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高三数学-扬州中学2016届高三上学期12月月考试题 数学


江苏省扬州中学高三数学质量检测试卷 2015.12
一、填空题 0 1 2} ,则 A ? B 等于 1.已知集合 A ? {x x ? 0} , B ? {?1,,, 2.已知虚数 z 满足 2 z ? z ? 1 ? 6i ,则 | z | ? 3.抛物线 y ? 2 x 的准线方程为
2







4. 角 ? 的顶点在坐标原点, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边经过点 P(1, 2) , 则c os ( ? ??) 的值是 . 1 π π 5.设函数 f (x)= cos(ωx+φ), 对任意 x∈R 都有 f ? -x?=f ? +x?, 2 ?3 ? ?3 ? 若函数 g(x)=3sin(ωx+φ) π -2,则 g ( )的值为_________. 3 6.“ M ? N ”是“ log 2 M ? log 2 N ”成立的________条件.(填“充分不必要” “必要不充 分” “充要”或“既不充分也不必要”). 7.若 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则 a5 与 a7 的等比中项为___. 8.设函数 f (x)在(0,+∞)内可导,且 f (ex)=x+ex,则 f ?(1)=__________.

?a ? b ? 2 ? 0 ? a ? 2b b ? a ?1 ? 0 9.若实数 a , b 满足 ? ,则 2a ? b ?a ? 1 ?

的最大值为_________.

10.在边长为 1 的正 ?ABC 中,向量 BD ? x BA, CE ? yCA, x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ? 1, 则 CD ? BE 的最大值为________. 11.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 3) ? f ( x), 当 x ? (?2,0) 时, f ( x) ? 2 x ,

) ? f (2014 ) ? f (2013 ) ? _________. 则 f (2015
12. 已知直线 2 ax+by=1(a,b 是实数)与圆 O:x2+y2=1(O 是坐标原点)相交于 A,B 两 点,且△AOB 是直角三角形,点 P(a,b)是以点 M(0,1)为圆心的圆 M 上的任意一点,则圆 M 的面积的最小值为________.

1 2 1 2 x 和y= x + 5 所围成的封闭曲线,给定点 A(0, a ) ,若在此 4 16 封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点 A 对称,则实数 a 的取值范围是 .
13.已知抛物线 y = 14. 设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足 a54=2014,且存在正整数 k,使 a1,a54, ak 成等比数列,则公差 d 的所有可能取值之和为 二、解答题: 15.(本小题满分 14 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是平行四边形. (1)若 CF⊥AE,AB⊥AE,求证:平面 ABFE⊥平面 CDEF;
1



(2)求证:EF//平面 ABCD. E F

D

C

A

B

x x x 3sin ,1?,n=?cos ,cos2 ?. 16. (本小题满分 14 分) 已知向量 m=? 4 ? 4? ? ? 4 2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? ? 3 -x?的值; (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c,且满足(2a-c)cos B =bcos C,求函数 f(A)的取值范围.

17.(本小题满分 14 分)

1 x2 y2 在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 右焦点 F (1,0) , 2 a b
点 P 在椭圆 C 上,且在第一象限内,直线 PQ 与圆 O: x ? y ? b 相切于点 M.
2 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求|PM|· |PF|的取值范围; (3)若 OP⊥OQ,求点 Q 的纵坐标 t 的值.
2

y P M O F x

Q

18. (本小题满分 16 分)某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次 模拟试验。如图,内陆海湾的入口处有暗礁,图中阴影所示的区域为暗礁区,其中线段 AA1 , B1 B, CC1 , D1 D 关于坐标轴或原点对称,线段 B1 B 的方程为 y ? x, x ? ?a, b? ,在海岸 和礁石中间的海域可以作为航道通行。 有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾, 在 点 M (?

5 5 a,0) 处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点 N ( a,0) 测得汽笛声的时刻晚 2 2 1s (设海面上声速为 am / s ) 。若该船沿着当前的航线航行(不考虑轮船的体积)

(I)问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么? (II)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾?请说明理由。

19. (本小题满分 16 分) 对于函数 f ( x), g ( x) , 如果它们的图象有公共点 P, 且在点 P 处的切线相同, 则称函数 f ( x) 和 g ( x) 在点 P 处相切,称点 P 为这两个函数的切点.设函数

f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) , g ( x) ? ln x .
(1)当 a ? ?1 , b ? 0 时, 判断函数 f ( x) 和 g ( x) 是否相切?并说明理由; (2)已知 a ? b , a ? 0 ,且函数 f ( x) 和 g ( x) 相切,求切点 P 的坐标; (3)设 a ? 0 ,点 P 的坐标为 ( , ?1) ,问是否存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使得它

1 e

3

们在点 P 处相切?若点 P 的坐标为 (e2 , 2) 呢?(结论不要求证明)

20.(本小题满分 16 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且对任意的 k ? N * , a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等比数列,其公比为 qk . (1)若 qk =2( k ? N * ),求 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a2 k ?1 ; (2)若对任意的 k ? N * , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等差数列,其公差为 d k ,设 bk ?

1 . qk ? 1

① 求证: {bk } 成等差数列,并指出其公差; ②若 d1 =2,试求数列 {d k } 的前 k 项的和 Dk .


1.已知矩阵 M ? ?

学Ⅱ (附加题 )

?2 1 ? 求直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 在 M 作用下的直线方程. ? 的一个特征值是 3, ?1 a ?

2.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程;

?
6



4

(2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.

3.抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面, 记所得数字分别为 x,y.设 ? 为随机变量,若 x 为整数,则 ? ? 0 ;若 x 为小于 1 的分数, y y 则 ? ? ?1 ;若 x 为大于 1 的分数,则 ? ? 1 . y (1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

4.已知 (1 ?

1 n x) 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x),...,an ( x), an?1 ( x). 设函数 2

F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x) ? ... ? nan ( x) ? (n ? 1)an?1 ( x).
(1) 若 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求正整数 n 的值; (2) 求证: ?x1 , x2 ? [0,2], 恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2
n?1

(n ? 2) ? 1.

5

6

高三数学质量检测试卷参考答案及评分标准
1. ?1, 2? 6.必要不充分 11.0 2. 5 7. ? 4 2 3. y ? ? 8.2 13. ( , 4)

2015.12

1 8

4. ? 9.

5 5

5.-2 10. ?

7 5

3 8

5 14.92. 【解析】易知 d=0,成立. 2 当 d>0 时, a54 ? a1 ? 53d ? 2014? a1 ? 2014? 53d
12. (3-2 2 )π

ak ? a54 ? ( k ? 54 )d ? 2014? ( k ? 54 )d

a54 ? a1ak ? ( 2014? 53d )?2014? ( k ? 54 )d ? ? 53( 38 ? d )?2014? ( k ? 54 )d ? ? 2014? 2014
2

( 38 ? d )?2014? ( k ? 54d )? ? 38? 2014

? ( k ? 54 )d 2 ? 38( k ? 107)d ? 0 ? ( k ? 54 )d ? 38( k ? 107)
kd ? 54d ? 38d ? 38? 107 ? ( d ? 38 )k ? 54 ? 38? 107
k? 54 d ? 38 ? 107 54( d ? 38 ) ? 54 ? 38 ? 38 ? 107 38 ? 53 38 ? 53 ? ? 54 ? ? 54 ? ? N* d ? 38 d ? 38 d ? 38 38 ? d

又? ?

?a1 ? 2014? 53d ? 53( 38 ? d ) ? 0 ? 38 ? d ? 0 ?d ? 0

? 0 ? 38 ? d ? 38

?38 ? d ? 1, 2,19 , ? d ? 3 7 , 3 6 , ,所以公差 19 d 的所有可能取值之和为 92.
15. (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD,又∵AB⊥AE, ∴AE⊥CD 又∵AE⊥CF, CD∩CF=C, CD、 CF ? 平面 CDEF, ∴AE⊥平面 CDEF, 又∵AE ? 平面 ABFE,∴平面 ABFE⊥平面 CDEF………7 分 (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD 又∵AB ? 平面 CDEF,CD ? 平面 CDEF,∴AB//平面 CDEF 又∵AB ? 平面 ABFE,平面 ABFE∩平面 CDEF=EF,∴AB//EF 又∵EF ? 平面 ABCD,AB ? 平面 ABCD,∴EF//平面 ABCD.………14 分

?c 1 ? ? 17.(1) ? a 2 …………2 分 ? ?c ? 1
∴c=1,a=2,∴ b ?

3 ,∴椭圆方程为
2 2

x2 y2 ? ? 1 …………4 分 4 3

x y (2)设 P( x0 , y0 ) ,则 0 ? 0 ? 1(0 ? x0 ? 2) 4 3 3 2 1 2 2 2 PM= x0 ? y 0 ? 3 ? x0 ? 3 ? x0 ? 3 ? x0 ,………………6 分 4 2

7

1 1 1 2 x0 …………8 分 ∴PM· PF= x0 (4 ? x0 ) ? ? ( x0 ? 2) ? 1 , 2 4 4 ∵ 0 ? x0 ? 2 ,∴|PM|· |PF|的取值范围是(0,1).…………10 分
PF= 2 ? (3)法一:①当 PM⊥x 轴时,P ( 3,

3 ) ,Q ( 3, t ) 或 (? 3, t ) , 2

由 OP ? OQ ? 0 解得 t ? ?2 3 ……………………12 分 ② 当 PM 不 垂 直 于 x 轴 时 , 设 P( x0 , y0 ) , PQ 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 即

kx ? y ? kx0 ? y0 ? 0
∵PQ 与圆 O 相切,∴
2 2

| kx0 ? y0 |
2

k ?1 ∴ 2kx0 y0 ? k x0 ? y0 ? 3k 2 ? 3 ………………13 分 t ? y 0 ? kx0 x ( y ? kx0 ) , t ) ,所以由 OP ? OQ ? 0 得 t ? 0 0 又 Q( ……14 分 k x0 ? ky0
2

? 3 ,∴ (kx0 ? y0 ) 2 ? 3k 2 ? 3

x0 (kx0 ? y 0 ) 2 x0 ( y0 ? kx0 ) 2 ∴t ? ? ? 2 2 ( x0 ? ky0 ) 2 x0 ? k 2 y 0 ? 2kx0 y 0
2

2

2

x0 (3k 2 ? 3) x0 ? k 2 y0 ? k 2 x0 ? y0 ? 3k 2 ? 3
∴ t ? ?2 3 ……16 分
2 2 2 2

2

=

(1 ? k 2 ) x0

2

x0 (3k 2 ? 3) =12 , 3 2 2 2 ? (1 ? k )(3 ? x0 ) ? 3k ? 3 4

2

法二:设 P( x0 , y0 ) ,则直线 OQ: y ? ? ∵OP⊥OQ,∴OP· OQ=OM· PQ ∴ x0 ? y 0 ? ∴ x 2?y 2? 0 0
2 2

x0 y x ,∴ Q(? 0 t , t ) , y0 x0
y0 2 t ) ? ( y 0 ? t ) 2 ………12 分 x0
t 2 ? y0 ? t 2 ? 3 ?
2

2

2

y0 x0
2

2 2

t 2 ? t 2 ? 3 ? ( x0 ?
2 2

t2 x0

( x0 ? y 0 ) ? 3 ? x0 ?
2

2

y0 x0
2

2 2

x0 ? y 0 x0
2

2

2

( x0 ? t 2 )

2

∴ ( x0 ? y0 )t 2 ? 3( x0 ? t 2 ) ,∴ t 2 ?
2 2 2

3x 0

2 2

x0 ? y 0 ? 3

………………14 分

2 x y 3x 3x0 2 ∵ 0 ? 0 ? 1 ,∴ y 0 ? 3 ? 0 ,∴ t 2 ? ? 12 ,∴ t ? ?2 3 ……………16 分 1 2 4 3 4

x0 4 18.(1)设轮船所在的位置为 P ,由题意可得 | PM | ? | PN |? a 。? a ?| MN | , 故点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点的双曲线的右支。
设点 P 的轨迹方程为

1 x2 y2 ? 2 ? 1 (m ? 0, n ? 0) 则 m ? a 2 2 m n

n?

5a 2 a 2 ? ?a 4 4

? 兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是 4 x 2 ? y 2 ? a 2 ( x ? 0)
(II)这艘船能由海上安全驶入内陆海湾。 设直线 l 的方程为 y ? y0 。
8

当 0 ? y0 ? a 时,设 l 与双曲线右支、直线 x ? a 分别交于点 Q1 , S1 ,

1 2 y 0 ? a 2 , y 0 ) , S1 (a, y0 ) 2 1 1 2 ? y0 ? a 2 ? a2 ? a2 ? a 2 2 点 在点 的左侧, S1 ? Q1 ? 船不可能进入暗礁区。 当 y 0 ? a 时,设 l 与双曲线右支、直线 y ? x 分别交于点 Q2 , S 2 , 1 2 y 0 ? a 2 , y 0 ) , S 2 ( y0 , y0 ) 则 Q2 ( 2 2 3 y0 ? a 2 1 2 2 2 ? ( y0 ? a ) ? y0 ? ? ?0 4 4 1 2 ? y 0 ? a 2 ? y 0 ? Q2 在点 S 2 的右侧,? 船不可能进入暗礁区。 2 综上,在 x 轴上方,船不可能进入暗礁区,由对称性可知,船能由海上安全驶入内陆海湾。
则 Q1 ( 19.(1)结论:当 a ? ?1 , b ? 0 时,函数 f ( x) 和 g ( x) 不相切.?1 分 理由如下:由条件知 f ( x) ? ? x2 ,由 g ( x) ? ln x ,得 x ? 0 , 又因为 f ?( x) ? ?2 x , g ?( x) ? 1 , x 1 所以当 x ? 0 时, f ?( x) ? ?2 x ? 0 , g ?( x) ? ? 0 ,所以对于任意的 x ? 0 , f ?( x) ? g ?( x) . x a ? ? 1 b ? 0 f ( x ) g ( x ) 当 , 时,函数 和 不相切. ?3 分 1 (2)若 a ? b ,则 f ?(x) ? 2ax ?a , g ?( x) ? ,设切点坐标为 ( s, t ) ,其中 s ? 0 ,由题意,得 x 1 1 , as 2 ? as ? ln s ①, 2as ? a ? ② ,由②得 a ? s s (2 s ? 1) 1 a? ?0 s ?1 1 s (2 s ? 1) 代入①得 . ( * ) 因为 ,且 s ? 0 ,所以 s ? . ? ln s 2s ? 1 2 x ?1 1 ?(4 x ? 1)( x ? 1) 设函数 F ( x) ? . ? ln x , x ? ( , ??) ,则 F ?( x) ? 2x ?1 2 x(2 x ? 1) 2 令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ?

当 x 变化时, F ?( x) 与 F ( x) 的变化情况如下表所示, 1 x 1 ( ,1) 2 F ?( x) 0 ?
F ( x)

1 (舍). 4

?8 分

(1, ??)

?




所以当 x ? 1 时, F ( x) 取到最大值 F (1) ? 0 ,且 1 当 x ? ( ,1) ? (1, ??) 时 F ( x) ? 0 . 2 因此,当且仅当 x ? 1 时 F ( x) ? 0 .所以方程(*)有且仅有一解 s ? 1 . 于是 t ? ln s ? 0 ,因此切点 P 的坐标为 (1, 0) . ?12 分 (3)当点 P 的坐标为 ( , ?1) 时,存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使得它们在点 P 处相 切; ?14 分

1 e

9

当点 P 的坐标为 (e2 , 2) 时,不存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使得它们在点 P 处相 切. ?16 分 20.(1)因为 qk ? 2 ,所以

a2 k ?1 ? 4 ,故 a1 , a3 , a5 ,? , a2 k ?1 是首项 a1 ? 1 ,公比为 4 的等比 a2 k ?1

数列,所以 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 k ?1 ?

1 ? 4n 1 n ? (4 ? 1) . 1? 4 3


(2)因为 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等差数列,所以 2 a2 k ?1 ? a2 k ? a2 k ? 2 而 a2 k ?

a2 k ?1 1 , a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk ?1 ,所以 ? qk ?1 ? 2 , qk qk

所以 bk ?1 ?

1 qk ?1 ? 1

?

qk ? bk ? 1 ,即 bk ?1 ? bk ? 1 , qk ? 1

所以 {bk } 成等差数列,其公差为 1. (3)因为 d1 ? 2 ,所以 a3 ? a2 ? 2 ,即 a2 2 ? a1a3 ? a2 ? 2 , 所以 a2 ? 2 或 a2 ? ?1 . (ⅰ)当 a2 ? 2 时, q1 ?

a2 1 ? 2 ,所以 b1 ? ? 1 ,所以 bk ? 1 ? (k ? 1) ?1 ? k , a1 qk ? 1



a k ?1 1 k ?1 2 .所以 2 k ?1 ? qk 2 ? ( ? k ,得 qk ? ) , k qk ? 1 a2 k ?1 k a k ?1 2 k 2 2 ) ?( ) ?? ? ( ) 2 ? a1 ? ( k ? 1) 2 , a2 k ? 2 k ?1 ? k (k ? 1) , k k ?1 1 qk
k (2 ? k ? 1) k (k ? 3) . ? 2 2

a2 k ?1 ? (

所以 d k ? a2 k ?1 ? a2 k ? k ? 1 , Dk ? (ii)当 a2 ? ?1 时, q1 ?

a2 1 3 1 1 ? ?1 ,所以 b1 ? ? ? , bk ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? k ? , 2 2 a1 qk ? 1 2

1 1 k ? 1 3 2 .所以 a2 k ?1 ? q 2 ? ( 2 )2 , 即 ? k ? ,得 qk ? k 3 3 a2 k ?1 qk ? 1 2 k? k? 2 2 1 3 1 k? k? 1? 2 )2 ? ( 2 ) 2 ?? ? ( 2 ) 2 ? a ? (2k ? 1) 2 , a ? a2 k ?1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) , a2 k ?1 ? ( 1 2k 3 5 3 qk k? k? 1? 2 2 2 k?
10

所以 d k ? a2 k ?1 ? a2 k ? 4k ? 2 , Dk ? 综合得 Dk ?

k (k ? 3) ,或 Dk ? 2k 2 . 2

k (2 ? 4k ? 2) ? 2k 2 . 2


1.【解析】∵矩阵 M ? ?

学Ⅱ

(附加题 )

? ? 2 ?1 ?2 1 ? 的一个特征值是 3,设 f (? ) ? ? ?1 ? ? a ?1 a ?

?2 1 ? ? (? ? 2)(? ? a) ? 1 ? 0, 则 (3 ? 2)(3 ? a) ? 1 ? 0, 解得 a ? 2, ∴ M ? ? ?. ?1 2 ?
设直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上任一点 ( x, y ) 在 M 作用下对应的点为 ( x' , y' ), 则有

2 1 ? x ? x'? y ' ? 2 1 x x ' 2 x ? y ? x ' ? ?? ? ? ? ? ? 3 3 ,代入 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,整理得 ?1 2? ? y ? ? ? y'?, 整理得 ? x ? 2 y ? y ' ,则 ? ? ?? ? ? ? ? ? y ? 2 y '? 1 x' ? 3 3 ?
4 x'?5 y'?9 ? 0 .∴所求直线方程为 4 x ? 5 y ? 9 ? 0 .
2.(1)直线的参数方程为 ? ?
?
? 3 x ? 1? t. 6 ,即 ? ? 2 ? ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2

x ? 1 ? t cos

?

? 3 x ? 1? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 , (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 , t1t2 ? ?2 , 2 2

则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 . 3. (1)依题意,数对(x,y)共有 16 种,其中使 x 为整数的有以下 8 种: y (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (2,1) , (3,1) , (4,1) , (4,2) ,所以 P(? ? 0) ? 8 ? 1 ; 16 2 (2)随机变量 ? 的所有取值为 ?1 , 0 , 1 , ? ? ?1 有以下 6 种: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) , 故 P(? ? ?1) ? 6 ? 3 ; 16 8 ? ? 1 有以下 2 种: (3,2) , (4,3) ,故 P(? ? 1) ? 2 ? 1 ; 16 8 所以 ? 的分布列为: ? 0 1 ?1 3 1 1 P 8 8 2
11

E (? ) ? ?1 ? 3 ? 0 ? 1 ? 1? 1 ? ? 1 , 8 2 8 4 1 答: ? 的数学期望为 ? . 4

4.(1)由题意知 a k ( x) ? C n ( x)

k ?1

1 2

k ?1

, k ? 1,2,3...,n ? 1.
1

0 ∵ a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次为 C n ? 1, C n ?

1 n 2 1 2 n(n ? 1) ? , Cn ? ( ) ? , 2 2 2 8

∴ 2?

n n(n ? 1) ? 1? , 解得 n ? 8. 2 8

( 2) F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x) ? ... ? nan ( x) ? (n ? 1)an?1 ( x) = C n ? 2C n ( x) ? 3C n ( x) ? .... ? nC n ( x)
0 1 2 2

1 2

1 2

n ?1

1 2

n ?1

n 1 ? (n ? 1)C n ( x) n . 2

0 1 2 n?1 n 令 x ? 2, F ( 2) ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ....? nCn ? (n ? 1)Cn .

令 x ? 0, F (0) ? 1
0 1 2 n?1 n 设 S n ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ....? nCn ? (n ? 1)Cn . n n?1 2 1 0 k n ?k 则 S n ? (n ? 1)Cn ? nCn ? ....? 3Cn ? 2Cn ? Cn . 考虑到 Cn ? Cn , 将以上两式相加得 0 1 2 n?1 n 2S n ? (n ? 2)(Cn ? Cn ? Cn ....? Cn ? Cn ). ∴ S n ? (n ? 2)2n?1.

又当 x ? [0,2] 时, F ' ( x) ? 0 恒成立,从而 F ( x ) 是 [0,2] 上的单调增函数, ∴ ?x1 , x2 ? [0,2], | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? F (2) ? F (0) ? 2
n?1

(n ? 2) ? 1.

12


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