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2011—2012学年度上学期期末考试高二年级数学科试卷(理科)


高二年级数学科试卷(理科) 高二年级数学科试卷(理科) 年级数学科试卷
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 选择题: 是符合题目要求的. 是符合题目要求的. 1. 向量 a = (1, 2, ?2), b = ( ?2, ?4, 4) ,则 a 与 b A.相交 B.垂直 C.平行

r

r

r

r
( D.以上都不对 ( ) )

2. 在 ?ABC 中, ∠A = 30°, ∠B = 45°, BC = 2. 则 AC 边长为

A. 2
2

B. 2 2

C.

2 6 3

D.

6 3
( )

3. 过抛物线 y=x 上的点 M( A

30°

B

1 1 , )的切线的倾斜角是 2 4 45° C 60° D 90°

4.设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上的图象是一条连续不间断的曲线,且在 ( a, b ) 内可导,则下列结论中正确的是 ( ) A. f ( x ) 在 [ a, b ] 上的极值点一定是最值点 B. f ( x ) 在 [ a, b ] 上的最值点一定是极值点 C. f ( x ) 在 [ a, b ] 上可能没有极值点 D. f ( x ) 在 [ a, b ] 上可能没有最值点

5.集合 A = x | x 2 ? 2 x ? 3 < 0 , B = x | x 2 < p ,若 A ? B 则实数 P 的取值范围是( A. p ≤ ?1或p ≥ 3 B. p ≥ 3 C. p ≥ 9 D. p > 9

{

}

{

}



6.已知数列 {an } ,如果 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 ,L , an ? an ?1 ,L ( n ≥ 2 )是首项为 1 公比为 么 an 等于 A. ( )

1 的等比数列,那 3

3 1 (1 ? n ) 2 3

B.

3 1 (1 ? n?1 ) 2 3

C.

2 1 (1 ? n ) 3 3

D.

2 1 (1 ? n?1 ) 3 3

7. 已 知 椭 圆 ( )

x2 y2 x2 y2 + 2 = 1 和双曲线 ? 2 = 1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为 3m 2 5n 2m2 3n

A. x = ±

15 y 2

B. y = ±

15 x 2

C. x = ±

3 y 4

D. y = ±

3 x 4

8. 如图所示长方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中, AA1 = AB = 2 ,AD=1,
D1 C1

点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1 的中点,

A1

E

B1

G

D A

C

F

B

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则异面直线 A1 E 和 GF 所成的角为





A. arccos

5 5
3 2

B.

π
4

C. arccos

10 5

D.

π
2

9.已知函数 f ( x ) = ax + bx + x ( a, b ∈ R, ab ≠ 0 ) 的图象如图所示 ,且 x1 > x2 则有 ( x1 , x2 为两个极值点) A. a > 0, b > 0 C. a < 0, b > 0 B. a < 0, b < 0 D. a > 0, b < 0
2


y x2 O x1 x



10.已知直线 y=kx-k 及抛物线 y = 2 px ( p > 0 ) ,则 A.直线与抛物线有且只有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点





11 已知梯形的两底的长度分别为 a, b ( a < b ) 。将梯形的两腰各分为 n 等份,连结两腰对应的分点,得 到 n-1 条线段的长度之和为 A. ( ) D. n ( a + b )

n (a + b) 2

B.

( n + 1)( a + b )
2

C.

( n ? 1)( a + b )
2

12.已知椭圆

PA ⊥ PB ,则动点 P 的轨迹是

x2 + y 2 = 1 ,过动点 P 的直线 PA,PB 分别与椭圆有且只有一个交点,交点为 A、B,且 2
( )

A.圆 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线 填空题: 小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.由曲线 y = x 2 与 y = ? x 2 + 2 所围成的图形的面积是 .

?0 ≤ x ≤ 4 ? 14.已知 x,y 满足条件 ?0 ≤ y ≤ 3 则 z=2x+5y 的最大值为 ?x + 2 y ≤ 8 ?
15.函数 y =

x2 ? x + 4 ( x > 1) 的最小值是 x ?1

.

16. 给出下列三个命题 (1)设 f ( x ) 是定义在 R 上的可导函数, f 点的必要不充分条件。
/

( x ) 为函数 f ( x ) 的导函数。 f / ( x0 ) = 0 是 x0 为 f ( x ) 极值

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(2)双曲线

x2 y2 ? = 1 的焦距与 m 有关 m 2 + 12 4 ? m2
c d - >0,且bc-ad<0,则ab>0 ” a b

(3)命题“中国人不都是北京人”的否定是“中国人都是北京人” 。 (4)命题“ 若

其中正确结论的序号是 。 解答题: 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 本小题满分 12 分) ( 已知在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c, ∠A = 120°, a = 7, S ?ABC = 18. 本小题满分 12 分) ( 数列{ an }的前 n 项和记为 Sn , a 1=1, a n +1 = 2 S n + 1 ( n ∈ N + ) . (1) 求{ an }的通项公式; (2) 等差数列{ bn }的各项为正数,其前 n 项和为 Tn ,且 T3=15,又 a 1+ b 1, a 2+ b 2, a 3+ b 3 成等 比数列,求 Tn 19. 本小题满分 12 分) ( 如图,在五棱锥 P-ABCDE 中,PA=AB=AE=2 a ,PB=PE= 2 2a ,BC=DE= a ,∠EAB=∠ABC=∠DEA =90 . (1) 求证:PA⊥平面 ABCDE; (2) 求二面角 A-PD-E 的大小.
A
O

15 3 ,求 b,c 及 ∠B. 4

P

E

D 20. 本小题满分 12 分) ( B C 3 2 定义在 R 上的函数?( x )= x + a x + b x ( a , b 为常数),在 x =-1 处取得极值,?( x )的图象在 P(1, ?(1))处的切线平行直线 y =8 x ,

(1) 求函数?( x )解析式及极值; (2) 求不等式?( x )≥ k x 的解集; 21. 本小题满分 12 分) ( 已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F(0,1)的距离比它到直线 l:y = ?2 的距离小 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)若过点 P(2,2)的直线 m 与曲线 C 交于 A,B 两点,设 AP = λ PB . (i)当λ=1 时,求直线 m 的方程; (ii)当△AOB 的面积为 4 2 时(O 为坐标原点) ,求λ的值. 22. 本小题满分 14 分) (

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1 + ln( x + 1) ( x > 0) . x (1) 函数?( x )在区间(0,+ ∞ )上是增函数还是减函数?证明你的结论; 3 (2) 当 x >0 时,证明:?( x )> ; x +1
已知?( x )= (3) 求证: (1+1·2) (1+2·3)…[1+n(n+1)]> e
2 n ?3

(n ∈ N + , 其中无理数e = 2.71828L) .

2007— 学年度上学期期末考试高二 高二年级 2007—2008 学年度上学期期末考试高二年级 数学科试卷 理科答案
1C 13、 2 B 3 B 14、19 4 C 5 C 15、5 6 A 7 D 8 D 9 C 10 C 11 C 12 A

8 3

16、 (3) (1)

17、解: cos A =

b2 + c2 ? a2 2bc
∴bc = 15 ............3 分

1 15 3 Q S ?ABC = bc sin A = 2 4
cos120° =

(b + c) 2 ? 2bc ? 49 ? b + c = 8 ............6 分 2bc
c=3 ............8 分

∴ b=3 c=5 或 b=5
当 b=3 c=5 时

sin B =

sin A 3 3 3 ?b = ?3 = a 2× 7 14 3 3 ............10 分 14 ∴ B = arcsin 5 3 ............12 分 14

∴ B = arcsin 5 3 14

当 b=5

c=3 时

sin B =

18、解: (1)由 a n +1 = 2 S n + 1 (n≥1)可得 a n = 2 S n ?1 + 1 (n≥2),两式相减得 a n+1 - a n=2 a n,

∴ an+1 = 3an (n ≥ 2) .

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a

2

= 2S1+1=3, ∴ a2 = 3a1 , 故 {

a

n

} 是首 项为 1, 公比为 3 的等比 数列 , ............6 分

∴ an = 3n?1 .

(2)设 b n}的公差为 d ,由 T3=15 可得 b 1+ b 2+ b 3=15, { 可得 b 2=5,故可设 b 1=5- d ,b 3=5+ d . 2 (5+ d +9)=(5+3) ,解得 d 1=2, d 2=-10. 又 a 1=1, a 2=3, a 3=9,由题意可得(5- d +1)

Q 等差数列{ b n}的各项为正,∴ d =2,∴ Tn = 3n +

n(n ? 1) × 2 = n 2 + 2n . 2
2 O

............12 分 19、解: (1)Q PA=AB=2 a ,PB= 2 2a ,∴ PA +AB =PB ,∴ ∠PAB=90 ,即 PA⊥AB.同理 PA⊥AE.
2 2

............4 分 又Q AB∩AE=A,∴ PA⊥平面 ABCDE. O (2)解法一 如图,Q ∠DEA=90 , ∴ AE⊥ED. Q PA⊥平面 ABCDE,∴ PA⊥ED. 又Q PA∩AE=A,∴ ED⊥平面 PAE.过 A 作 AG⊥PE 于 G,∴ DE⊥AG,∴ AG⊥平面 PDE. 过 G 作 GH⊥PD 于 H,连结 AH,由三垂线定理 得 AH⊥PD. ∴ ∠AHG 为二面角 A-PD-E 的平面 角.在直角△PAE 中,AG= 2a .在直角△PAD 中, AH =

2 5 a ,∴ 在直角△AHG 中,sin∠AHG= 3

AG 3 10 = . AH 10 ∴ ∠AHG=arcsin 3 10 3 10 ,∴ 二面角 A-PD-E 的大小为 arcsin . ............12 分 10 10

,E(0,2 a ,0) ,P(0,0,2 a ) ,D 解法二 建立如图所示的空间直角坐标系,则 B(2 a ,0,0) ( a ,2 a ,0) , a , a ,0) A 作 AN⊥PD 于 N. C(2 ,过

Q PD = ( a ,2 a ,-2 a ) ,
设Q PN = λ PD ,

∴ AN = AP + PN = ( λ

a , 2 λ

a , 2 a - 2 λ

a ) .

Q AN ⊥ PD,

∴ AN ? PD = 0 . ∴ a · λ a +2 a ·2 λ a - 2 a ( 2 a - 2 λ a ) = 0. 解 得 λ =

4 . 9

4 8 10 4 8 10 ∴ AN = ( a, a, a ) , 即 NA = (? a,? a,? a ) , 同 理 , 过 E 作 EM ⊥ PD 于 M , 则 9 9 9 9 9 9 8 2 2 ME = (? a,? a,? a ) .二面角 A-PD-E 的大小为 ME , NA 所成的角< ME, NA >. Q cos< 9 9 9

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ME, NA > =

ME ? NA ME NA

=

10 . ∴ < ME, NA > = arccos 10

10 . ∴ 二 面 角 A - PD - E 的 大 小 为 10

arccos

10 . 10

............12 分

20、解: (1)由题设知 ?

? / ? f (?1) = 0, ?3 ? 2a + b = 0, ?a = 2, ?? ?? / ? f (1) = 8 ?3 + 2a + b = 8 ?b = 1. ?

∴ ?( x )= x 3+2 x 2+ x ,
则 f ' ( x) = 3x + 4 x + 1 ,
2

令 f ( x ) = 0, 解得x1 = ? , x2 = ?1 ,
/

1 3

当 x 变化时,?( x ) f `(x ) 的变化情况如下表:

x
f / ( x)
?( x )

(- ∞ , -1) + ↑

-1 0 0

(-1, ? - ↓

1 ) 3

?

1 3

(?

1 +∞) 3
+

0

4 ↑ 27 1 4 ∴ ?( x )的极大值为?(-1)=0,极小值为?( ? )= ? .............6 分 3 27

?

(2) x +2 x + x ≥ k x ? x ( x 2 + 2 x + 1 ? k ) ≥ 0 .
3 2

考虑方程 x ( x 2 + 2 x + 1 ? k ) = 0 根的情况, 若 k >0,则方程 x ( x 2 + 2 x + 1 ? k ) = 0 的根为 x1 = 0, x2 = ? k ? 1, x3 = ①当 k >1 时, ?

k ? 1,

k ? 1, x3 = k ? 1 ,

∴ 不等式的解集为 x x ≥ k ? 1或 ? k ? 1 ≤ x ≤ 0 ;
② k =1 时,不等式的解集为 x x ≥ ?2 ; ③0< k <1 时, 不等式的解集为 x x ≥ 0或 ?

{

}

{

}

{

k ?1 ≤ x ≤ k ?1 ;

}

若 k =0 时,不等式的解集为 x x ≥ 0或x = ?1 ; 若 k <0 时,不等式的解集为 x x ≥ 0

{ {

}

}

.............12 分

21、解:

(1)解法一

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设 M ( x, y ), 则由题意得 MF= y + 2 ? 1  x + ( y ? 1) = y + 2 ? 1. ,即
2 2

当 y ≥-2 时; x + ( y ? 1) = y + 1, 两边平方得x = 4 y ;
2 2 2

当 y <-2 时, x + ( y ? 1) = ? y ? 3
2 2

两边平方得 x = 8 y + 8 ,因 y <-2,不合题意,舍去.
2

故点 M 的轨迹 C 的方程是: x = 4 y .
2

............4 分

解法二 ∵点 M 到点 F(0,1)的距离比它到直线 l:y =-2 的距离小 1. ∴点 M 在直线 l 的上方. ∴点 M 到 F(0,1)的距离与它到直线 l ':y =-1 的距离相等. ∴点 M 的轨迹 C 是以 F 为焦点 l 为准线的抛物线,所以曲线 C 的方程为 x 2 = 4 y .
'

(2)当直线 m 的斜率不存在时,它与曲线 C 只有一个交点,不合题意, 当直线 m 与 x 轴不垂直时,设直线 m 的方程为 y ? 2 = k ( x ? 2),即y = kx + ( 2 ? 2k ) . 得, 代入 x 2 = 4 y 

x 2 ? 4kx + 8(k ? 1) = 0.



? = 16( x 2 ? 2k + 2) >0 对 k∈R 恒成立.
∴直线 m 与曲线 C 恒有两个不同的交点。 设交点 A,B 的坐标分别为 A( x1 , y1 )B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 + x 2 = 4k . (i)由 AP = λ PB ,且λ=1 得,P 为 AB 的中点, ∴ x1 + x 2 = 4 .把②代入得, 4k = 4, k = 1 .∴直线 m 的方程是 x ? y = 0 . ............6 分 (ii) AB =

x1 x 2 = 8(k ? 1) .

( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 =

(1 + k 2 )[( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] = 4 (1 + k 2 )(k 2 ? 2k + 2) .
点 O 到直线 m 的距离 d =

2 ? 2k 1+ k 2

.

S ?ABO =

1 AB · d = 4 k ? 1 k 2 ? 2k + 2 = 4 (k ? 1) 4 + (k ? 1) 2 2

∵ S ?ABO = 4 2

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∴ 4 ( k ? 1) + ( k ? 1) = 4 2 , 即( k ? 1) + ( k ? 1) ? 2 = 0 .
4 2 4 2

( k ? 1) 2 = 1或( k ? 1) 2 = ?2 (无实根) 由 ( k ? 1) = 1解得,k = 0或k = 2
2

1°当 k=0 时,方程①的解为 x = ±2 2 . 当 x 1 = 2 2 , x 2 = ?2 2时,λ=

2 ? x1 = 3?2 2 ; x2 ? 2
...........10 分

当 x1 = ?2 2 , x 2 = 2 2 , λ =

2 ? x1 = 3+ 2 2. x2 ? 2

2°当 k=2 时,方程①的解为 4 ± 2 2 , 同理可得, λ = 3 + 2 2或λ=3 ? 2 2 . ............12 分

22、解: (1) f / ( x ) = ?

1 ? 1 ? + ln( x + 1)? 2 ? x ? x +1 ?

Qx > 0

∴ f / ( x) < 0
............3 分

因此函数?( x )在区间(0,+ ∞ )上是减函数. (2)证明:当 x >0 时,?( x )> 令 g (

x





3 成立,即证当 x >0 时, x +1)ln( x +1)+1-2 x >0 成立. ( x +1 ( x +1 ) ln ( x +1 ) +1-2 x , 则

g / ( x) = ln( x + 1) ? 1, 当x > e ? 1时, g / ( x) > 0;当0 < x < e ? 1时,g / ( x) < 0 ,

∴当x = e ? 1时,g ( x)取得最小值,即g (e ? 1) = 3 ? e > 0 . ∴当x > 0时,(x + 1 ln( x + 1) + 1 ? 2 x > 0成立 . )
1 + ln( x + 1) 3 > ( x > 0) , x x +1 3x 2x ?1 3 3 ∴ ln( x + 1) > ?1 = = 2? > 2? , x +1 x +1 x +1 x
(3)由(2)知: 令 x = n( n + 1)( n ∈ N + ), 则 ln[1 + n(n + 1) ] > 2 ? ............8 分

3 . n(n + 1)

∴ ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+…+ln[1+n(n+1)]

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> (2 ?

? 3 3 3 ? ) + (2 ? ) + … + ?2 ? ? 1? 2 2?3 ? n(n + 1) ?



? 1 1 1 ? 2 n ? 3? + + ... + n(n + 1) ? ?1 ? 2 2 ? 3 ?
1 3 ) = 2n ? 3 + > 2n ? 3 , n +1 n +1
............14 分

= 2n ? 3(1 ?

∴ (1 + 1 ? 2)(1 + 2 ? 3)...[1 + n(n + 1)] > e 2 n ?3 .

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