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高中数学人教版必修一知识点总结梳理


第一章 集合与函数概念 一:集合的含义与表示 1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东 西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。 2、集合中的元素的三个特性:确定性、互异性、无序性 3、集合的表示:{?} (1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法,Venn 图 4、集合的分类:有限集,无限集,空集 5、元素与集合的关系:属于:a?A,不属于:a ? A ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 6、集合间的基本关系 (1)“包含”关系—子集: A ? B (或 B ? A) 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分; (2)A 与 B 是同一集合。 (2)“包含”关系—真子集 :A B(或 B A) (3)“相等”关系:A=B ;如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B (4)不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 (5)集合的性质 ① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②如果 A?B, B?C ,那么 A?C ③如果 A B 且 B C,那么 A C ④有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 7、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 定 义 由所有属于 A 且属于 B 由所有属于集合 A 或属 的 元 素 所 组 成 的 集 合 , 于集合 B 的元素所组成 叫做 A,B 的交集.记作 的集合,叫做 A,B 的并 A ? B(读作‘A 交 B’), 集.记作: A ? B (读作 即 A ? B= { x|x ? A ,且 ‘A 并 B’),即 A ? B x ? B}. ={x|x ? A,或 x ? B}).

补 集 全集:一般,若一个集合汉语我们 所研究问题中这几道的所有元素, 我们就称这个集合为全集,记作:U 设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集, 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的 集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或 余集)记作 C S A , CSA= {x | x ? S , 且x ? A}

韦恩图示
S A





A ∩ A=A A ∩Φ =Φ A ∩B=B ? A A ∩B ? A A ∩B ? B

A U A=A A U Φ =A A U B=B U A A U B ?A A U B ?B

(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB) (CuA) U (CuB)= Cu(A∩B) AU(CuA)=U A∩(CuA)=Φ .

二、函数的概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数.记作: y=f(x),x∈A. (1)其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; (2)与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 2.函数的三要素:定义域、值域、对应法则 3.函数的表示方法:(1)解析法,图像法,列表法 4.函数图像平移变换的特点: 1)加左减右——————只对 x 2)上减下加——————只对 y 3)函数 y=f(x) 关于 X 轴对称得函数 y=-f(x) 4)函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称得函数 y=f(-x) 5)函数 y=f(x) 关于原点对称得函数 y=-f(-x) 6)函数 y=f(x) 将 x 轴下面图像翻到 x 轴上面去,x 轴上面图像不动得函数 y=| f(x)| 7)函数 y=f(x) 先作 x≥0 的图像,然后作关于 y 轴对称的图像得函数 f(|x|) 三、函数的基本性质 1、函数解析式的求法(求对应法则和定义域) 1)代入法;待定系数法;换元法;拼凑法。 2.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零 (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1; (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意 义的 x 的值组成的集合; (6)指数为零底不可以等于零; (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两 点必须同时具备) 4、区间的概念: (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)区间的数轴表示 5、值域 (先考虑其定义域) (1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域; (2)反表示法:针对分式的类型,把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的函数关系式,由 X 的范围类似求 Y 的范围; (3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值域,注意定义域的 范围; (4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. (4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数 7.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集 合 B 的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象) ? B(象)” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 注意:函数是映射,而映射不一定的函数 8、函数的单调性(局部性质)及最值 (1)设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间. (2)如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就 说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单调不减两种 函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方); ○ 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ○ 5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). ○ (B)复合函数的单调性 “同增异减” 注意:先求定义域,函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,单调区间之间用“和”或者“,”连 接 9:函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数:定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x).图象关于 y 轴对称. (2)奇函数:定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x).图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: a、首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是非奇非偶的函数; 若对称,则进行下面判断; b、确定 f(-x)与 f(x)的关系; c、作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) = -f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. (3)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性 a、在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函 数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数; b、复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇 注意:判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称 10、函数最值及性质的应用 (1)、函数的最值 a 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 b 利用图象求函数的最大(小)值 c 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最

大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最 小值 f(b); (2)、函数的奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性; 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。 (3)、判断含糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法是与 0 作比较,作商 法是与 1 作比较。 (4)、绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。 (5)、在判断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用 f(0)=0,但是 f(0)=0 并不一定可以判 断函数为奇函数。 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数 1.指数与指数幂的运算: 2.根式的概念:一般地,若 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N *. 当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数。此时,a 的 n 次方根 用符号 n a 表示。 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数。此时正数 a 的正的 n 次方根用 符号 n a 表示,负的 n 的次方根用符号 ? n a 表示。 注意:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 ?a (a ? 0) 当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0) 式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数。 3、
m n

分数指数幂

a a 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义
4、 有理数指数米的运算性质 r r r ?s (1) a · a ? a (2) (a ? 0, r , s ? R) r r s (3) (ab) ? a a

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) , a

?

m n

?

1
m n

?

1
n m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

(a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) .

(二)、指数函数的性质及其特点 1、指数函数的概念: y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 定义域为 R. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5 4 4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减

非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:若 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N 的对数,记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式)

a x ? N ? loga N ? x ; 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M · N ) ? loga M + loga N ; ○ M 2 log a ? loga M - loga N ; ○ N 3 loga M n ? n loga M (n ? R ) . ○ 注意:换底公式 logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ). loga b ? logc a 利用换底公式推导下面的结论 1 n (1) log a b n ? log a b ;(2) loga b ? . m logb a (二)对数函数 1、对数函数的概念: y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 定义域是(0,+∞). 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1
m
3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过定点(1,0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)

三、幂函数 1、幂函数定义: y ? x ? (a ? R) ,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函 数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半 轴.

第三章 函数的应用 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 ,把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即:方程 有实数根,函数的图象与坐标轴有交点,函数有零点. 3、函数零点的求法: (1)(代数法)求方程 的实数根; (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找 出零点. 4、二次函数的零点: (1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二 重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.


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