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高三数学导数的概念及运算2


14.1 导数的概念与运算
【知识点精讲】 1.导数的概念: (1)已知函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0 处有增量⊿x,那么函数 y 相应 地有增量⊿y=f(x0+⊿x)-f(x0),比值 率; (2)当⊿x→0 时,

?y 有极限,就说函数 y=f(x)在 x0 处可导,并把这个极限叫做 f(x) ?x

?y 就叫做函数 y=f(x)在 x0 到 x0+⊿x 之间的平均变化 ?x

在 x0 处的导数(或变化率) ,记作

f / ( x 0 ) = lim

f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ?y = lim = lim ; 3)如果函数 ( ?x → o ? x ?x → o x → x0 ?x x ? x0

y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说 y=f(x)在开区间(a,b)内可导,由这些导数值 构 成 的 函 数 叫 做 y=f(x) 在 区 间 (a,b) 内 的 导 函 数 , 记 作 f / ( x) = y / =

?y f ( x + ?x) ? f ( x) = lim 。 ?x →0 ?x ?x →0 ?x lim
2.求导数的方法: (1)求函数的增量⊿y; (2)求平均变化率

?y ?y ; (3)求极限 lim 。 ?x →0 ?x ?x
/

3.导数的几何意义:函数 y=f(x)在 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点(x0,y0) 处的切线的斜率,即斜率为 f ( x 0 ) 。过点 P 的切线方程为:y- y0= f ( x 0 ) (x- x0). 4.几种常见函数的导数:
/

C' = 0

(C 为常数);( x n )' = nx n ?1 ( n ∈ Q );(sin x)' = cos x ;(cos x)' = ? sin x ;
1 1 ; (log a x)' = log a e ; (e x )' = e x ; (a x )' = a x ln a 。 x x

(ln x)' =

5.导数的四则运算法则:

[u ( x) ± v( x)]' = u ' ( x) ± v ' ( x) ; [u ( x)v( x)]′ = u '( x)v( x) + u ( x)v '( x) ;

? u ? u ' v ? uv ' [Cu ( x)]′ = Cu '( x) ; ? ? = (v ≠ 0) v2 ?v?
'

新疆 王新敞
奎屯

6.复合函数的导数:设函数 u= ? (x)在点 x 处有导数 u′x= ? ′(x),函数 y=f(u)在点 x 的 对应点 u 处有导数 y′u=f′(u), 则复合函数 y=f( ? (x))在点 x 处也有导数, y ' x = y 'u ?u ' x 且 或 f′x( ? (x))=f′(u) 【例题选讲】

? ′(x).

例1

若 f ( x 0 ) = 2, 求 lim
/ k →o

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 。 2k

优化设计 P213 典例剖析例 1,解答略。

例2

求下列函数的导数:
2

(1) 2sinx; y=x (2) y=ln(x+ 1 + x (6)y=sinx3+sin3x.

); (3) y=

ex +1 x + cos x ; (4)y= ; (5) y=(1+cos2x)2; x x + sin x e ?1

(1)~(4)见优化设计 P213 典例剖析例 3,解答略。 (5) y / = -4sin2x(1+cos2x);(6)

y / =3x2cosx3+3sin2xcosx.
例3 设函数 y=ax3+bx +cx+d 在的图象与 y 轴交点为 P 点,且曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0.若函数在 x=2 处取得极值 0,试确定函数的解析式。 见优化 P214 第 6 题(解答略) 例4 利用导数求和: (1) Sn=1+2x+3x2+…+nxn 1(x≠0, n ∈ N );
2

*

(2) Sn=

C + 2C + 3C
1 2 n n

3 n

+ ...... + nC n ( n ∈ N ).
n
*

见优化 P214 第 9 题(解答略)

【课堂小结】 1. 了解导数的概念,初步会用定义式解决一些问题; 2. 会用定义式求导数; 3. 了解导数的几何意义; 4. 掌握常见函数的导数公式,并会正确运用; 5. 掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。 【作业布置】 优化设计


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