.极小值﹣2,极大值 2 ) )

2.函数 y=1+3x﹣x3 有( A.极小值﹣1,极大值 3 C.极小值﹣1,极大值 1

3. 函数 ( f x) =x3+ax2﹣3x﹣9, 已知 ( f x) 的两个极值点为 x1, x2, 则 x1?x2= ( A.9 B.﹣9 C.1 D.﹣1 )

4.函数 A. B.e2

的最大值为( C.e D.e﹣1

5.已知 a 为函数 f(x)=x3﹣12x 的极小值点,则 a=( A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2



6.已知函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( A.﹣2 或 2 B.﹣9 或 3 C.﹣1 或 1 D.﹣3 或 1 7.设函数 f(x)=xex,则( A.x=1 为 f(x)的极大值点 ) B.x=1 为 f(x)的极小值点



C.x=﹣1 为 f(x)的极大值点 D.x=﹣1 为 f(x)的极小值点 8.函数 y=x3﹣2ax+a 在(0,1)内有极小值,则实数 a 的取值范围是( A. (0,3) B. (0, ) C. (0,+∞) D. (﹣∞,3) ) )

9.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 f(2)等于( A.11 或 18 B.11 C.18 D.17 或 18

10.设三次函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,函数 y=x?f′(x)的图象的一部分如图 所示,则正确的是( )
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A.f(x)的极大值为 B.f(x)的极大值为

,极小值为 ,极小值为

C.f(x)的极大值为 f(﹣3) ,极小值为 f(3) D.f(x)的极大值为 f(3) ,极小值为 f(﹣3) 11. 若f (x) =x3+2ax2+3 (a+2) x+1 有极大值和极小值, 则 a 的取值范围是 ( A.﹣a<a<2 B.a>2 或 a<﹣1 C.a≥2 或 a≤﹣1 D.a>1 或 a<﹣2 12.函数 y=xe﹣x,x∈[0,4]的最小值为( A.0 B. C. D. ) ) )

13.函数 y=2x3﹣3x2﹣12x+5 在区间[0,3]上最大值与最小值分别是( A.5,﹣15 B.5,﹣4 C.﹣4,﹣15 D.5,﹣16

14.已知 f(x)=2x3﹣6x2+m(m 为常数)在[﹣2,2]上有最大值 3,那么此函 数在[﹣2,2]上的最小值是( A.﹣37 B.﹣29 )

C.﹣5 D.以上都不对

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二.填空题(共 10 小题) 15.函数 f(x)=x3﹣3x2+1 的极小值点为 . . .

16.已知 f(x)=x3﹣ax2﹣bx+a2,当 x=1 时,有极值 10,则 a+b= 17.已知函数 f(x)=x(x﹣c)2 在 x=2 处有极大值,则 c=

18.已知函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 既有极大值又有极小值,则实数 a 的 取值范围是 .

19.已知函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值范围是 .
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20.已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a= 21.f(x)=x3﹣3x2+2 在区间[﹣1,1]上的最大值是 .



22.已知函数 f(x)=x3﹣12x+8 在区间[﹣3,3]上的最大值与最小值分别为 M, m,则 M﹣m= 23.设 f(x)=x3﹣ m 的取值范围为 . ﹣2x+5,当 x∈[﹣1,2]时,f(x)<m 恒成立,则实数 . .

24.f(x)=ax3﹣3x+1 对于 x∈[﹣1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a=

评卷人





三.解答题(共 10 小题) 25.已知函数 f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a,b∈R) ,g(x)=f(x)+f′(x)是 奇函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值. 26.已知函数 f(x)=ln(1+x)﹣x,g(x)=xlnx. (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)设 0<a<b,证明 0<g(a)+g(b)﹣2g( 27.已知函数 f(x)=x﹣1﹣lnx (Ⅰ)求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值; (Ⅲ)对? x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求实数 b 的取值范围. 28.已知函数 f(x)=xlnx. (Ⅰ)求 f(x)的最小值; (Ⅱ)若对所有 x≥1 都有 f(x)≥ax﹣1,求实数 a 的取值范围. 29.已知函数 f(x)=(x﹣2)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最小值和最大值.
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)<(b﹣a)ln2.

30.已知函数 f(x)=ax3﹣6ax2+b(x∈[﹣1,2])的最大值为 3,最小值为﹣29, 求 a、b 的值. 31.求函数 f(x)=x3﹣2x2+5 在区间[﹣2,2]的最大值和最小值. 32.已知函数 f(x)=lnx﹣ .

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)证明;当 x>1 时,f(x)<x﹣1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时,恒有 f(x)>k(x﹣1) . 33.设函数 f(x)=1+(1+a)x﹣x2﹣x3,其中 a>0. (Ⅰ)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (Ⅱ)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 34.已知函数 f(x)满足 f(x)=f′(1)ex﹣1﹣f(0)x+ x2; (1)求 f(x)的解析式及单调区间; (2)若 ,求(a+1)b 的最大值.

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导数与单调性极值最基础值习题
参考答案与试题解析

一.选择题(共 14 小题) 1.可导函数 y=f(x)在某一点的导数值为 0 是该函数在这点取极值的( A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.必要非充分条件 )

【分析】结合极值的定义可知必要性成立,而充分性中除了要求 f′(x0)=0 外, 还的要求在两侧有单调性的改变(或导函数有正负变化) ,通过反例可知充分性 不成立. 【解答】解:如 y=x3,y′=3x2,y′|x=0=0,但 x=0 不是函数的极值点. 若函数在 x0 取得极值,由定义可知 f′(x0)=0,所以 f′(x0)=0 是 x0 为函数 y=f (x)的极值点的必要不充分条件 故选:D. 【点评】 本题主要考查函数取得极值的条件: 函数在 x0 处取得极值?f′ (x0) =0, 且 f′(x<x0)?f′(x>x0)<0

2.函数 y=1+3x﹣x3 有( A.极小值﹣1,极大值 3 C.极小值﹣1,极大值 1

) B.极小值﹣2,极大值 3 D.极小值﹣2,极大值 2

【分析】 利用导数工具去解决该函数极值的求解问题,关键要利用导数将原函数 的单调区间找出来,即可确定出在哪个点处取得极值,进而得到答案. 【解答】解:∵y=1+3x﹣x3, ∴y′=3﹣3x2, 由 y′=3﹣3x2>0,得﹣1<x<1, 由 y′=3﹣3x2<0,得 x<﹣1,或 x>1, ∴函数 y=1+3x﹣x3 的增区间是(﹣1,1) ,减区间是(﹣∞,﹣1) , (1,+∞) . ∴函数 y=1+3x﹣x3 在 x=﹣1 处有极小值 f(﹣1)=1﹣3﹣(﹣1)3=﹣1, 函数 y=1+3x﹣x3 在 x=1 处有极大值 f(1)=1+3﹣13=3.
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故选:A. 【点评】 利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键,要先确定出导函数大 于 0 时的实数 x 的范围,再讨论出函数的单调区间,根据极值的判断方法求出该 函数的极值,体现了导数的工具作用

3. 函数 ( f x) =x3+ax2﹣3x﹣9, 已知 ( f x) 的两个极值点为 x1, x2, 则 x1?x2= ( A.9 B.﹣9 C.1 D.﹣1



【分析】本题的函数为三次多项式函数,若三次多项式函数有两个极值点,说明 它的导函数有两个不相等的零点,转化为二次函数的根求解,用韦达定理可得 x1?x2=﹣1 【解答】解:由 f(x)=x3+ax2﹣3x﹣9 得, f′(x)=3x2+2ax﹣3 f′(x)=0 的两根为 x1,x2 就是函数的两个极值点 根据韦达定理,得

故选:D. 【点评】本题主要考查利用导数工具讨论函数的单调性,从而得到函数的极值 点.一元二次方程根与系数的关系是解决本题的又一个亮点.

4.函数 A. B.e2

的最大值为( C.e D.e﹣1



【分析】利用导数进行求解,注意函数的定义域,极大值在本题中也是最大值; 【解答】解:∵函数 ∴y′= ,令 y′=0,得 x=e, , (x>0)

当 x>e 时,y′<0,f(x)为减函数, 当 0<x<e 时,y′>0,f(x)为增函数, ∴f(x)在 x=e 处取极大值,也是最大值,
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∴y 最大值为 f(e)= 故选:D.

=e 1,


【点评】 此题主要考查函数在某点取极值的条件, 利用导数研究函数的最值问题, 是一道基础题;

5.已知 a 为函数 f(x)=x3﹣12x 的极小值点,则 a=( A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2



【分析】可求导数得到 f′(x)=3x2﹣12,可通过判断导数符号从而得出 f(x)的 极小值点,从而得出 a 的值. 【解答】解:f′(x)=3x2﹣12; ∴x<﹣2 时,f′(x)>0,﹣2<x<2 时,f′(x)<0,x>2 时,f′(x)>0; ∴x=2 是 f(x)的极小值点; 又 a 为 f(x)的极小值点; ∴a=2. 故选:D. 【点评】 考查函数极小值点的定义,以及根据导数符号判断函数极值点的方法及 过程,要熟悉二次函数的图象.

6.已知函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( A.﹣2 或 2 B.﹣9 或 3 C.﹣1 或 1 D.﹣3 或 1



【分析】 求导函数, 确定函数的单调性, 确定函数的极值点, 利用函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,可得极大值等于 0 或极小值等于 0,由此可求 c 的值. 【解答】解:求导函数可得 y′=3(x+1) (x﹣1) , 令 y′>0,可得 x>1 或 x<﹣1;令 y′<0,可得﹣1<x<1; ∴函数在(﹣∞,﹣1) , (1,+∞)上单调增, (﹣1,1)上单调减, ∴函数在 x=﹣1 处取得极大值,在 x=1 处取得极小值. ∵函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, ∴极大值等于 0 或极小值等于 0.
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∴1﹣3+c=0 或﹣1+3+c=0, ∴c=﹣2 或 2. 故选:A. 【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,解题的关键是利 用极大值等于 0 或极小值等于 0.

7.设函数 f(x)=xex,则( A.x=1 为 f(x)的极大值点

) B.x=1 为 f(x)的极小值点

C.x=﹣1 为 f(x)的极大值点 D.x=﹣1 为 f(x)的极小值点 【分析】由题意,可先求出 f′(x)=(x+1)ex,利用导数研究出函数的单调性, 即可得出 x=﹣1 为 f(x)的极小值点 【解答】解:由于 f(x)=xex,可得 f′(x)=(x+1)ex, 令 f′(x)=(x+1)ex=0 可得 x=﹣1 令 f′(x)=(x+1)ex>0 可得 x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数 令 f′(x)=(x+1)ex<0 可得 x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数 所以 x=﹣1 为 f(x)的极小值点 故选:D. 【点评】 本题考查利用导数研究函数的极值,解题的关键是正确求出导数及掌握 求极值的步骤,本题是基础题,

8.函数 y=x3﹣2ax+a 在(0,1)内有极小值,则实数 a 的取值范围是( A. (0,3) B. (0, ) C. (0,+∞) D. (﹣∞,3)



【分析】先对函数求导,函数在(0,1)内有极小值,得到导函数等于 0 时,求 出 x 的值, 这个值就是函数的极小值点, 使得这个点在 ( 0, 1) 上, 求出 a 的值. 【解答】解:根据题意,y'=3x2﹣2a=0 有极小值则方程有解 a>0 x=± 所以 x= 是极小值点

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所以 0< 0< <1

<1

0<a< 故选:B. 【点评】 本题考查函数在某一点取得极值点条件,本题解题的关键是在一个区间 上有极值相当于函数的导函数在这一个区间上有解.

9.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 f(2)等于( A.11 或 18 B.11 C.18 D.17 或 18



【分析】 根据函数在 x=1 处有极值时说明函数在 x=1 处的导数为 0, 又因为 f′ (x) =3x2+2ax+b,所以得到:f′(1)=3+2a+b=0,又因为 f(1)=10,所以可求出 a 与 b 的值确定解析式,最终将 x=2 代入求出答案. 【解答】解:f′(x)=3x2+2ax+b, ∴ ①当 ②当 ∴x∈( ∴ 或 时,f′(x)=3(x﹣1)2≥0,∴在 x=1 处不存在极值; 时,f′(x)=3x2+8x﹣11=(3x+11) (x﹣1) ,1) ,f′(x)<0,x∈(1,+∞) ,f′(x)>0,符合题意. ,∴f(2)=8+16﹣22+16=18.

故选:C. 【点评】 本题主要考查导数为 0 时取到函数的极值的问题,这里多注意联立方程 组求未知数的思想,本题要注意 f′(x0)=0 是 x=x0 是极值点的必要不充分条件, 因此对于解得的结果要检验.

10.设三次函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,函数 y=x?f′(x)的图象的一部分如图 所示,则正确的是( )

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A.f(x)的极大值为 B.f(x)的极大值为

,极小值为 ,极小值为

C.f(x)的极大值为 f(﹣3) ,极小值为 f(3) D.f(x)的极大值为 f(3) ,极小值为 f(﹣3) 【分析】观察图象知,x<﹣3 时,f′(x)<0.﹣3<x<0 时,f′(x)>0.由此 知极小值为 f(﹣3) .0<x<3 时,yf′(x)>0.x>3 时,f′(x)<0.由此知极 大值为 f(3) . 【解答】解:观察图象知,x<﹣3 时,y=x?f′(x)>0, ∴f′(x)<0. ﹣3<x<0 时,y=x?f′(x)<0, ∴f′(x)>0. 由此知极小值为 f(﹣3) . 0<x<3 时,y=x?f′(x)>0, ∴f′(x)>0. x>3 时,y=x?f′(x)<0, ∴f′(x)<0. 由此知极大值为 f(3) . 故选:D. 【点评】本题考查极值的性质和应用,解题时要仔细图象,注意数形结合思想的 合理运用.

11. 若f (x) =x3+2ax2+3 (a+2) x+1 有极大值和极小值, 则 a 的取值范围是 ( A.﹣a<a<2 B.a>2 或 a<﹣1 C.a≥2 或 a≤﹣1 D.a>1 或 a<﹣2



【分析】求出函数的导函数,根据函数的极值是导函数的根,且根左右两边的导 函数符号不同得到△>0;解出 a 的范围.
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【解答】解:f′(x)=3x2+4ax+3(a+2) ∵f(x)有极大值和极小值 ∴△=16a2﹣36(a+2)>0 解得 a>2 或 a<﹣1 故选:B. 【点评】 本题考查函数的极值点是导函数的根,且根左右两边的导函数符号需不 同.

12.函数 y=xe﹣x,x∈[0,4]的最小值为( A.0 B. C. D.



【分析】先求出导函数 f′(x) ,由 f′(x)>0 和 f′(x)<0,求出 x 的取值范围, 得出函数 f(x)的单调区间,从而求出函数的最值. 【解答】解: ,

当 x∈[0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当 x∈(1,4]时,f′(x)<0, f(x)单调递减, ∵f(0)=0, 故选:A. 【点评】本题考查的是利用导数,判断函数的单调性,从而求出最值,属于基础 题. ,∴当 x=0 时,f(x)有最小值,且 f(0)=0.

13.函数 y=2x3﹣3x2﹣12x+5 在区间[0,3]上最大值与最小值分别是( A.5,﹣15 B.5,﹣4 C.﹣4,﹣15 D.5,﹣16



【分析】对函数 y=2x3﹣3x2﹣12x+5 求导,利用导数研究函数在区间[0,3]上的 单调性,根据函数的变化规律确定函数在区间[0,3]上最大值与最小值位置,求 值即可 【解答】解:由题意 y'=6x2﹣6x﹣12 令 y'>0,解得 x>2 或 x<﹣1 故函数 y=2x3﹣3x2﹣12x+5 在(0,2)减,在(2,3)上增
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又 y(0)=5,y(2)=﹣15,y(3)=﹣4 故函数 y=2x3﹣3x2﹣12x+5 在区间[0,3]上最大值与最小值分别是 5,﹣15 故选:A. 【点评】本题考查用导数判断函数的单调性,利用单调性求函数的最值,利用单 调性研究函数的最值,是导数的重要运用,注意上类题的解题规律与解题步骤.

14.已知 f(x)=2x3﹣6x2+m(m 为常数)在[﹣2,2]上有最大值 3,那么此函 数在[﹣2,2]上的最小值是( A.﹣37 B.﹣29 )

C.﹣5 D.以上都不对

【分析】先求导数,根据单调性研究函数的极值点,在开区间(﹣2,2)上只有 一极大值则就是最大值,从而求出 m,通过比较两个端点﹣2 和 2 的函数值的大 小从而确定出最小值,得到结论. 【解答】解:∵f′(x)=6x2﹣12x=6x(x﹣2) , ∵f(x)在(﹣2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数, ∴当 x=0 时,f(x)=m 最大, ∴m=3,从而 f(﹣2)=﹣37,f(2)=﹣5. ∴最小值为﹣37. 故选:A. 【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值,求函数在闭区间 [a,b] 上的最大值与最小值是通过比较函数在(a,b)内所有极值与端点函数 f(a) ,f (b) 比较而得到的,属于基础题.

二.填空题(共 10 小题) 15.函数 f(x)=x3﹣3x2+1 的极小值点为 2 .

【分析】首先求导可得 f′(x)=3x2﹣6x,解 3x2﹣6x=0 可得其根,再判断导函数 的符号分析函数的单调性,即可得到极小值点. 【解答】解:f′(x)=3x2﹣6x 令 f′(x)=3x2﹣6x=0 得 x1=0,x2=2 且 x∈(﹣∞,0)时,f′(x)>0;
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x∈(0,2)时,f′(x)<0; x∈(2,+∞)时,f′(x)>0 故 f(x)在 x=2 出取得极小值. 故答案为 2. 【点评】本题考查函数的极值问题,属基础知识的考查.熟练掌握导数法求极值 的方法步骤是解答的关键.

16.已知 f(x)=x3﹣ax2﹣bx+a2,当 x=1 时,有极值 10,则 a+b= 7 . 【分析】求导函数,利用函数 f(x)=x3﹣ax2﹣bx+a2,当 x=1 时,有极值 10,建 立方程组,求得 a,b 的值,再验证,即可得到结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=x3﹣ax2﹣bx+a2 ∴f'(x)=3x2﹣2ax﹣b, 又∵函数 f(x)=x3﹣ax2﹣bx+a2,当 x=1 时,有极值 10, ∴ ,∴ 或

时,f'(x)=3x2﹣2ax﹣b=(x﹣1) (3x+11)=0 有不等的实根,满足题意; 时,f'(x)=3x2﹣2ax﹣b=3(x﹣1)2=0 有两个相等的实根,不满足题意; ∴a+b=7 故答案为:7 【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查学生的计算能力,属 于基础题.

17.已知函数 f(x)=x(x﹣c)2 在 x=2 处有极大值,则 c=

6



【分析】由已知函数 f(x)=x(x﹣c)2 在 x=2 处有极大值,则必有 f′(2)=0, 且在 x=2 的两侧异号即可得出. 【解答】解:∵f′(x)=(x﹣c)2+2x(x﹣c)=3x2﹣4cx+c2,且函数 f(x)=x(x ﹣c)2 在 x=2 处有极大值, ∴f′(2)=0,即 c2﹣8c+12=0,解得 c=6 或 2. 经检验 c=2 时,函数 f(x)在 x=2 处取得极小值,不符合题意,应舍去.
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故 c=6. 故答案为 6. 【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键.

18.已知函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 既有极大值又有极小值,则实数 a 的 取值范围是 (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) . 【分析】先对函数进行求导,根据函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 既有极大值 又有极小值,可以得到△>0,进而可解出 a 的范围. 【解答】解:∵f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1∴f'(x)=3x2+6ax+3(a+2) ∵函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 既有极大值又有极小值 ∴△=(6a)2﹣4×3×3(a+2)>0 ∴a>2 或 a<﹣1 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) 【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件.属基础题.

19.已知函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值范围是 m<﹣3 或 m>6 .

【分析】求出函数 f(x)的导函数,根据已知条件,导函数必有两个不相等的实 数根,只须令导函数的判别式大于 0,求出 m 的范围即可. 【解答】解:∵函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值,又存在极小值 f′(x)=3x2+2mx+m+6=0,它有两个不相等的实根, ∴△=4m2﹣12(m+6)>0 解得 m<﹣3 或 m>6 故答案为:m<﹣3 或 m>6. 【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件.导数的引入,为研究高次 函数的极值与最值带来了方便.

20.已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a= 【分析】 由题设函数

36



在 x=3 时取得最小值, 可得 f′ (3)
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=0,解此方程即可得出 a 的值. 【解答】解:由题设函数 ∵x∈(0,+∞) , ∴得 x=3 必定是函数 ∴f′(3)=0, f′(x)=4﹣ 即 4﹣ =0, , 的极值点, 在 x=3 时取得最小值,

解得 a=36. 故答案为:36. 【点评】 本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值,解题的关键 是理解“函数在 x=3 时取得最小值”,将其转化为 x=3 处的导数为 0 等量关系.

21.f(x)=x3﹣3x2+2 在区间[﹣1,1]上的最大值是

2



【分析】求出函数的导函数,令导函数为 0,求出根,判断根是否在定义域内, 判断根左右两边的导函数符号,求出最值. 【解答】解:f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2) 令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=2(舍) 当﹣1<x<0 时,f′(x)>0;当 0<x<1 时,f′(x)<0 所以当 x=0 时,函数取得极大值即最大值 所以 f(x)的最大值为 2 故答案为 2 【点评】求函数的最值,一般先求出函数的极值,再求出区间的端点值,选出最 值.

22.已知函数 f(x)=x3﹣12x+8 在区间[﹣3,3]上的最大值与最小值分别为 M, m,则 M﹣m= 32 .

【分析】先对函数 f(x)进行求导,令导函数等于 0 求出 x,然后根据导函数的 正负判断函数 f(x)的单调性,列出在区间[﹣3,3]上 f(x)的单调性、导函数
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f'(x)的正负的表格,从而可确定最值得到答案. 【解答】解:令 f′(x)=3x2﹣12=0,得 x=﹣2 或 x=2, 列表得: x ﹣3 (﹣3, ﹣2) f′(x) f(x) 17 + 0 极值 24 可知 M=24,m=﹣8,∴M﹣m=32. 故答案为:32 【点评】 本题主要考查函数的求导运算、函数的单调性与其导函数的正负之间的 关系和函数在闭区间上的最值. 导数是由高等数学下放到高中的内容, 每年必考, 要引起重视. ﹣2 (﹣2, 2) ﹣ 0 极值﹣ 8 + ﹣1 2 (2,3) 3

23.设 f(x)=x3﹣ m 的取值范围为

﹣2x+5,当 x∈[﹣1,2]时,f(x)<m 恒成立,则实数 .

(7,+∞)

【分析】先求导数,然后根据函数单调性研究函数的极值点,通过比较极值与端 点的大小从而确定出最大值,进而求出变量 m 的范围. 【解答】解:f′(x)=3x2﹣x﹣2=0 解得:x=1 或﹣ 当 x∈ 当 x∈ 时,f'(x)>0, 时,f'(x)<0,

当 x∈(1,2)时,f'(x)>0, ∴f(x)max={f(﹣ ) ,f(2)}max=7 由 f(x)<m 恒成立,所以 m>fmax(x)=7. 故答案为: (7,+∞) 【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值,求函数在闭区间 [a,b] 上的最大值与最小值是通过比较函数在(a,b)内所有极值与端点函数 f(a) ,f
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(b) 比较而得到的,属于基础题.

24.f(x)=ax3﹣3x+1 对于 x∈[﹣1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a= 4



【分析】这类不等式在某个区间上恒成立的问题,可转化为求函数最值的问题, 本题要分三类:①x=0,②x>0,③x<0 等三种情形.当 x=0 时,不论 a 取何值, f(x)≥0 都成立;当 x>0 时有 a≥ ,可构造函数 g(x)= ,然后

利用导数求 g(x)的最大值,只需要使 a≥g(x)max,同理可得 x<0 时的 a 的 范围,从而可得 a 的值. 【解答】解: ①若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 都成立; ②当 x>0,即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3﹣3x+1≥0 可化为:a≥ 设 g(x)= ,则 g′(x)= ,

所以 g(x)在区间(0, ]上单调递增,在区间[ ,1]上单调递减, 因此 g(x)max=g( )=4,从而 a≥4; ③当 x<0,即 x∈[﹣1,0)时,f(x)=ax3﹣3x+1≥0 可化为:a≤ g(x)= 在区间[﹣1,0)上单调递增, ,

因此 g(x)min=g(﹣1)=4,从而 a≤4,综上 a=4. 答案为:4. 【点评】本题考查的是含参数不等式的恒成立问题,考查分类讨论,转化与化归 的思想方法, 利用导数和函数的单调性求函数的最大值, 最小值等知识与方法. 在 讨论时,容易漏掉 x=0 的情形,因此分类讨论时要特别注意该问题的解答.

三.解答题(共 10 小题) 25.已知函数 f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a,b∈R) ,g(x)=f(x)+f′(x)是 奇函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.
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【分析】 (Ⅰ)由 f'(x)=3ax2+2x+b 得 g(x)=fax2+(3a+1)x2+(b+2)x+b,再 由函数 g(x)是奇函数,由 g(﹣x)=﹣g(x) ,利用待系数法求解. (2)由(1)知 ,再求导 g'(x)=﹣x2+2,由 g'(x)≥0 求得增

区间,由 g'(x)≤0 求得减区间;求最值时从极值和端点值中取. 【解答】解: (1)由题意得 f'(x)=3ax2+2x+b 因此 g(x)=f(x)+f'(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b 因为函数 g(x)是奇函数,所以 g(﹣x)=﹣g(x) ,
3 2 即对任意实数 x, 有a (﹣x) + (3a+1) (﹣x) +(b+2) (﹣x) +b=﹣[ax3+ (3a+1)

x2+(b+2)x+b] 从而 3a+1=0,b=0, 解得 ,因此 f(x)的解析表达式为 , .

(2)由(Ⅰ)知

所以 g'(x)=﹣x2+2,令 g'(x)=0 解得 则当 从而 g(x)在区间 当 从而 g(x)在区间 时,g'(x)<0 , , 上是增函数, 时 上是减函数,

由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在 取得, 而 , ,最小值为 .

因此 g(x)在区间[1,2]上的最大值为

【点评】本题主要考查构造新函数,用导数研究函数的单调性和求函数的最值.

26.已知函数 f(x)=ln(1+x)﹣x,g(x)=xlnx. (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值;
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(Ⅱ)设 0<a<b,证明 0<g(a)+g(b)﹣2g(

)<(b﹣a)ln2.

【分析】 (1)先求出函数的定义域,然后对函数进行求导运算,令导函数等于 0 求出 x 的值,再判断函数的单调性,进而可求出最大值. (2)先将 a,b 代入函数 g(x)得到 g(a)+g(b)﹣2g( 行整理, 根据 (1) 可得到 lnx<x,将 、 放缩变形为 )的表达式后进 、

代入即可得到左边不等式成立,再用 性进行放缩 成立. 【解答】 (Ⅰ)解:函数 f(x)的定义域为(﹣1,+∞) . .令 f′(x)=0,解得 x=0. <

根据 y=lnx 的单调

.然后整理即可证明不等式右边

当﹣1<x<0 时,f′(x)>0,当 x>0 时,f′(x)<0.又 f(0)=0, 故当且仅当 x=0 时,f(x)取得最大值,最大值为 0. (Ⅱ)证明: = .

由(Ⅰ)结论知 ln(1+x)﹣x<0(x>﹣1,且 x≠0) , 由题设 因此 ln =﹣ln(1+ )>﹣ , 所以 又 , < 综上 .=(b﹣a)ln . <(b﹣a)ln2 . , ,

【点评】 本题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等 知识以及综合推理论证的能力.
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27.已知函数 f(x)=x﹣1﹣lnx (Ⅰ)求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值; (Ⅲ)对? x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求实数 b 的取值范围. 【分析】 (Ⅰ)求出 f(2) ,再根据导数的几何意义,求出该点的导数值,即得曲 线在此点处的切线的斜率,然后用点斜式写出切线方程即可 (Ⅱ)令导数大于 0 解出增区间,令导数小于 0,解出函数的减区间,然后由极 值判断规则确定出极值即可. (Ⅲ)由于 f(x)≥bx﹣2 恒成立,得到 构造函数 g(x)= ,b≤g(x)min 即可. , 在(0,+∞)上恒成立,

【解答】解: (Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞) , 则 ,f(2)=1﹣ln2,

∴曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 即 x﹣2y﹣2ln2=0; (Ⅱ) ,



令 f′(x)>0,得 x>1, 列表: x f′(x) f(x) (0,1) ﹣ ↘ 1 0 0 (1,+∞) + ↗

∴函数 y=f(x)的极小值为 f(1)=0; (Ⅲ)依题意对? x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立 等价于 x﹣1﹣lnx≥bx﹣2 在(0,+∞)上恒成立 可得 令 g(x)= 在(0,+∞)上恒成立, ,

令 g′(x)=0,得 x=e2 列表:
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x g'(x) g(x)

(0,e2) ﹣ ↘

e2 0

(e2,+∞) + ↗ ,

∴函数 y=g(x)的最小值为 根据题意, .

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值,考查恒成立问题,着重考查分类讨 论思想与构造函数思想的应用, 体现综合分析问题与解决问题能力, 属于中档题.

28.已知函数 f(x)=xlnx. (Ⅰ)求 f(x)的最小值; (Ⅱ)若对所有 x≥1 都有 f(x)≥ax﹣1,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)先求出函数的定义域,然后求导数,根据导函数的正负判断函数的 单调性进而可求出最小值. (2) 将f (x) ≥ax﹣1 在[1, +∞) 上恒成立转化为不等式 +∞)恒成立,然后令 对于 x∈[1,

,对函数 g(x)进行求导,根据导函数的正负

可判断其单调性进而求出最小值,使得 a 小于等于这个最小值即可. 【解答】解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) ,f(x)的导数 f'(x)=1+lnx. 令 f'(x)>0,解得 从而 f(x)在 所以,当 ;令 f'(x)<0,解得 单调递减,在 . .

单调递增.

时,f(x)取得最小值

(Ⅱ)依题意,得 f(x)≥ax﹣1 在[1,+∞)上恒成立, 即不等式 令 则 当 x>1 时, , . 对于 x∈[1,+∞)恒成立.

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因为



故 g(x)是[1,+∞)上的增函数, 所以 g(x)的最小值是 g(1)=1, 从而 a 的取值范围是(﹣∞,1]. 【点评】 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、根据导数求 函数的最值.导数是高等数学下放到高中的内容,是每年必考的热点问题,要给 予重视.

29.已知函数 f(x)=(x﹣2)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最小值和最大值. 【分析】 (1)求出函数的导数,令导数大于 0,得增区间,令导数小于 0,得减 区间; (2)由(1)可得 f(x)在[0,1]递减,在(1,2]递增,即有 f(x)在 x=1 处 取得极小值,且为最小值,求得端点的函数值,比较即可得到最大值. 【解答】解: (1)函数 f(x)的导数为 f′(x)=(x﹣1)ex, 由 f′(x)>0,可得 x>1;由 f′(x)<0,可得 x<1. 则 f(x)的增区间为(1,+∞) ,减区间为(﹣∞,1) ; (2)由(1)可得 f(x)在[0,1]递减,在(1,2]递增, 即有 f(x)在 x=1 处取得极小值,且为最小值,且为 f(1)=﹣e, 由 f(0)=﹣2,f(2)=0, 可得 f(x)的最大值为 f(2)=0. 则 f(x)的最小值为﹣e,最大值为 0. 【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查运算能力,正确 求导是解题的关键.

30.已知函数 f(x)=ax3﹣6ax2+b(x∈[﹣1,2])的最大值为 3,最小值为﹣29, 求 a、b 的值. 【分析】求出 f′(x)=0 在[﹣1,2]上的解,研究函数 f(x)的增减性,函数的
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最值应该在极值点或者区间端点取,已知最大值为 3,最小值为﹣29 代入即可. 【解答】解:函数 f(x)=ax3﹣6ax2+b ∴f′(x)=3ax2﹣12ax=3a(x2﹣4x) 令 f′(x)=3ax2﹣12ax=3a(x2﹣4x)=0,显然 a≠0,否则 f(x)=b 为常数,矛盾, ∴x=0,若 a>0,列表如下:

由表可知,当 x=0 时 f(x)取得最大值∴b=3 又 f′(0)=﹣29,则 f(2)<f(0) ,这不可能, ∴f(2)=8a﹣24a+3=﹣16a+3=﹣29,∴a=2 若 a<0,同理可得 a=﹣2,b=﹣29 故答案为:a=2,b=3 或 a=﹣2,b=﹣29 【点评】本题考查函数的导数在求最大值、最小值中的应用,关键是对于闭区间 上的最值要注意函数的端点函数值, 注意区别理解函数的极值点一定不在函数端 点,而最值点可能在函数端点,属于基础题.

31.求函数 f(x)=x3﹣2x2+5 在区间[﹣2,2]的最大值和最小值. 【分析】求出函数的导数,利用导数研究函数 f(x)=x3﹣2x2+5 在区间[﹣2,2] 的单调性,再由单调性求函数在区间上的最值. 【解答】解:函数 f(x)=x3﹣2x2+5 的导函数是 f'(x)=x(3x﹣4) ,令 f'(x)=0 得 x=0 或 ,如下表:

∴ymax=5,ymin=﹣11 【点评】 本题考点是利用导数求闭区间上的函数的最值,考查用导数研究函数的 单调性并利用单调性确定函数的最值,并求出.此是导数的一个很重要的运用.
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32.已知函数 f(x)=lnx﹣



(Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)证明;当 x>1 时,f(x)<x﹣1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时,恒有 f(x)>k(x﹣1) . 【分析】 (Ⅰ)求导数,利用导数大于 0,可求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)令 F(x)=f(x)﹣(x﹣1) ,证明 F(x)在[1,+∞)上单调递减,可得 结论; (Ⅲ)分类讨论,令 G(x)=f(x)﹣k(x﹣1) (x>0) ,利用函数的单调性,可 得实数 k 的所有可能取值. 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=lnx﹣ ∴f′(x)= ∴0<x< , ) ; >0(x>0) , ,

∴函数 f(x)的单调增区间是(0,

(Ⅱ)令 F(x)=f(x)﹣(x﹣1) ,则 F′(x)= 当 x>1 时,F′(x)<0, ∴F(x)在[1,+∞)上单调递减, ∴x>1 时,F(x)<F(1)=0, 即当 x>1 时,f(x)<x﹣1; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,k=1 时,不存在 x0>1 满足题意; 当 k>1 时,对于 x>1,有 f(x)<x﹣1<k(x﹣1) ,则 f(x)<k(x﹣1) , 从而不存在 x0>1 满足题意; 当 k<1 时,令 G(x)=f(x)﹣k(x﹣1) (x>0) ,则 G′ (x) = 1,
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=0, 可得 x1=

<0, x2=



当 x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故 G(x)在(1,x2)上单调递增, 从而 x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即 f(x)>k(x﹣1) , 综上,k 的取值范围为(﹣∞,1) . 【点评】 本题考查导数知识的综合运用, 考查函数的单调性, 考查不等式的证明, 正确构造函数是关键.

33.设函数 f(x)=1+(1+a)x﹣x2﹣x3,其中 a>0. (Ⅰ)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (Ⅱ)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 【分析】 (Ⅰ)利用导数判断函数的单调性即可; (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,讨论两根与 1 的大小关系,判断函数在[0,1]时的单 调性,得出取最值时的 x 的取值. 【解答】解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣∞,+∞) ,f′(x)=1+a﹣2x﹣3x2, 由 f′(x)=0,得 x1= ∴由 f′(x)<0 得 x< 由 f′(x)>0 得 故 f(x)在(﹣∞, 在( , <x< )和( )上单调递增; ,x2= ,x> ; ,+∞)单调递减, ,x1<x2, ;

(Ⅱ)∵a>0,∴x1<0,x2>0,∵x∈[0,1],当

时,即 a≥4

①当 a≥4 时,x2≥1,由(Ⅰ)知,f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1,由(Ⅰ)知,f(x)在[0,x2]单调递增,在[x2,1]上 单调递减, 因此 f(x)在 x=x2= 处取得最大值,又 f(0)=1,f(1)=a,

∴当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处取得最小值;
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当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. 【点评】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识,考查学生分类 讨论思想的运用能力,属中档题.

34.已知函数 f(x)满足 f(x)=f′(1)ex﹣1﹣f(0)x+ x2; (1)求 f(x)的解析式及单调区间; (2)若 ,求(a+1)b 的最大值.

【分析】 (1)对函数 f(x)求导,再令自变量为 1,求出 f′(1)得到函数的解析 式及导数,再由导数求函数的单调区间; (2) 由题意 ,借助导数求出新函数的

最小值,令其大于 0 即可得到参数 a,b 所满足的关系式,再研究(a+1)b 的最 大值 【解答】解: (1)f(x)=f'(1)ex﹣1﹣f(0)x+ +x 令 x=1 得:f(0)=1 ∴f(x)=f'(1)ex﹣1﹣x+ 令 x=0,得 f(0)=f'(1)e﹣1=1 解得 f'(1)=e ? f'(x)=f'(1)ex﹣1﹣f(0)

故函数的解析式为 f(x)=ex﹣x+ 令 g(x)=f'(x)=ex﹣1+x ∴g'(x)=ex+1>0,由此知 y=g(x)在 x∈R 上单调递增 当 x>0 时,f'(x)>f'(0)=0;当 x<0 时,有 f'(x)<f'(0)=0 得: 函数 f(x)=ex﹣x+ 0) (2)f(x)≥ ﹣(a+1)x﹣b≥0 得 h′(x)=ex﹣(a+1) 的单调递增区间为(0,+∞) ,单调递减区间为(﹣∞,

①当 a+1≤0 时,h′(x)>0? y=h(x)在 x∈R 上单调递增,x→﹣∞时,h(x) →﹣∞与 h(x)≥0 矛盾 ②当 a+1>0 时,h′(x)>0?x>ln(a+1) ,h'(x)<0?x<ln(a+1)
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得:当 x=ln(a+1)时,h(x)min=(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)﹣b≥0,即(a+1) ﹣(a+1)ln(a+1)≥b ∴(a+1)b≤(a+1)2﹣(a+1)2ln(a+1) , (a+1>0) 令 F(x)=x2﹣x2lnx(x>0) ,则 F'(x)=x(1﹣2lnx) ∴F'(x)>0?0<x< 当 x= 即当 a= 时,F(x)max= 时, (a+1)b 的最大值为

【点评】 本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性,解题 的关键是第一题中要赋值求出 f′(1) ,易因为没有将 f′(1)看作常数而出错,第 二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题, 本题考查了转化 的思想,考查判断推理能力,是高考中的热点题型,计算量大,易马虎出错.

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