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统计、统计案例


第九章 统计、统计案例
用样本估计总体

一、作频率分布直方图的步骤 1.求极差(即一组数据中最大值 2.决定 组距 与 组数 . 3.将数据 分组 . 4.列 频率分布表. 5.画 频率分布直方图 . 与 最小值 的差).

频率分布直方图的特点 (1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐 频率 频率 标表示 ,频率=组距× . 组距 组距 (2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1,因此 在频率分布直方图中组距是一个固定值,所以各小长方形高 的比也就是频率比. (3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的 两种形式,前者准确,后者直观.

二、频率分布折线图和总体密度曲线 1.频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形 上端的 中点 ,就得到频率分布折线图. 2.总体密度曲线:随着 样本容量 的增加,作图时 所分

的组数 增加, 组距 减小,相应的频率折线图会越来越接
近于一条光滑曲线, 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.

三、茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图,茎是 指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.

用茎叶图表示数据的两个优点 一是统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息 都可以从茎叶图中得到; 二是茎叶图中的数据可以随时记录, 随时添加,方便记录与表示.

四、标准差和方差 1.标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离 . 2.标准差:s=.

1 2 2 2 [ ? x 1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ] n

1 3.方差:s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2] (xn n
是样本数据,n 是样本容量, x 是样本平均数).

平均数、方差的公式推广 ①若数据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,那么 mx1+a, mx2+a,mx3+a,?,mxn+a 的平均数是 m x +a. ②数据 x1,x2,?,xn 的方差为 s2. (Ⅰ)数据 x1+a,x2+a,?,xn+a 的方差也为 s2; (Ⅱ)数据 ax1,ax2,?,axn 的方差为 a2s2.

考向一 [162]

频率分布直方图及其应用

(2014· 北京高考)从某校随机抽取 100 名学生, 获 得了他们一周课外阅读时间(单位: 小时)的数据, 整理得到数 据分组及频数分布表和频率分布直方图: 组号 1 2 3 分组 [0,2) [2,4) [4,6) 频数 6 8 17
4 5 6 7 8 9 [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) 合计 22 25 12 6 2 2 100

(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外 图 9-2-4 阅读时间少于 12 小时的概率; (2)求频率分布直方图中的 a,b 的值; (3) 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代 替,试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数 在第几组.(只需写出结论)

【尝试解答】

(1)根据频数分布表,100 名学生中课外

阅读时间不少于 12 小时的学生共有 6+2+2=10(名). 所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 1 10 -100=0.9. 从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9.

(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有 17 人,频率为 0.17, 频率 0.17 所以 a= = 2 =0.085. 组距 课外阅读时间落在组[8,10)的有 25 人,频率为 0.25, 频率 0.25 所以 b= = 2 =0.125. 组距 (3)样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组.

规律方法 1

(1)明确频率分布直方图的意义,即图中的

每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率,所有小矩 形的面积之和为 1.(2)对于统计图表类题目,最重要的是认真 观察图表,从中提炼有用的信息和数据.

对点训练

某校从参加高一年

级期中考试的学生中随机抽出 60 名 学生,将其物理成绩(均为整数)分成 六段 [40,50) , [50,60) , … , [90,100] 后得到如图 9-2-5 所示的频率分布 直方图,观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方 图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为 代表,据此估计本次考试中的平均分.
图9-2-5

【解】

(1)设分数在[70,80)内的频率为 x,根据频率分

布直方图,有(0.010+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1, 可得 x=0.3,所以频率分布直方图如图所示.

(2)平均分为: x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3 +85×0.25+95×0.05=71(分).

考向二 [163] 茎叶图的绘制及应用 (2013· 课标全国卷Ⅰ ) 为了比较两种治疗失眠症的药 (分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后, 记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果 如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.4 2.7 1.7 1.6 0.5 1.9 0.5 0.8 1.8 0.9 0.6 2.4 2.1 1.2 1.1 2.6 2.5 1.3 1.2

(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药 的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药 的疗效更好?

【解】

(1)设 A 药观测数据的平均数为 x ,B 药观测数据

的平均数为 y . 由观测结果可得 1 x = 20 (0.6 + 1.2 + 1.2 + 1.5 + 1.5 + 1.8 + 2.2 + 2.3 + 2.3 + 2.4 +2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3, 1 y = 20 (0.5 + 0.5 + 0.6 + 0.8 + 0.9 + 1.1 + 1.2 + 1.2 + 1.3 + 1.4 +1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6. 由以上计算结果可得 x > y ,因此可看出 A 药的疗效更好.

(2)由观测结果可绘制茎叶图如图:

7 从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有10的叶 7 集中在茎“2.”,“3.”上,而 B 药疗效的试验结果有10的叶集中 在茎“0.”,“1.”上,由此可看出 A 药的疗效更好.

考向三 [164] 数字特征的总体估计 甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试 成绩得分情况如图

(1)分别求出两人得分的平均数与方差; (2)根据图和上面算得的结果, 对两人的训练成绩作出评价.

【尝试解答】 绩分别为

(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成

甲:10 分,13 分,12 分,14 分,16 分; 乙:13 分,14 分,12 分,12 分,14 分. 10+13+12+14+16 x 甲= =13, 5 13+14+12+12+14 x 乙= =13, 5

1 s甲=5[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16
2

-13)2] =4, 1 s乙=5[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14
2

-13)2] =0.8.

2 (2)由 s2 甲>s乙可知乙的成绩较稳定.

从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上 下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提 高.

规律方法 3

1.平均数和方差都是重要的数字特征, 是对

总体一种简明的阐述,平均数反映了数据的中心,是平均水 平,而方差和标准差反映的是数据的稳定程度.进行均值与 方差的计算,关键是正确运用公式. 2.平均数与方差所反映的情况有着重要的实际意义,一 般可以通过比较甲、 乙两组样本数据的平均数和方差的差异, 对甲、乙两品种可以做出评价或选择.

变量间的相关关系与 统计案例

一、两个变量的线性相关 1.在散点图中,点散布在从左下角 到 右上角 的区域,

对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关. 2.在散点图中,点散布在从左上角到 右下角 的区域, 两个变量的这种相关关系称为负相关. 3.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附

近 ,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做
回归直线.

二、回归方程 1.最小二乘法:使得样本数据的点到回归直线的 距离

的平方 和最小的方法叫最小二乘法.
2. 回归方程: 两个具有线性相关关系的变量的一组数据: ^ x+a ^,则 (x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn).其回归方程为^ y =b ? ?xi- x ??yi- y ? ∑ x y -n x y ?^ i∑ =1 i=1 i i = n , n ? b= 2 2 2 ? ∑ ? x i- x ? ∑ x -n x i =1 i=1 i ? ^ ^ ?a = y - b x. ? 其中( x , y )称为样本点的中心.
n n

三、残差分析 1.残差:对于样本点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn), 它们的随机误差为 ei=yi-bxi-a,i=1,2,?,n,其估计值 ^x -a ^,i=1,2,?,n.^ 为^ ei=yi-^ yi=yi-b ei 称为相应于点(xi, i yi)的残差. ^ 2 2.残差平方和为∑ ( y - y i) . i i=1
n

y i?2 ? ?yi-^
3.相关指数:R2=1-.
i= 1 n

n

? ? yi - y ? 2
i= 1

四、独立性检验 1. 利用随机变量 K2 来判断“两个分类变量 有关系 ”的 方法称为独立性检验. 2 .列联表:列出的两个分类变量的频数表,称为列联 表. 假设有两个分类变量 X 和 Y, 它们的可能取值分别为{x1, x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为

2×2 列联表 y1 x1 x2 a c y2 b d 总计 a+b c+d

总计 a+c b+d a+b+c+d

n?ad-bc?2 构造一个随机变量 K2=?a+b??c+d??a+c??b+d? , 其中 n
= a+b+c+d 为样本容量.

考向一 [165] (1)下列结论:

相关关系的判断

①函数关系是一种确定性关系; ②相关关系是一种非确定性关系; ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析 的一种方法; ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析 的一种常用方法. 其中正确的是 .

(2)下列关系属于线性负相关的是( A.父母的身高与子女身高的关系 B.球的体积与半径之间的关系

)

C. 汽车的重量与汽车每消耗 1 L 汽油所行驶的平均路程 D.一个家庭的收入与支出
【答案】 (1)①②④ (2)C

规律方法 1

1.相关关系的判断方法: 一是利用散点图直

观判断,二是利用相关系数作出判断. 2.对于由散点图作出相关性判断时,若散点图呈带状且 区域较窄,说明两个变量有一定的线性相关性,若呈曲线型 也是有相关性. 3.在散点图中,若点散布在从左下角到右上角的区域, 称为正相关; 若散布在从左上角到右下角的区域称为负相关.

对点训练

对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,

10),得散点图 9-3-1(1);对变量 u,v 有观测数据(ui,vi)(i =1,2, ?, 10), 得散点图(2). 由这两个散点图可以判断( )

(1) 图 9-3-1

(2)

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关
【答案】 C

考向二 [166]

线性回归分析

(2013· 重庆高考)从某居民区随机抽取 10 个家庭, 获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千 元)的数据资料,算得 ?xi=80,?yi=20,?xiyi=184,?x2 i=
i=1 i=1 i=1 i =1 10 10 10 10

720. (1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx +a;

(2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月 储蓄.

?xiyi-n x y
i=1

n

附:线性回归方程 y=bx+a 中,b=

?x2 i -n x 2
i=1

n

,a= y

^ -b x ,其中 x , y 为样本平均值,线性回归方程也可写为y= ^ x+a ^. b

【尝试解答】

1n 80 (1)由题意知 n=10, x =n ?xi=10=8, i=1

1n 20 y =n ?yi=10=2, i =1
2 2 又 lxx= ?x2 - n x = 720 - 10 × 8 =80, i i= 1 n

lxy= ?xiyi-n x y =184-10×8×2=24,
i=1

n

lxy 24 由此得 b=l =80=0.3,a= y -b x =2-0.3×8=-0.4. xx 故所求线性回归方程为 y=0.3x-0.4.

(2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y= 0.3×7-0.4=1.7(千元).

规律方法 2

^ ^ 1.正确运用计算b、a的公式和准确的计算,

是求线性回归方程的关键. 2.在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出 散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系,若具有线性 相关关系,则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.

对点训练

(2014· 课标全国卷Ⅱ)某地区 2007 年至 2013

年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 1 2 3.3 3 3.6 4 4.4 5 4.8 6 5.2 7 5.9

年份代号 t

人均纯收入 y 2.9

(1)求 y 关于 t 的线性回归方程;

(2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区 农村居民家庭人均纯收入的变化情况, 并预测该地区 2015 年 农村居民家庭人均纯收入. 附: 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: - - ∑ ? t - t ?? y - y? i ^ i=1 i ^ - ^- b= , a = y -b t . n - 2 ∑ ? t - t ? i i= 1
n

【解】

(1)由所给数据计算得

- 1 t =7(1+2+3+4+5+6+7)=4, 1 - y =7(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, - 2 ∑ ( t - t ) =9+4+1+0+1+4+9=28, i i=1 - - ∑ ( t - t )( y - y )=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(- i i i=1 1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
7 7

- - ∑ ? t - t ?? y - y ? 14 i ^ i=1 i b= =28=0.5, 7 -2 ∑ ? t - t? i i= 1 ^=- ^- a y -b t =4.3-0.5×4=2.3, 所求回归方程为^ y=0.5t+2.3.

7

^=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村 (2)由(1)知,b 居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加 0.5 千元. 将 2015 年的年份代号 t=9 代入(1)中的回归方程,得 ^ y=0.5×9+2.3=6.8, 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千 元.

考向三 [167] 独立性检验 (2014· 安徽高考)某高校共有学生 15 000 人,其 中男生 10 500 人,女生 4 500 人,为调查该校学生每周平均 体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学 生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).

图 9-3-2

(1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动 时间的频率分布直方图(如图 932 所示),其中样本数据的分 组区间为:[0,2] ,(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],估计 该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率.

(3)在样本数据中, 有 60 位女生的每周平均体育运动时间 超过 4 小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表, 并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运 动时间与性别有关”. P(K2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879

2 n ? ad - bc ? 附:K2= . ?a+b??c+d??a+c??b+d?

4 500 【解】 (1)利用分层抽样,300×15 000=90,所以应收 集 90 位女生的样本数据. (2)由频率分布直方图得 1-2×(0.025+0.100)=0.75. 所以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率 的估计值为 0.75.

(3)由(2)知,300 位学生中有 300×0.75=225(人)的每周 平均体育运动时间超过 4 小时,75 人的每周平均体育运动时 间不超过 4 小时. 又因为样本数据中有 210 份是关于男生的,90 份是关于 女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 每周平均体育运动时间不超过 4 小时 每周平均体育运动时间超过 4 小时 总计 45 165 210 女生 总计 30 60 90 75 225 300

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 K2 观测值 300×?45×60-165×30?2 100 k= = 21 ≈4.762>3.841. 75×225×210×90 所以,有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运 动时间与性别有关”.

规律方法 3

1.独立性检验的关键是准确的计算 K2,在

计算时,要充分利用 2×2 列联表. 2.独立性检验的步骤: (1)根据样本数据制成 2×2 列联表.
2 n ? ad - bc ? (2)根据公式 K2= 计算 K2 的观测 ?a+b??a+c??b+d??c+d?

值 k. (3)比较 k 与临界值的大小关系作统计推断.

对点训练

某班主任对班级 22 名学生进行了作业量多

少的调查,数据如下表:在喜欢玩电脑游戏的 12 人中,有 10 人认为作业多,2 人认为作业不多;在不喜欢玩电脑游戏 的 10 人中,有 3 人认为作业多,7 人认为作业不多. (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表;(2)试问喜欢电 脑游戏与认为作业多少是否有关系?(可能用到的公式:K2= n?n11n22-n12n21?2 .( 可 能 用 到 数 据 : P(K2≥6.635) = 0.01 , n1+n2+n+1n+2 P(K2≥3.841)=0.05)

【解】 (1)根据题中所给数据,得到如下列联表: 认为作业多 认为作业不多 总计 喜欢玩电 脑游戏 不喜欢玩 电脑游戏 总计 10 2 12

3 13

7 9

10 22

2 2 n ? n n - n n ? 22 × ? 10 × 7 - 3 × 2 ? 11 22 12 21 (2)K2 = = ≈6.418 , n1+n2+n+1n+2 12×10×13×9

而 3.841<6.418<6.635, ∴有 95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有 关.

规范解答之十九

概率与统计的综合应用问题求解

第一步:理清题意,理解问题中的条件和结论.尤其是 直方图中给定的信息,找关键量;第二步:由直方图确定所 需的数据,列出 2×2 列联表;第三步:利用独立性检验的步 骤进行判断;第四步:确定基本事件总数及所求事件所含基 本事件的个数;第五步:利用概率公式求事件的概率.

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[1 个示范例]

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(12 分) 电视传媒公司为了解某地区电视观众对 某个类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调 查,其中女性有 55 名,下面是根据调查结果绘制的观众日均 收看该体育节目时间的频率分布直方图 9-3-3:

图 9-3-3

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 “体育迷”,已知“体育迷”中有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表, 并据此资料判 断是否有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计

(2) 将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为 “超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有 2 名女性,若从 “超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的 概率.
2 n ? n n - n n ? 11 22 12 21 附:K2= n1+n2+n+1n+2

P(K2≥k) k

0.05

0.01

3.841 6.635

【规范解答】 (1)由频率分布直方图可知, 在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而完成 2×2 列联表如下: 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 30 45 75 15 10 25 45 55 100 3分

将 2×2 列 联 表 中 的 数 据 代 入 公 式 计 算 , 得 K2 = 100×?30×10-45×15?2 100 = 33 ≈3.030.因为 3.030<3.841,所 75×25×45×55 以我们没有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关. 6分

(2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为 5 人,从 而一切可能结果所组成的基本事件为(a1,a2),(a1,a3),(a2, a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3, b2),(b1,b2),其中 ai 表示男性,i=1,2,3,bj 表示女性,j= 1,2. 9分 由 10 个基本事件组成, 而且这些基本事件的出现是等可 能的.用 A 表示“任选 2 人中,至少有 1 人是女性”这事件, 则 A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3, b2),(b1,b2)}, 11 分

7 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)=10.

12 分

【名师寄语】 人数计算失误.

频率 1.忽视直方图纵轴表示为 导致每组 组距

2.K2 的计算不准确、导致结果判断出错. 3. 由 5 人中任取 2 人列举出所有可能结果时重复或遗漏 某一情况导致失误.

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[1 个规范练]

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中国共产党第十八届中央委员会第三次会议于 2013 年 11 月 9 日至 12 日在北京召开, 为了搞好对外宣传工作, 会务 组选聘了 16 名男记者和 14 名女记者担任对外翻译工作,调 查发现,男、女记者中分别有 10 人和 6 人会俄语.

(1)根据以上数据完成以下 2×2 列联表: 会俄语 不会俄语 总计 男 女 总计 30

并回答能否在犯错的概率不超过 0.10 的前提下认为性别 与会俄语有关?
2 n ? ad - bc ? 参考公式:K2= ,其中 n=a+b ?a+b??c+d??a+c??b+d?

+c+d. 参考数据: P(K2≥k0) k0 0.40 0.25 0.10 0.010

0.708 1.323 2.706 6.635

(2)会俄语的 6 名女记者中有 4 人曾在俄罗斯工作过,若 从会俄语的 6 名女记者中随机抽取 2 人做同声翻译,则抽出 的 2 人都在俄罗斯工作过的概率是多少?

【解】 (1)如表: 会俄语 不会俄语 总计 男 女 总计 10 6 16 6 8 14 16 14 30

假设是否会俄语与性别无关.由已知数据可求得
2 30 × ? 10 × 8 - 6 × 6 ? K2= ≈1.1575<2.706. 16×14×16×14

所以在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断会俄语 与性别有关.

(2)会俄语的 6 名女记者,分别设为 A,B,C,D,E,F, 其中 A,B,C,D 曾在俄罗斯工作过. 则从这 6 人中任取 2 人有 AB,AC,AD,AE,AF,BC, BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF 共 15 种,其中 2 人都在俄罗斯工作过的是 AB,AC,AD,BC,BD,CD 共 6 种, 所以抽出的女记者中,2 人都在俄罗斯工作过的概率是 6 2 P=15=5.


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