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1.3.1函数的单调性和导数

1. 3.1 函数的单调性和导数 课前预习学案 一、预习目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 二、预习内容 1.利用导数的符号来判断函数单调性: 一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导, 如果在这个区间内 f ' ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的 如果在这个区间内 f ' ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的 思考: (1)若 f '(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的什么条件? 回答: 提示: f(x)=x3,在 R 上是单调递增函数,它的导数恒>0吗? ; 。 (2)若 f '(x) =0 在某个区间内恒成立,f(x)是什么函数 ? 若某个区间内恒有 f '(x)=0,则 f (x)为 2.利用导数确定函数的单调性的步骤: (1) 确定函数 f(x)的定义域; (2) 求出函数的导数; (3) 解不等式 f ?(x)>0,得函数的单调递增区间; 解不等式 f ?(x)<0,得函数的单调递减区间. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 函数. 课内探究学案 一.学习目标:1 了解可导函数的单调性与其导数的关系. 2 掌握利用导数判断函数单调性的方法. 学习重点:利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性. 二、学习过程 【引 例】 1 1.确定函数 y ? x2 ? 4x ? 3 在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数? 解答: , 问 1) 、为什么 y ? x2 ? 4x ? 3 在 (??, 2) 上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数? 解答: , 2) 、研究函数的单调区间你有哪些方法? 解答: , 2、确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 解答: , 【探 究】 我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况,下面通过函数的图象规律来研究。 研究二次函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的图象; (1) 画出二次函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的图象,研究它的单调性。 (2) 提问:以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的? 回答: (3) 我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律? 观察图像,能得到什么结论 回答: 【新课讲解】 根据刚才观察的结果进行总结:导数 与函数的单调性有什么关系? 一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导, ' 如果在这个区 间内 f ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的 ' 如果在这个区间内 f ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的 ; 。 思考: (1)若 f '(x)>0 是 f(x)在此区间上 为增函数的什么条件? 回答: 提示: f(x)=x3,在 R 上是单调递增函数,它的导数恒>0吗? (2)若 f '(x) =0 在某个区间内恒成立,f(x)是什么函数 ? 若某个区间内恒有 f '(x)=0,则 f (x)为 结论应用: 由以上结论知:函数的单调性与其 性。下面举例说明: 【例题讲解】 3 函数. 去探讨函数的单调 有关,因此我们可以用 例1、 求证: y ? x ? 1 在 (??, 0) 上是增函数。 2 归纳步骤:1、 ;2、 ;3、 。 3 2 例2、 确定函数 f(x)=2x -6x +7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数. 小结:用导数求函数单调区间的步骤: (1) ; (2) ; (3) 【课堂练习】 1.确定下列函数的单调区间 (1)y=x3-9x2+24x (2)y=3x-x3 2、设 y ? f ?(x) 是函数 y ? f ( x ) 的导数, y ? f ?(x) 的 图象如图所示, 则 y ? f ( x ) 的图象最有可能是( ) 3 课后练习与提高 1. (2007 年浙江卷)设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画 在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( ) y y y y O x O x O C. x O D. x A. B. f ( x) ? x ln x ,则( 2.已知函数 ) A.在 (0,??) 上递增 B.在 (0,??) 上递减 ? 1? ? 1? ? e? ? e? 3 2 3.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 5 的单调递增区间是_____________. C.在 ? 0, ? 上递增 D.在 ? 0, ? 上递减 4 1.3.1 函数的单调性和导数教案 一、教材分析 以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 x1,x2∈I,且当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么函数 f(x)就是区间 I 上的增函数. 对于任意的两个数 x1,x2 ∈I,且当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么函数 f(x)就是区间 I 上的减函数。 在函数 y=f(x)比较复杂的情况下, 比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易. 如果利用 导数来判断函数的单调性就比较简单。根据课程标准,本节分为四课时,此为 第一课时。 二、教学目标 1,知识目标: 1)正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2)掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 2,能力目标: 学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程,提高创新能力。 3,情感、态度与价值观目标: 在愉悦的学习氛围中,学生感受到解决数学问题的一般方法:从简单到复杂,从特殊 到一般。 三、教学重点难点 教学重点:利用导数判断函数单调性。 教学难点:利用导数判断函数单调性。. 四、教学方法:探究法 五、课时安排:1 课

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