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函数的单调性与最值


训练目标 训练题型

(1)函数单调性的概念;(2)函数的最值及其几何意义. (1)判断函数的单调性;(2)利用函数单调性比较大小、解不等式;(3)利用函数单 调性求最值. (1)判断函数单调性常用方法:定义法、图象法、导数法、复合函数法;(2)分段

解题策略 函数单调性要注意分界点处函数值的大小; (3)可利用图象直观研究函数单调性. 一、选择题 1.下列函数,满足对任意 x1,x2∈(0,+∞),都有 2 A.f(x)= x C.f(x)=x2+4x+3 f?x1?-f?x2? >0 的是( x1-x2 )

B.f(x)=-3x+1 1 D.f(x)=x+ x )

2.(2016· 黑龙江牡丹江一中期中)函数 y=3x2-3x+2,x∈[-1,2]的值域是( A.R

? 1 ,729? B.? 4 ? ? 3 ?

C.[9,243]

D.[3,+∞)

3.(2016· 牡丹江月考)设函数 f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x-1,则( 1? ?3? ?2? A.f? ?3?<f?2?<f?3? 2? ?1? ?3? C.f? ?3?<f?3?<f?2? ) 2? ?3? ?1? B.f? ?3?<f?2?<f?3? 3? ?2? ?1? D.f? ?2?<f?3?<f?3?

4.(2016· 广东佛山顺德一中等六校联考)函数 y=x2-x+2 在[a,+∞)上单调递增是函数 y= ax 为单调递增函数的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ? ?x2+2ax-2,x≤1, 5.(2016· 陕西西藏民族学院附中期末)若函数 f(x)=? 在(0,+∞)上是 x ? ?a -a,x>1 增函数,则 a 的取值范围是( A.(1,2] B.[1,2) ) C.[1,2] D.(1,+∞)

6.函数 f(x)=ln(x2-2x-3)的单调递减区间为( A.(-∞,1) C.(-∞,-1)

)

B.(1,+∞) D.(3,+∞)

7.(2016· 杭州质检)设函数 f(x)与 g(x)的定义域为 R,且 f(x)单调递增,F(x)=f(x)+g(x),G(x) =f(x)-g(x).若对任意 x1,x2∈R(x1≠x2),不等式[f(x1)-f(x2)]2>[g(x1)-g(x2)]2 恒成立,则( A.F(x),G(x)都是增函数 B.F(x),G(x)都是减函数 C.F(x)是增函数,G(x)是减函数 D.F(x)是减函数,G(x)是增函数 1,x>0, ? ? 8. (2015· 湖北)已知符号函数 sgnx=?0,x=0, ? ?-1,x<0. 则( ) )

f(x)是 R 上的增函数, g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),

A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=-sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)] 二、填空题 9.已知函数 f(x)=x|x-a|,若对任意的 x1,x2∈[2,+∞)且 x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 恒成 立,则实数 a 的取值范围为________.
? ? ?a,a≥b, ?-1≤x≤1, 10.(2016· 绍兴柯桥区二模)定义 max(a,b)=? 若实数 x,y 满足? 则 ?b,a<b, ?-1≤y≤1, ? ?

max{|2x+1|,|x-2y+5|}的最小值为________. 11.用 max{a,b}表示 a,b 两数中的最大值,若 f(x)=max{e|x|,e|x 2|},则 f(x)的最小值为


|x| |x ______________,若 f(x)=max{e ,e

-t |

}关于 x=2015 对称,则 t=________.

12.对于函数 f(x),若存在区间 A=[m,n],使得{y|y=f(x),x∈A}=A,则称函数 f(x)为“同 域函数”,区间 A 为函数 f(x)的一个“同域区间”.给出下列四个函数: π ①f(x)=cos x;②f(x)=x2-1;③f(x)=|2x-1|;④f(x)=log2(x-1). 2 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是__________.(请写出所有正确结论的序号)

答案解析
1.C 2.B [令 t=x2-3x+2,∵x∈[-1,2], 3?2 1 ? 1 ? ∴t=x2-3x+2=? ?x-2? -4∈?-4,6?. 1 - ,6?上单调递增, 又 y=3t 在? ? 4 ?

? 1 ,729? 1 - ≤t≤6?∈? 4 则 y=3t? ?. ? 4 ? ? 3 ? ? 1 ,729? ∴函数 y=3x2-3x+2,x∈[-1,2]的值域是? 4 ?.] ? 3 ?
3.B [由题设知,当 x<1 时,f(x)单调递减,当 x≥1 时,f(x)单调递增, 3? ? 1? ? 1? ?1? 而 x=1 为对称轴,∴f? ?2?=f?1+2?=f?1-2?=f?2?, 1 1 2 又 < < <1, 3 2 3 1? ?1? ?2? ∴f? ?3?>f?2?>f?3?, 1? ?3? ?2? 即 f? ?3?>f?2?>f?3?.] 4. B 1 1 ? [函数 y=x2-x+2 图象的对称轴为直线 x= , 且开口向上, 在? ?2,+∞?上单调递增, 2

1 由已知 y=x2-x+2 在[a,+∞)上单调递增,则 a≥ ,推不出 y=ax 是递增函数.反之,y= 2 ax 单调递增,则 a>1,显然 y=x2-x+2 在[a,+∞)上单调递增,故选 B.] 5.A 1 a [由 f(x)=x2+ ax-2 在(0,1]上递增,则有- ≤0,即 a≥0,再由 f(x)=ax-a 在(1,+ 2 4

1 ∞)上递增,则 a>1,再由增函数的定义,得 1+ a-2≤a1-a,解得 a≤2,则有 1<a≤2.故 2 选 A.] 6.C [要使函数有意义,则 x2-2x-3>0,即 x>3 或 x<-1.设 t=x2-2x-3,则当 x>3 时, 函数 t=x2-2x-3 单调递增;当 x<-1 时,函数 t=x2-2x-3 单调递减. ∵函数 y=lnt 在定义域上为单调递增函数, ∴根据复合函数的单调性之间的关系可知:当 x>3 时,函数 f(x)单调递增,即函数 f(x)的递增 区间为(3,+∞);当 x<-1 时,函数 f(x)单调递减,即函数 f(x)的递减区间为(-∞,-1).故

选 C.] 7.A [由[f(x1)-f(x2)]2-[g(x1)-g(x2)]2>0,

得[F(x1)-F(x2)][G(x1)-G(x2)]>0, 所以 F(x),G(x)的单调性相同, 又因为 F(x)+G(x)=2f(x)为增函数, 所以 F(x),G(x)都是增函数,故选 A.] 8.B [因为 a>1,所以当 x>0 时,x<ax,因为 f(x)是 R 上的增函数,所以 f(x)<f(ax),所以 g(x) =f(x)-f(ax)<0,sgn[g(x)]=-1=-sgnx;同理可得当 x<0 时,g(x)=f(x)-f(ax)>0,sgn[g(x)]= 1=-sgnx;当 x=0 时,g(x)=0,sgn[g(x)]=0=-sgnx 也成立.故 B 正确.] 9.(-∞,2] 解析 依 题 意 知 函 数 f(x) = x|x - a| 在 区 间 [2 , + ∞) 上 为 增 函 数 , 而 f(x) = x|x - a| =

2 ? ?x -ax,x≥a, ? 2 ?-x +ax,x<a, ?

a a 所以当 a≥0 时,f(x)在区间(-∞, )上递增,在区间[ ,a]上递减,在区间(a,+∞)上递增, 2 2
?a≥0, ? a 故有? 即 0≤a≤2;当 a<0 时,f(x)在区间(-∞,a)上递增,在区间[a, ]上递减,在 2 ? a ≤ 2 , ?

a<0, ? ? a 区间( ,+∞)上递增,故有?a 即 a<0.综上,a 的取值范围为(-∞,2]. 2 ≤2, ? 2 ? 10.2 解析 因为-1≤x≤1, 故-1≤2x+1≤3, 故 0≤|2x+1|≤3.又因为-1≤y≤1, 故-2≤-2y≤2, 所以 2≤x-2y+5≤8,所以 2≤|x-2y+5|≤8, 则 max{|2x+1|,|x-2y+5|}
?|x-2y+5|,0≤|2x+1|<2, ? =? ?|2x+1|,2≤|x-2y+5|≤3, ?

所以 max{|2x+1|,|x-2y+5|}的最小值为 2. 11.e 4030
?ex,x≥1, ? - 解析 由于 f(x)=max{e|x|, e|x 2|}=? |x-2| 故 f(x)的最小值为 f(1)=e.若 f(x)=max{e|x|, ? e , x <1 , ?

e|x t|}关于 x=2015 对称,则


0+t =2015, 2

求得 t=4030. 12.①②③ π 解析 当 x∈[0,1]时, cos x∈[0,1], ①正确; 当 x∈[-1,0]时, x2-1∈[-1,0], ②正确; 当 x∈[0,1] 2 时,|2x-1|∈[0,1],③正确;因为 y=log2(x-1)为单调递增函数,所以要为“同域区间”,需 满足方程 log2(x-1)=x 有两个根,由图象可知 y=x 与 y=log2(x-1)没有交点,④错误.


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