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16线面垂直


线面垂直面面垂直的性质

复习引入

1. 直线与平面垂直判定?
l

用符号表示?
a A

?

b

2.平面与平面垂直的判定定理?
?

a

用符号表示?
?

知识探究(一)直线与平面垂直的性质定理 思考1:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱 AA1,BB1,CC1,DD1所在直线与底面ABCD 的位置关系如何?它们彼此之间具有什么 位置关系?
C1 B1 C B A A1 D

D1

思考2:如果直线a,b都垂直于平面 α ,由观察可知a//b,从理论上如 何证明这个结论?
?

a

b b’
c

α

O

直线与平面垂直的性质定理.

垂直于同一个平面的两条直线平行
a

b

用符号表示?

α

作用:1证明线线平行. 2 作平行线
其它性质:1.直线与平面垂直,则垂直于平面内的任意直线. 2.垂直于同一直线的平面平行.

练习一
? ? ? ? ?

1.判断下列命题正确的是_______ (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行 (2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行 (3)一条直线在平面内,另一条直线与主个平面 垂直,则这两条直线互相垂直.

2.已知直线a, b和平面? , 且a ? b, a ? ? , 则b与?的 位置关系是_______

知识探究(二)平面与平面垂直的性质定理

思考3:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1 中,平面AA1D1D与平面ABCD垂直,直线 AA1垂直于其交线AD.平面AA1D1D内的 直线AA1与平面ABCD垂直吗?
C1 B1 C B A A1 D D1

平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面。
注1:①

? ? ? ,? ? ? ? l, a ? ? , a ? b ? a ? ?
又∵AB⊥ l, ∴∠ABE就是二面角α-l -β的平面角 ∴∠ABE=90 ,即AB⊥BE 又∵l∩BE=B, ∴AB⊥β


证明: 在平面β内过B点作BE⊥ l,

?
a

A

l

B E

?

②该定理作用:“面面垂直?线面垂直”,是判定线面垂直的依据,可以帮助 我们快速找到面的垂线——平面内垂直于两平面的交线的直线.

平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直

简记为:面面垂直,则线面垂直.

?

用符号怎么表示?
?
l

a

练习二
1.下列命题中错误的是 ( ) A.如果平面? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l, 则l ? ? B.如果平面?不垂直于平面? , 则?内一定不存在 直线垂直于? C.如果平面? ? ? , 则?内一定存在直线平行于 ? D.如果平面? ? ? , 则?内所有直线都垂直于 ?

2.已知两个平面垂直,下列命题为真命题的是____ ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面 内任意一点作交线的垂线,则此垂线必 垂直于另一个平面.
?

例1 如图,已知 ? ? ? ? l , CA ? ? , 于点A,CB ? ? 于点B, a ? ? , a ? AB, 求证:a // l .
β B α l A a

C

? ? PDA ? 45 (2)若 ,求证:MN ? 面PCD

例2 如图,已知 PA ? 矩形ABCD所在平面,M、N分别 是AB、PC的中点求证: (1) MN ? CD; P E N A M B D

C

三、理论迁移

1 四边形ABCD中,AD∥BC, AD=AB,∠BCD=450, ∠BAD=900,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面 BCD,构成四面体ABCD.求证:平面ADC⊥平面ABC A

A

D
D

B

C

B

C

2. 平 面 四 边 形 ABCD 中 , AB=BC=CD=a , ∠B=90°,∠DCB=135°,沿对角线AC将 四边形折成直二面角. (1)证明:AB⊥面BCD; (2)求面ABD与面ACD所成的角.

3. 在直角梯形 P1DCB 中, P1D∥CB , CD⊥P1D , P1D=6 , BC=3,DC=3,A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB折起到平 面 PAB 的位置,使二面角 P-CD-B 成 45°,设 E 、 F 分别为 AB、PD的中点. (1)求证:AF∥平面PEC; (2)求二面角P-BC-A的大小;

找二面角的平面角时不要盲目去作,而应首先由题设去分 析,题目中是否已有.

练 已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂 直,AB= 2 ,AF=1,M是线段EF的中点。
(1)求证AM//平面BDE; (2)求二面角A?DF?B的大小; (3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的 角是60?。 E
M F C B

D

A

注: 此课件两课时完成, 线面,面面分开讲


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