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高中数学必修一课件:2.2.2 对数函数及其性质(二)_图文

一、复习回顾 y=logax a>1 3 3 0<a<1 2.5 2 1.5 2.5 图 -1 2 1.5 1 0 1 1 1 1 0.5 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 0 1 -0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 像 -1 -1 -1.5 -1.5 -2 -2 -2.5 -2.5 (1)定义域: (0,+?) 性 (2)值域:R (3)过点(1,0),即当x=1时,y=0 质 (4)在(0,+?)上是 (4)在(0,+?)上是 增函数 减函数 以上规律可总结成“底大头低”四个字来理 解. 实际上,作出直线y=1与各图像交点的横坐标 即各函数的底数的大小.如图所示: 二、习题 (一)定义域、值域 2 x ? x2 1:求函数 y ? lg(2 x ? 1) ? (3 x ? 2)0 的定义域? 解: 要满足不等式组 ?2 x ? x 2 ? 0 ? ?lg(2 x ? 1) ? 0 ? ?2 x ? 1 ? 0 ?3 x ? 2 ? 0 ? 解之,得函数定义域为 1 3 {x | ? x ? 2且x ? 1且x ? } 2 2 2 y ? log ( x ? 4 x ? 7) 的值域? 2:求下列函数 2 解: 2′ log2 3, ??? 定义域: R 值域: ? ? {x | x ? R且x ? 2} 值域: R 定义域: 2″ y ? log 2 ( x 2 ? 4 x ? 4) 定义域: {x | x ? 3或x ? 1} 值域: R y ? log 2 ( x 2 ? 4 x ? 3) 若已知函数定义域,如何确定函数解析式? 3:已知函数 y ? lg(ax2 ? 2ax ? 1), 若定义域为 R 解: (1) a ? 0 时,函数y ? lg 1 , 此时 定义域为 R ; √ ax2 ? 2ax ? 1 ? 0 对任意 (2) a ? 0 时, 实数x 恒成立,故 ?a ? 0 ? ? ?? ? 4a2 ? 4a ? 0 ? 求 a的取值范围? 二次项系数 是否为0? 解得 0 ? a ? 1 故函数定义域为R时, 0 ? a ? 1. 改变条件为: 3′已知函数 若 值域 为 值域 y ? lg(ax2 ? 2ax ? 1), 求 a 的取值范围? R 解: (1) a ? 0 时, y ? lg 1 ,此时不 × 满足题设条件 ; (2) a ? 0 时,设 u ? ax2 ? 2ax ? 1, 因为函数 y的值域是R, 则 ?a ? 0 ? 解得 a ? 1 ? ?? ? 4a2 ? 4a ? 0 ? 故函数值域为R时, a ? 1. (二)单调性、奇偶性 4:判断下列函数的奇偶性: ? 2 ? (1) f ( x) ? log 1 ? ? 1? 1? x ? ? 4 解: 回忆:用定义判断函数奇偶性的步骤: ① 先求 f(x)定义域,看是否关于原点对称; ? 判断 f(-x)= - f(x) 或 f(-x)= f(x)是否恒成立,得出结论. ? 1? x ? 先变形为 f ( x) ? log 1 ? ? 定义域为 (?1, 1) 4 ?1? x ? ?1? x ? 奇函数 f (? x) ? log 1 ? ? 4 ? 1? x ? 偶函数 ? 1? x ? 解: 变形为 f ( x) ? log 1 ? ? 定义域为 (?1, 1) 4 ?1? x ? 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 ?1? x ? ? 1? x ? f (? x) ? f ( x) ? log 1 ? ? ? log 1 ? ? 1 ? x 1 ? x ? ? 4 ? 4 ? ? 1 ? x 1 ? x ? ? log 1 ? 0 ? log 1 ? ? 1 ? 4 4 ? 1? x 1? x ? 所以,函数 y = f(x)是定义在 (?1, 1) 上的奇函数. loga M ? loga N ? loga MN 判断对数函数奇偶性: f (? x) ? f ( x) ? 0或f (? x) ? f ( x) ? 0 (2) g ( x) ? lg 解: ? x ?1 ? x 2 ? x2 ? 1 ? x 2 2 定义域为 R 2 ? lg ( ? x ) ? 1 ? x ? lg g (? x) ? g ( x) ? ? ? ? lg ?? x ? 1 ? x ? ? ? x ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? ? ? lg 1 ? 0 所以,函数 y = g(x)是奇函数. (三)单调性 2 ) 5、若 f ( x) ? log 1 ? x ? 4x ? 3? ,求函数 f ( x的单调性 ? 2 解: 定义域为 {x | x ? 3或 x ? 1} 令 u ? x2 ? 4 x ? 3 ? ( x ? 2)2 ? 1 在 (2, ??) 上递增 由于 y ? log 1 u 为减函数,有 2 在 (3, ??) 上递减 2 f ( x) ? log 1 ? x ? 4x ? 3? 2 在 (??, 1) 上递增 小结:复合函数的单调性: f ( x), g ( x) 的单调相同时, f ( g ( x)) 为增函数,否则为减函数. 改变条件为: 5′若 f ( x) ? log a ? x 2 ? 4 x ? 3 ? ,求函数 f ( x) 的单调性? 解: 定义域为 {x | x ? 3或 x ? 1} 2 f ( x ) ? log x a ? 1 时, a ? ? 4x ? 3? 在 (3, ??) 上递增, 在 (??, 1) 上递减 2 f ( x ) ? log x 0 ? a ? 1 时, a ? ? 4x ? 3? 在 (3, ??) 上递减, 在 (??,

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