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人教版高中数学必修四三角函数与三角恒等变换高考研究 (全国卷)_图文

2012 至 2015 年全国卷三角函数与三角恒等变换分析 一、高考研究
三角函数:分值在 20 分左右(两小一大) 。三角函数考题大致为以下几类:一是三 角函数的恒等变形,即应用同角变换和诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,求三角 函数值及化简、证明等问题;二是三角函数的图象和性质,即图像的平移、伸缩变换与 对称变换、画图与视图,与单调性、周期性和对称性、最值有关的问题;三是三角形中 的三角问题. 高考对这部分内容的命题有如下趋势:⑴降低了对三角变形的要求,加强了对三角 函数的图象和性质的考察. ⑵多是基础题, 难度属中档偏易. ⑶强调三角函数的工具性, 加强了三角函数与其他知识的综合,如与向量知识、三角形问题、解析几何、立体几何 的综合。以三角形为载体,以三角函数为核心,以正余弦公式为主体,考查三角变换及 其应用的能力,已成为考试热点。

一、分值分布情况
理科 年 份 题 号 2012 2013 2014 2015 2012 2013 文科 2014 2015

9

17

23

15

17

8

16

2

8

23

9

17

9

10

16

2

7

23

8

考 点 分 值 难 易 程 度 合 计

单 调 性
5 12 10 5 12 5 5 5 5 10 5 12 5 5 5 5 5 10 5

27 分

17 分

10 分

20 分

17 分

15 分

20 分

5分

二、试题分析 2012 至 2015 年全国卷Ⅰ(理科)
? ? (2012 年全国卷.理科)9.已知 ? ? 0 , 函数 f ( x) ? sin(? x ? ) 在 ( , ? ) 单调递减, 则? 的 4 2 取值范围是 1 5 1 3 1 (A) [ , ] (B) [ , ] (C) (0, ] (D) (0, 2] 2 2 4 2 4
【答案】: A 【考点定位】: 三角函数单调性 (2012 年 全 国 卷 . 理 科 )17. 已 知 a, b, c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 ,

a c o sC?

3 a sin C ? b ? c? 。 0

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ,求 b, c 。 【解析】:

? x ? 2cos ? , (? 为参数 ) ,以坐标 (2012 年全国卷.理科)23.已知曲线 C1 的参数方程是 C1 ? ? y ? 3sin ? ,
原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 ,正方形
ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, ) 。 3

?

(Ⅰ)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 |的取值范围。 【解析】: (2013年全国卷.理科)15、 设当x=θ时, 函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值, 则cosθ=______ 【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问 题,是难题. 【解析】∵ f ( x) = sin x ? 2 cos x = 5(

5 2 5 sin x ? cos x) 5 5

令 cos ? =

5 2 5 , sin ? ? ? ,则 f ( x) = 5(sin x cos ? ? sin ? cos x) = 5 sin( x ? ? ) , 5 5

当 x ? ? = 2 k? ?

?
2

, k ? z ,即 x = 2k? ?

?
2

? ? , k ? z 时, f ( x) 取最大值,此时

? = 2 k? ?

?
2

? ? , k ? z ,∴ cos ? = cos(2k? ?

?
2

? ? ) = sin ? = ?

2 5 . 5

(2013年全国卷.理科)17、(本小题满分12分) 如图,在△ABC中,∠ABC=90° ,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC= 90° 1 (1)若 PB=2,求 PA; (2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA 【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式,是 容易题. 【解析】 (Ⅰ)由已知得,∠PBC= 60 o ,∴∠PBA=30o,在△PBA 中,由余弦定理得
PA2 = 3 ?

1 1 7 7 ? 2 ? 3 ? cos 30o = ,∴PA= ; 4 2 4 2

( Ⅱ ) 设 ∠ PBA= ? , 由 已 知 得 , PB= sin ? , 在 △ PBA 中 , 由 正 弦 定 理 得 ,

3 sin ? ,化简得, 3 cos ? ? 4sin ? , ? o sin150 sin(30o ? ? )
∴ tan ? =
3 3 ,∴ tan ?PBA = . 4 4

? ? (2014 年全国卷.理科)8.设 ? ? (0, ) , ? ? (0, ) , 2 2
且 tan ? ?
1 ? sin ? ,则 cos ?

A . 3? ? ? ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

【答案】: B (2014 年全国卷.理科)16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且
(2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为

.

(2015 年全国卷.理科)2.sin20°cos10°-con160°sin10°= (A) ?
3 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

(D)

1 2

(2015 年全国卷.理科) 8.函数 f(x)= 则 f(x)的单调递减区间为

的部分图像如图所示,

(A)( (C)(

),k ),k

(b)( (D)(

),k ),k

(2015 年全国卷.理科)23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? 1 ,直线 l : ? 已知曲线 C : ? ( t 为 参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t
(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最 小值.
? x ? 2 cos ? . (I)曲线C的参数方程为 ? (? 为参数). 【解析】: ? y ? 3sin ? . 直线l的普通方程为2x ? y ? 6 ? 0.

……5 分

(II)曲线C上任意一点P(2cos? .3sin? )到l的距离为 d? 5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 . 5
d 2 5 4 ? 5sin(? ? ? ) ? 6 , 其中? 为锐角,且 tan ? ? . sin 30? 5 3 22 5 . 5 2 5 . 5
……10 分

则 PA ?

当sin(? +? )=-1时, PA 取得最大值,最大值为 当 sin(? ? ? ) ? 1时, PA 取得最小值,最小值为

2012 至 2015 年全国卷Ⅰ(文科)
(2012 年 全 国 卷 . 文 科 )9. 已 知 ? >0 , 0 ? ? ? ? , 直 线 x =
?= f ( x) ? s i n ?( x? ? 图像的两条相邻的对称轴,则 )
5? ? 和x= 是函数 4 4

π (A)4

π (B)3

π (C)2

3π (D) 4

【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题. ? 5? ? ? ? ? ,∴ ? =1,∴ ? ? = k? ? ( k ? Z ) 【解析】由题设知, = , 4 2 ? 4 4 ? ? ∴ ? = k? ? ( k ? Z ) ,∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? = ,故选 A. 4 4 (2012 年全国卷 . 文科 )17. 已知 a , b , c 分别为 ?ABC 三个内角 A , B , C 的对边,

c ? 3a sinC? c sin A.
(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a =2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b , c . 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题. 【解析】(Ⅰ)由 c ? 3a sin C ? c sin A 及正弦定理得

s Ai n C ? sin Csin ? 1 由于 sin C ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? , 6 2 ? 又 0 ? A ? ? ,故 A ? . 3 1 (Ⅱ) ?ABC 的面积 S = bc sin A = 3 ,故 bc =4, 2 3 sin A
而 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 故 c 2 ? b 2 =8,解得 b ? c =2 (2012 年全国卷.文科)23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 2cos ? 已知曲线 C1 的参数方程是 ? ( ? 是参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的 ? y ? 3sin ? 正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 :的极坐标方程是 ? =2, 正方形 ABCD 的顶点都在 C2 ? 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ). 3 (Ⅰ)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 的取值范围. 【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标,是容易题型. ? ? ? ? ? ? 【解析】(Ⅰ)由已知可得 A(2 cos , 2sin ) , B(2 cos( ? ), 2sin( ? )) , 3 3 3 2 3 2 ? ? ? 3? ? 3? C (2 cos( ? ? ), 2sin( ? ? )) , D(2 cos( ? ), 2sin( ? )) , 3 3 3 2 3 2 即 A(1, 3 ),B(- 3 ,1) ,C(―1,― 3 ) ,D( 3 ,-1) , 2 2 2 2 (Ⅱ)设 P(2cos ? ,3sin ? ) ,令 S = | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | , 则 S = 16cos2 ? ? 36sin 2 ? ? 16 = 32 ? 20sin 2 ? ,

sC in ?

∵ 0 ? sin 2 ? ? 1 ,∴ S 的取值范围是[32,52]. (2013 年全国卷.文科)9.函数 f ( x) ? (1 ? cos x)sin x 在 [?? , ? ] 的图像大致为( )

(2013 年 全 国 卷 . 文 科 )10. 已 知 锐 角 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c ,
23cos2 A ? cos 2 A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则 b ? (

) (D) 5

(A) 10

(B) 9

(C) 8

(2013年全国卷.文科)16.设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则
cos ? ? ______.

(2014 年全国卷.文科)2.若 tan ? ? 0 ,则 A . sin ? ? 0 【答案】:A B. cos ? ? 0 C. sin 2? ? 0 D. cos 2? ? 0

(2014 年全国卷.文科)7.在函数① y ? cos | 2 x | ,② y ?| cos x | ,③ y ? cos( 2 x ?

?
6

),

? ④ y ? tan( 2 x ? ) 中,最小正周期为 ? 的所有函数为 4 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 【答案】:C (2014 年全国卷.文科)23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) 4 9 y ? 2 ? 2 t ?

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最 小值
? x ? 2 cos ?, 【解析】:(Ⅰ)曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? 3sin ?,

直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 6 ? 0. (Ⅱ)曲线 C 上任意一点 p(2cos ? ,3sin ? ) 到 l 的距离为
d? 5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 . 5
4 d 2 5 ? 5sin(? ? a) ? 6 ,其中 a 为锐角,且 tan ? ? . 3 sin 30? 5

……5 分

则 PA ?

当 sin(? ? ? ) ? ?1 时, PA 取得最大值,最大值为
2 5 5

22 5 . 5

当 sin(? ? ? ) ? 1 时, PA 取得最小值,最小值为

……10 分

(2015 年全国卷.文科)8.函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x) 的单调递

减区间为( )
1 3 (A) (k? ? , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4 【答案】D

? ?1 ? +? ? ? ? ? ?4 2 【解析】 :由五点作图知, ? ,解得 ?=? , ? = ,所以 f ( x) ? cos(? x ? ) , 4 4 ? 5 ? +? ? 3? ? ?4 2
令 2 k? ? ? x ? ( 2k ?

?
4

? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 2k ?

1 3 < x < 2k ? , k ? Z ,故单调减区间为 4 4

3 1 , 2k ? ) , k ? Z ,故选 D. 4 4

考点:三角函数图像与性质

三、教学建议
三角函数在高考中具有一定重要地位,按照命题者意图,试题不宜太难。选择题或 者填空题主要考查三角函数的基本性质及其应用,例如三角函数的单调性、奇偶性、周 期性、对称性以及函数图象的变换等;解答题则主要考查三角函数的求值问题等。常考 题型有:求三角函数式的值、求最值问题、求字母参数、求角的大小。在高考中重点考 查的仍将是两角和与差的正弦、余弦公式以及二倍角公式的应用,解题技巧侧重于角的 变换。对三角函数的这部分知识的复习,除了加强三基训练以外,应适当加强大题的训 练,难度不宜太大,但要注意复习的效率,着重的掌握解题技巧以及方法。 复习该部分时要注意的知识点、问题或方法: 1.三角函数在各象限内的符号。 2.掌握三角函数的定义并能用它们来解决化简、证明、求值、求最值、比较大小等类型 的题目。

3.熟练掌握

的诱导公式。

4.记住一些特殊角的三角函数值, 掌握弧度制与角度制的互化。 5.三角函数化简的结果要求:函数名称尽量少,次数尽量低,项数尽量少,分母尽量不 含三角函数,尽可能求出值。 6.掌握三角函数中和角、差角、倍角、降次公式及其正用、变用、逆用。 7.掌握三角恒等式的常用的证明方法:分析法、综合法、比较法。 8.掌握三角不等式和三角方程的解法以及反三角符号的正确使用。 9.熟练掌握三角函数的有关性质及其应用,注意周期和最值的求法、单调性和奇偶性的 判定、函数图象变换的几个要点。


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