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函数的奇偶性经典例题


2.4 函数的奇偶性
【知识网络】 1.奇函数、偶函数的定义及其判断方法;2.奇函数、偶函数的图象.3.应用奇函数、偶 函数解决问题. 【典型例题】 例 1. (1)下面四个结论中,正确命题的个数是(A) ①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②函数 f ( x) 为奇函数的充要条件是 f (0) ? 0 ;③偶函数 的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R) . A.1 B.2 C .3 D.4 提示:①不对,如函数 f ( x) ?

1 是偶函数,但其图象与 y 轴没有交点;②不对,因为奇函 x2

数的定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f(x) =0〔x∈(- a , a ) 〕 ,答案为 A. (2)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,且其定义域为[ a ? 1, 2a ] ,则( ) A. a ?

1 ,b=0 3

B. a ? ?1 ,b=0

C. a ? 1 ,b=0

D. a ? 3 ,b=0

提示:由 f ( x) ? ax 2 ? bx ? 3a ? b 为偶函数,得 b=0.

1 .故答案为 A. 3 (3)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2 x ,则 f ( x) )在 R 上的 表达式是( ) y ? x ( x ? 2) A. B. y ? x(| x | ?2) C. y ?| x | ( x ? 2) D. y ? x(| x | ?2) 2 提示:由 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x , f ( x) 是定义在 R 上的奇函数得: 2 当 x<0 时, ? x ? 0 , f ( x) ? ? f (? x) ? ?( x ? 2 x) ? x(? x ? 2)
又定义域为[ a ? 1, 2a ] ,∴ (a ? 1) ? 2a ? 0 ,∴ a ?

( x ? 0) ? x( x ? 2) ∴ f ( x) ? ? ,即 f ( x) ? x(| x | ?2) ,答案为 D. ? x(? x ? 2) ( x ? 0) 5 3 (4)已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 10 ,那么 f(2)等于 ?26 5 3 2 ) 8 ? ?? 1 8 2 ) ?2 6 ? . 提示:f ( x) ? 8 ? x ? ax ? bx 为奇函数,f (?2) ? 8 ? 18 , ∴ f( , ∴ f( 1 ( 5 )已知 f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,若 f ( x) ? g ( x) ? ,则 f ( x) 的解析式为 x ?1

提 示 : 由 f ( x) 是 偶 函 数 , g ( x) 是 奇 函 数 , 可 得 f ( x) ? g ( x) ?

f ( x) ? g ( x) ?

1 1 1 1 ? )? 2 ,得: f ( x) ? ( , ∴ f ( x) ? x ?1 x ?1 2 x ?1 ?x ? 1 例 2.判断下列函数的奇偶性:
(1) f ( x) ? ( x ? 1) (3) f ( x) ? 解: (1)由

1

1 ,联立 ? x ?1 1 2 x ?1

1? x ;(2) f ( x) ? 1 ? x2 ? x2 ? 1 ; 1? x

? x2 ? x ( x ? 0) lg(1 ? x 2 ) ? f ( x ) ? 4 ; ( ) . ? 2 2 ( x ? 0) | x ? 2 | ?2 ? ?? x ? x

1? x ? 0 ,得定义域为 [?1,1) ,关于原点不对称,∴ f ( x) 为非奇非偶函数. 1? x

?1 ? x2 ? 0 ? (2) ? 2 ? x2 ? 1 ? x ? ?1 ,∴ f ( x) ? 0 ∴ f ( x) 既是奇函数又是偶函数. x ? 1 ? 0 ? ?
2 2 ?1 ? x 2 ? 0 lg( 1 ? x) ? lg( 1 ? x) (3)由 ? 2 得定义域为 (?1,0) ? (0,1) ,∴ f ( x) ? , ? ? x2 ?( x 2 ? 2) ? 2 ? ?| x ? 2 | ?2 ? 0

lg[1 ? (? x)2 ] lg(1 ? x 2 ) ? f ( x) ∴ f ( x) 为偶函数 ? ? ( ? x) 2 x2 (4)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? ?(? x)2 ? x ? ?( x2 ? x) ? ? f ( x) ,
∵ f ( ? x) ? ? 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? (? x)2 ? x ? ?(? x2 ? x) ? ? f ( x) , 综上所述,对任意的 x ? (??, ??) ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,∴ f ( x ) 为奇函数. 例 3.若奇函数 f ( x) 是定义在( ?1,1)上的增函数,试解关于 a 的不等式: f (a ? 2) ? f (a2 ? 4) ? 0 . 解:由已知得 f (a ? 2) ? ? f (a2 ? 4)
2 2 2 因 f(x)是奇函数,故 ? f (a ? 4) ? f (4 ? a ) ,于是 f (a ? 2) ? f (4 ? a ) . 又 f ( x) 是定义在( ? 1,1)上的增函数,从而

??3 ? a ? 2 ? a ? 2 ? 4 ? a2 ? ? ? 3?a?2 ? ?1 ? a ? 2 ? 1 ? ?1 ? a ? 3 ??1 ? a 2 ? 4 ? 1 ? ? ?? 5 ? a ? 3或 3 ? a ? 5
即不等式的解集是 ( 3, 2) . y, 例 4. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意实数 x 、 恒有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y ) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,又 f (1) ? ? . (1)求证: f ( x) 为奇函数; (2)求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (3)求 f ( x) 在[ ?3 ,6]上 的最大值与最小值. (1)证明:令 x ? y ? 0 ,可得 f (0) ? f (0) ? f (0 ? 0) ? f (0) ,从而,f(0) = 0. 令 y ? ?x , 可得 f ( x) ? f (? x) ? f ( x ? x) ? f (0) ? 0 , 即 f (?x) ?? f (x) , 故 f ( x) 为奇函数. (2)证明:设 x1 , x2 ∈R,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,于是 f ( x1 ? x2 ) ? 0 .从而

2 3

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f [( x1 ? x2 ) ? x2 ] ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? 0
所以, f ( x) 为减函数. (3)解:由(2)知,所求函数的最大值为 f (?3) ,最小值为 f (6) .

f (?3) ? ? f (3) ? ?[ f (2) ? f (1)] ? ?[2 f (1) ? f (1)] ? ?3 f (1) ? 2 f (6) ? ? f (?6) ? ?[ f (?3) ? f (?3)] ? ?4
于是, f ( x) 在[-3,6]上的最大值为 2,最小值为 -4. 【课内练习】 1.下列命题中,真命题是( C )

1 是奇函数,且在定义域内为减函数 x B.函数 y ? x3 ( x ? 1)0 是奇函数,且在定义域内为增函数 C.函数 y ? x2 是偶函数,且在( ? 3,0)上为减函数
A.函数 y ? D.函数 y ? ax2 ? c(ac ? 0) 是偶函数,且在(0,2)上为增函数

1 在定义域内不具有单调性;B 中,函数的定义域不关于原点对称;D 中, x 当 a ? 0 时, y ? ax2 ? c(ac ? 0) 在(0,2)上为减函数,答案为 C. 2. 若 ? ( x) , g ( x) 都是奇函数, f ( x) ? a? ( x) ? bg ( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 5, 则 f ( x) 在(-∞,0)上有( )
提示:A 中, y ? A.最小值-5 B.最大值-5 C.最小值-1 D.最大值-3 提示: ? ( x) 、 g ( x) 为奇函数,∴ f ( x) ? 2 ? a? ( x) ? bg( x) 为奇函数. 又 f ( x) 有最大值 5, ∴-2 在(0,+∞)上有最大值 3. ∴ f ( x) -2 在 (??, 0) 上有最小值-3,∴ f ( x) 在 (??, 0) 上有最小值-1.答案为 C. 3.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 在(0,+∞)上是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为(A) A. (-3,0)∪(0,3) B. (-∞,-3)∪(3,+∞) C. (-3,0)∪(3,+∞) D. (-∞,-3)∪(0,3) 提示:由奇偶性和单调性的关系结合图象来解.答案为 A. 4.已知函数 y ? f ( x) 是偶函数, y ? f ( x ? 2) 在[0,2]上是单调减函数,则(A) A. f (0) ? f (?1) ? f (2) B. f (?1) ? f (0) ? f (2) C. f (?1) ? f (2) ? f (0) D. f (2) ? f (?1) ? f (0) 提示:由 f(x-2)在[0,2]上单调递减,∴ f ( x) 在[-2,0]上单调递减. ∵ y ? f ( x) 是偶函数,∴ f ( x) 在[0,2]上单调递增. 又 f (?1) ? f (1) ,故应选 A. 5.已知 f ( x) 奇函数,当 x ∈(0,1)时, f ( x) ? lg 的表达式是 lg(1 ? x) .

1 ,那么当 x ∈(-1,0)时, f ( x) 1? x

提示:当 x ?(-1,0)时, ?x ∈(0,1) ,∴ f ( x) ? ? f (? x) ? ? lg 6.已知 f ( x) ? log 3 提示: f (0) ? log3

2?a? x 是奇函数,则 a 2007 + 2007a = 2008. a?x

1 ? lg(1 ? x) . 1? x

2?a 2?a ? 0, ? 1 ,解得: a ? 1 ,经检验适合, a 2007 ? 2007 a ? 2008 . a a 7.若 f ( x) 是偶函数,当 x ∈ [0,+∞)时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f ( x ? 1) ? 0 的 解集是 {x | 0 ? x ? 2} 提示: 偶函数的图象关于 y 轴对称, 先作出 f ( x) 的图象, 由图可知 f ( x) ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 1} ,∴ f ( x ? 1) ? 0 的解集为 {x | 0 ? x ? 2} .
8.试判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | ; (2) f ( x) ?
1? x 2 ; x ?3 ?3

(3) f ( x) ?

|x| ( x ? 1) 0 . x

解: (1)函数的定义域为 R, f (? x) ?| ? x ? 2 | ? | ? x ? 2 |?| x ? 2 | ? | x ? 2 |? f ( x) , 故 f ( x) 为偶函数.

?1 ? x 2 ? 0 (2)由 ? 得: ?1 ? x ? 1且x ? 0 ,定义域为 [?1, 0) ? (0, 1] ,关于原点对称, ?| x ? 3| ?3 ? 0

f ( x) ?

1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2 ? , f (? x) ? ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数. x ?3 ?3 x ?x

(3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞),它不关于原点对称,故函数既非奇函数, 又非偶函数. 9.已知函数 f ( x ) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12) . 解:显然 f ( x ) 的定义域是 R ,它关于原点对称.在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 中, 令 y ? ? x ,得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) , 令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) ,∴ f (0) ? 0 , ∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x ) 是奇函数. ∵ f (?3) ? a , ∴ f (12) ? 2 f (6) ? 4 f (3) ? ?4 f (?3) ? ?4a . 10.已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? 1 (a, b, c ? Z ) 是奇函数,又, f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,求 a 、 b 、 c bx ? c

的值. 解:由 f (? x) ? ? f ( x) 得 ?bx ? c ? ?(bx ? c) ∴c=0. 又 f (1) ? 2 ,得 a ? 1 ? 2b , 而 f (2) ? 3 ,得

又 a ? Z ,∴ a ? 0 或 a ? 1 . 若 a ? 0 ,则 b= ?

4a ? 1 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 2 . a ?1

1 ? Z ,应舍去; 若 a ? 1 ,则 b=1∈Z. 2 ∴ a ? 1, b ? 1, c ? 0 .


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