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材料力学课件 附 录_图文

本章重点
1、静矩与形心 2、惯性矩、极惯性矩和惯性积 3、平行移轴公式、转轴公式

关键概念
静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、形 心主惯性轴

目录
§ ?-1 静矩和形心

§ I-2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积
§ ?-3 平行移轴公式 § ?-4 惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的 主惯性轴和主惯性矩

§ ?-1
一、基本概念 1.

静矩和形心
y
dA C

静矩(或一次矩)
y

y
O

x ? dA ——微面积对y轴的静矩 y ? dA ——微面积对x轴的静矩

x
x

x

S y ? ?Ax d A ——整个平面图形对y轴的静矩 S x ? ?A y d A ——整个平面图形对x轴的静矩

常用单位:m3 或mm3 。 数 值:可为正、负或 0 。

2.形心坐标公式

x?

? xd A ?
A

Sy A

A

y?

?

A

yd A A

Sx ? A

3.静矩与形心坐标的关系

Sy ? A x

Sx ? A y

推论:截面对形心轴的静矩恒为0,反之,亦然。

二、讨论:

1.组合截面的静矩
根据静矩的定义:整个平面图形对某轴的静矩应等于 它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和,即:

S y ? ? Ai xi
i ?1

n

S x ? ? Ai yi
i ?1

n

式中:    Ai 分别为第 个简单图形的形心坐标 xi , yi 和 i 和面积。

2.组合截面的形心坐标公式

组合截面静矩

S y ? ? Ai xi
i ?1

n

S x ? ? Ai yi
i ?1 n

n

组合截面面积

A ? ? Ai
i ?1

组合截面的形心坐标公式为:

S x i ?1 x? ? , y? ? n A A ? Ai ? Ai
i ?1 n i ?1 i ?1

Sy

? Ai x i

n

? Ai y i

n

例I—1:计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z 轴的静矩,并确定图形的形心坐标。

z

2 ? y ? z ? h? 1 ? 2 ? b ? ?

O

y
1 2? y ? 4bh 2 ? 2 h ?1 ? b 2 ? d y ? 15 ? ? 0
b 2
b

解:

z S y ? ? dA ? 2 A

2

? y2 ? b2h S z ? ? y dA ? ? yh? 1 ? 2 ? d y ? 4 b ? ? 0 A

z
? y2 ? 2bh A ? ? d A ? ? h? 1 ? 2 ? d y ? 3 b ? 0 ? A
b

h
O
y
y
dy

形心坐标为:
? bh ? Sz 4 ? 3b ? ? yC ? A 2bh 8 ? ? 3 ? 4bh2 ? Sy ? 15 ? 2h ? zC ? A ? 2bh 5 ? 3 ?
2

b

例I—2:确定图示图形形心C的位置。 解:

Sz yC ? A 10 ? 120 ? 5 ? 70 ? 10 ? 45 ? ? 19.7 mm 1200 ? 700 Sy zC ? A
10 ?120 ? 60 ? 70 ?10 ? 5 ? ? 39.7mm 1200 ? 700
目录

§ I-2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积
1.极惯性矩(或截面二次极矩)
y dA

I p ? ?A ? d A
2

2.惯性矩(或截面二次轴矩)

I y ? ?A x d A
2

I x ? ?A y d A
2

y

O

x

x

由于? ? y ? x
2 2

2

所以

? ? ? d A ? ? ( y2 ? x2 ) d A ? I x ? I y Ip A A
2

(即截面对一点的极惯性矩,等于截面对以该点为原点的任意 两正交坐标轴的惯性矩之和。) 3.惯性积
y dA

I xy ? ?A xy d A
(其值可为正、为负或为零) 结论:截面对于包含对称轴在内 的一对正交轴的惯性积为0。 4.惯性半径
O x x
y

iy ?

Iy A

ix ?

I x (单位:长度的一次方) A

例I—3:试计算矩形截面对于其对称轴(即形心轴)x和y的惯 性矩。
y dy

解: 取平行于x轴的狭长条 则 dA=b dy
h
h 2 h ? 2
3

y
C

x

? ? y2 d A ? ? Ix
A

bh3 by2 d y ? 12
b

同理

hb Iy ? 12

思考题I—1:平行四边形对形心轴x 的惯性矩应怎样计算?

5.主惯性轴:当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积 I y0 z0 =0时,则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。 推论:具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的 主惯性轴。 6.主惯性矩:平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。 7.形心主惯性轴:过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。 可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。 8.形心主惯性矩:平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形 心主惯性矩。

目录

§?-3 平行移轴公式
1.平行移轴公式推导

y

yc

x
C

xc dA yc
xc

左图是一面积为A的任意形状的平 面,c为其形心,xcyc为形心坐标轴。与 该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为 xy ,形心c在oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA 在两坐标系下的 坐标关系为:

y
O

b

x

x ? xC ? b

y ? yC ? a

  ? y 2 d A ? ? ? yc ? a ? d A I x ?
2 A A

? ? yc d A ? 2 a ? yc d A ? a 2 ?
2 A A

A

dA

? I x c ? S xc ? a 2 A ? I xc ? a 2 A

同理,有:

? I y ? I yc ? b 2 A ? ? ? I xy ? I xc yc ? abA ?

注: 式中的a、b代表坐标值,有时可能取负值。

例I—4:求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。 解:

(1)求形心坐标

y
S x ? ?A y d A ? ? yb( y ) d y
y b(y) C
d 2 0

yc
d
b( y ) ? 2 R 2 ? y 2

xc
x

??

d 2 0

d3 y ? 2 R2 ? y2 d y ? 12

S x d 3 12 2d yc ? ? 2 ? A πd 8 3π
(2)求对形心轴xc的惯性矩

πd 4 64 πd 4 Ix ? ? 2 128

由平行移轴公式得:

πd 2 πd 4 d 4 I xc ? I x ? ( yc ) 2 ? ? ? 8 128 18π
例I—5:求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy

z

z

a
y

a
a
d
d

y

a

?? d 4 ? d 2 ? 2 d ? 2 ? d 2 d ( 2a ) 3 解: I y ? ?2 ? ? ? ? ? 12 8 8 ? 3? ? ? 128

2 2d ? ? ? ? ? a? ? ? ? 3? ? ? ?

思考题I—2:O为直角三角形ABD斜边上的中点,x、y轴为过点 O且分别平行于两条直角边的两根轴,关于惯性积和惯性矩有 四种答案(已知b>a): (A)Ixy>0 (B) Ixy<0 ( C ) Ixy=0 (D) Ix=Iy
A (思考题I—2) y x (思考题I—3)

y
a

b

O

a

?

x

B

a

D

思考题I—3:等腰直角三角形如图所示,x、y轴是过斜边中点的 任意一对坐标轴(即图中?为任意值),该图形的: (1)惯性积Ixy=__ (2)惯性矩Ix=__ 、 Iy___。 目录

§?-4惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的 主惯性轴和主惯性矩
1. 转轴公式
y

新坐标系ox1y1 旧坐标系o x y

A dA

x1 ? x cos? ? y sin ? y1 ? y cos? ? x sin ?
C

E D O x B x

将上述关系代入平 面图形对x1轴的惯性矩:
2 I x1 ? ? y1 d A A

y

I x1 ? cos2 ? ? y 2 d A ? sin 2 ? ? x 2 d A ? 2 sin ? cos? ? xy d A
A A A

? I x cos2 ? ? I y sin 2 ? ? 2 I xy sin ? cos?
利用三角函数整理上式,得转轴公式 :
I x1 ? Ix ? Iy 2 ? Ix ? Iy 2 cos 2? ? I xy sin 2?

同理得:
I y1 ? Ix ? Iy ? Ix ? Iy 2 cos 2? ? I xy sin 2?

I x1 y1 ?

2 Ix ? Iy 2

sin 2? ? I xy cos 2?

规定:上式中的? 的符号为:逆时针为正,顺时针为负。 讨论:
将上述转轴公式中的前两式相加可得:

I x1?I y1?I x ?I y
即,截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的 两惯性矩之和为一常数,并等于截面对该坐标原点的极惯 性矩。

2.截面的主惯性轴和主惯性矩
从惯性积的转轴公式可推知,随着坐标轴旋转,惯性积 将随着?角作周期性变化,且有正有负。因此,必有一特定的 角度?0,使截面对与该角对应的新坐标轴x0、y0的惯性积为零。 依此进行如下定义:
(1) 主惯性轴:截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。 (2) 主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。

(3) 形心主惯性轴:当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。 (4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。

3.主惯性轴位置的确定
设坐标轴转动角度为?0,则由惯性积的转轴公式及主惯性 轴的定义,得:

Ix ? Iy 2
经整理,得

sin 2? 0 ? I xy cos 2? 0 ? 0

tan2? 0 ?

? 2I xy Ix ? I y

4.主惯性矩的确定
由上面tan2?0的表达式求出cos2?0、sin2?0后,再代入惯 性矩的转轴公式 ,化简后可得主惯性矩的计算公式如下:

Ix ? Iy 1 ? ? ? I x0 ? ? 2 2 ? ?I ? I x ? I y ? 1 ? y0 2 2 ?

?I ?I

2 x ? I y ? ? 4 I xy 2

? Iy ? 4I2 xy x
2

?

结论:
?若截面有一根对称轴,则此轴即为形心主惯性轴之一,另 一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。 ?若截面有二根对称轴,则此二轴即为形心主惯性轴。 ?若截面有三根对称轴,则通过形心的任一轴均为形心主惯 性轴,且主惯性矩相等。

例I—6:计算截面的形心主惯性矩。
10 bⅠ aⅠ C xC

y C
40 20

120


解:作形心坐标轴xcyc 如

图所示。
(1)求形心坐标:
(a , b ) 、 (aⅡ , bⅡ ) Ⅰ Ⅰ

80 aⅡ

bⅡ
10


(2)求对自身形心轴的惯性矩。

I xc1 、 I yc1 , I xc 2 、 I yc 2 I xc 、 I yc 、 I xc yc

(3)由平行移轴公式求整个截面的

xc0

40
20

bⅠ
aⅠ C ° ? =113.8

10

y C

120


(4)由转轴公式得
tan 2? 0 ?
xC

? 2 I xc y c I xc ? I yc

? 1.093

80 aⅡ

yc0

bⅡ

2?0 ? 227.6?

?0 ? 113.8?

10



I xc 0 ? I max ?

I xc ? I yc 2

?

1 2

?I

xc

? I yc

? ?4I
2

2 xc yc

? 321?104 mm4

I yc 0 ? I min ?

I xc ? I yc 2

1 ? 2

?I

xc

? I yc

?

2

? 4 I 2c yc ? 57.4 ?104 mm4 x
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