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2017届高考数学大一轮总复习 21 函数y=Asin (ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 理


计时双基练二十一

函数 y=Asin (ω x+φ )的图像及三角函数模型 的简单应用
A 组 基础必做

1.把函数 y=sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再 π 把所得函数图像向左平移 个单位,得到的函数图像的解析式是( 4 A.y=cos 2x π? ? C.y=sin?2x- ? 4? ? B.y=-sin 2x π? ? D.y=sin?2x+ ? 4? ? )

解析 由 y=sin x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所得 π ? π? 图像的解析式为 y=sin 2x,再向左平移 个单位得 y=sin 2?x+ ?,即 y=cos 2x。 4? 4 ? 答案 A

?π ? 2.(2016·上饶模拟)已知函数 y=Acos? x+φ ?(A>0)在一个周期内的图像如图所示, ?2 ?
其中 P,Q 分别是这段图像的最高点和最低点,M,N 是图像与 x 轴的交点,且∠PMQ=90°, 则 A 的值为( )

A. 3 C.1

B. 2 D.2

1 解析 依题意 QM=QN= PQ,又∠PMQ=90°,可得△MNQ 是等边三角形,又由于 MN 等 2 1 2π 3 于半个周期长,MN= × =2。所以 A= ×2= 3。 2 π 2 2 答案 A 3.为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数 y= 2cos 3x 的图像( π A.向右平移 个单位 4 π C.向右平移 个单位 12 π B.向左平移 个单位 4 π D.向左平移 个单位 12 )

1

π? ? 解析 y=sin 3x+cos 3x= 2cos?3x- ? 4? ? π ? ? π ?? = 2cos?3?x- ??,因此需将函数 y= 2cos 3x 的图像向右平移 个单位。故选 C。 12 12 ? ? ?? 答案 C π 4.(2016·青岛模拟)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )其中 A>0,|φ |< 的图像如图所示, 2 为了得到 g(x)=sin 2x 的图像,则只需将 f(x)的图像( )

π A.向右平移 个长度单位 6 π B.向左平移 个长度单位 6 π C.向右平移 个长度单位 3 π D.向左平移 个长度单位 3

?π ? ?7π ,-1?,易得: 解析 由已知中函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的图像过点? ,0?和点? ? ?3 ? ? 12 ?
A=1,T=4?

?7π -π ?=π ,即 ω =2,即 f(x)=sin(2x+φ ),将点?7π ,-1?代入可得, ? ? 12 ? ? 12 3 ? ? ?

π? 7π 3π π π ? +φ = +2kπ ,k∈Z。又因为|φ |< ,所以 φ = ,所以 f(x)=sin?2x+ ?。设 3? 6 2 2 3 ? π 将函数 f(x)的图像向左平移 a 个单位得到函数 g(x)=sin 2x 的图像, 则 2(x+a)+ =2x, 3 π π 解得 a=- 。所以将函数 f(x)的图像向右平移 个单位得到函数 g(x)=sin 2x 的图像。 6 6 故应选 A。 答案 A π? π ? 5. (2016·长春模拟)函数 f(x)=sin(2x+φ )?|φ |< ?向左平移 个单位后是奇函数, 2? 6 ?

? π? 则函数 f(x)在?0, ?上的最小值为( 2? ?
A.- 3 2

) 1 B.- 2

2

C.

1 2

D.

3 2

π? π ? ? π? 解析 函数 f(x)=sin(2x+φ )?|φ |< ?向左平移 个单位后得到的函数为 f?x+ ? 2? 6? 6 ? ? π ? ? π? ? ? ? =sin?2?x+ ?+φ ?=sin?2x+ +φ ?, 6? 3 ? ? ? ? ? π 因为此时函数为奇函数,所以 +φ =kπ (k∈Z), 3 π 所以 φ =- +kπ (k∈Z)。 3 π π 因为|φ |< ,所以当 k=0 时,φ =- , 2 3 π? π π π 2π π π ? 所以 f(x)=sin?2x- ?。当 0≤x≤ 时, - ≤2x- ≤ ,即当 2x- =- 时, 3? 2 3 3 3 3 3 ? π? 3 ? ? π? 函数 f(x)=sin?2x- ?有最小值为 sin?- ?=- 。 3? 2 ? ? 3? 答案 A π 6.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )A>0,ω >0,|φ |< 的部分图像如图所示,若 x1,x2∈ 2

?-π ,π ?,且 f(x )=f(x ),则 f(x +x )=( ? 6 3? 1 2 1 2 ? ?

)

A.1 C. 2 2

B. D.

1 2 3 2

解析 观察图像可知,A=1,T=π , ∴ω =2,f(x)=sin(2x+φ )。

? π ? ? π ? 将?- ,0?代入上式得 sin?- +φ ?=0, 6 ? ? ? 3 ?
π? π π ? 由|φ |< ,得 φ = ,则 f(x)=sin?2x+ ?。 3? 2 3 ? π π - + 6 3 π 函数图像的对称轴为 x= = 。 2 12

3

? π π? 又 x1,x2∈?- , ?,且 f(x1)=f(x2), ? 6 3?


x1+x2 π
2

π = ,∴x1+x2= , 12 6

3 ? π π? ∴f(x1+x2)=sin?2× + ?= 。故选 D。 6 3 ? ? 2 答案 D π π 7.将函数 f(x)=sin(ω x+φ )ω >0,- ≤φ < 图像上每一点的横坐标缩短为原来 2 2 π ?π ? 的一半, 纵坐标不变, 再向右平移 个单位长度得到 y=sin x 的图像, 则 f? ?=________。 6 ?6? π ? π? 解析 把函数 y=sin x 的图像向左平移 个单位长度得到 y=sin?x+ ?的图像,再 6? 6 ?

? π? 把函数 y=sin?x+ ?图像上每一点的横坐标伸长为原来的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 f(x) 6? ?
π 2 ?1 π ? ?π ? ?1 π π ? =sin? x+ ?的图像。所以 f? ?=sin? × + ?=sin = 。 6? 4 2 ?2 ?6? ?2 6 6 ? 答案 2 2

π? ? 8.已知函数 f(x)=3sin?ω x- ?(ω >0)和 g(x)=3cos(2x+φ )的图像完全相同,若 6? ?

x∈?0, ?,则 f(x)的值域是________。 2

? ?

π?

?

解析

f(x)=3sin?ω x- ?=3cos? -?ω x- 6 ??=3cos?ω x- ?,易知 ω =2, 6? 3 ? ?? ? ? ?2 ?

?

π?



?

π ??

?

2π ?

π? ? 则 f(x)=3sin?2x- ?, 6? ? π π 5π ? π? ∵x∈?0, ?,∴- ≤2x- ≤ , 2 6 6 6 ? ? 1 π ∴- ≤sin2x- ≤1, 2 6 3 ∴- ≤f(x)≤3。 2

? 3 ? 答案 ?- ,3? ? 2 ?
π 9.(2015·广东梅州二模)把函数 y=sin 2x 的图像沿 x 轴向左平移 个单位,纵坐标 6 伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)后得到函数 y=f(x)的图像,对于函数 y=f(x)有以下四个 判断:
4

π? ? ?π ? ①该函数的解析式为 y=2sin?2x+ ?; ②该函数图像关于点? ,0?对称; ③该函数在 6? ? ?3 ?

?0,π ?上是增函数;④函数 y=f(x)+a 在?0,π ?上的最小值为 3,则 a=2 3。 ? ? ? ? 6? 2? ? ?
其中,正确判断的序号是________。 π? π ? π? ? 解析 将函数 y=sin 2x 的图像向左平移 个单位得到 y=sin 2?x+ ?=sin?2x+ ? 6? 3? 6 ? ? π? ? 的图像,然后纵坐标伸长到原来的 2 倍得到 y=2sin?2x+ ?的图像,所以①不正确;y= 3? ?

f? ?=2sin?2× + ?=2sin π =0,所以函数图像关于点? ,0?对称,所以②正确; 3 3 3 3

?π ? ? ?

? ?

π

π?

?

?π ?

? ?

π π π 5π π 由- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z,即函数的单 2 3 2 12 12 π ? 5π ? ? 5π π ? 调增区间为?- +kπ , +kπ ?,k∈Z,当 k=0 时,增区间为?- , ?,所以③不 12 12 ? ? ? 12 12? π? π π π 4π π ? 正确; y=f(x)+a=2sin?2x+ ?+a, 当 0≤x≤ 时, ≤2x+ ≤ , 所以当 2x+ = 3? 2 3 3 3 3 ? 4π π 4π ,即 x= 时,函数取得最小值,ymin=2sin +a=- 3+a= 3,所以 a=2 3,所 3 2 3 以④正确。所以正确的判断为②④。 答案 ②④ π? ? 10.已知函数 f(x)= 2sin?2x- ?+1。 4? ? (1)求它的振幅、最小正周期、初相;

? π π? (2)画出函数 y=f(x)在?- , ?上的图像。 ? 2 2?



π? 2π π ? (1)f(x)= 2sin?2x- ?+1 的振幅为 2, 最小正周期 T= =π , 初相为- 。 4? 2 4 ?

(2)列表并描点画出图像:

5

x
π 2x- 4



π 2



3π 8

- -

π 8 π 2

π 8 0 1

3π 8 π 2 1+ 2

π 2 3 π 4 2

5 - π 4 2

-π 1

y

1- 2

? π π? 故函数 y=f(x)在区间?- , ?上的图像是 ? 2 2?

11.已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数 f(x)=a·b,且 y=f(x)的图 像过点?

?π , ?12

? 3? ?和点? ?



? 3

,-2? ?。

?

(1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图像向左平移 φ (0<φ <π )个单位后得到函数 y=g(x)的图像,若 y=

g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间。
解 (1)由题意知 f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x。

因为 y=f(x)的图像过点?

?π , ?12

? 3? ?和点? ?



? 3

,-2? ?,

?

π π ? ? 3=msin 6 +ncos 6 , 所以? 4π 4π ? ?-2=msin 3 +ncos 3 , 1 3 ? 3= m+ n, ? 2 2 即? 3 1 ? ?-2=- 2 m-2n, 解得 m= 3,n=1。 (2)由(1)知 f(x)= 3sin 2x+cos 2x π? ? =2sin?2x+ ?。 6? ?

6

π? ? 由题意知 g(x)=f(x+φ )=2sin?2x+2φ + ?。 6? ? 设 y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2)。 由题意知,x0+1=1,所以 x0=0, 即 y=g(x)图像上到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2)。 π? ? 将其代入 y=g(x)得 sin?2φ + ?=1。 6? ? π 因为 0<φ <π ,所以 φ = 。 6 π? ? 所以 g(x)=2sin?2x+ ?=2cos 2x。 2? ? π 由 2kπ -π ≤2x≤2kπ ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ ,k∈Z, 2 π 所以函数 y=g(x)的单调递增区间为 kπ - ,kπ ,k∈Z。 2
2

B 组 培优演练 1 . (2016· 河 北 省 高 三 年 级 三 市 第 二 次 联 考 ) 已 知 函 数 f(x) = 2sin(ω x + φ ) + π? ? 1?ω >0,|φ |≤ ?,其图像与直线 y=-1 相邻两个交点的距离为 π ,若 f(x)>1 对? x∈ 2? ?

?-π ,π ?恒成立,则 φ 的取值范围是( ? 12 3 ? ? ?
A.? C.?

) B.? D.?

?π ,π ? ? ?12 2 ? ?π ,π ? ? ?12 3 ?

?π ,π ? ? ?6 3? ?π ,π ? ? ?6 2?

解析 由已知得函数 f(x)的最小正周期为 π ,则 ω =2。 2π ? π π? ? π ? 当 x∈?- , ?时,2x+φ ∈?- +φ , +φ ?, 3 ? 12 3 ? ? 6 ? π ∵f(x)>1,|φ |≤ , 2 π - +φ ≥0 ? ? 6 ∴? 2π ? ? 3 +φ ≤π 答案 B π? ? 2.(2015·湖南卷)将函数 f(x)=sin 2x 的图像向右平移 φ ?0<φ < ?个单位后得到函 2? ?
7

π π ,解得 ≤φ ≤ 。 6 3

π 数 g(x)的图像。若对满足|f(x1)-g(x2)|=2 的 x1,x2,有|x1-x2|min= ,则 φ =( 3 A. C. 5π 12 π 4 B. D. π 3 π 6

)

解析 由题意可知,g(x)=sin(2x-2φ )。 因为|f(x1)-g(x2)|=2, 可知 f(x1)和 g(x2)分别为 f(x)和 g(x)的最大值和最小值(或最 小值和最大值)。 π π 不妨令 2x1= +2kπ (k∈Z),2x2-2φ =- +2mπ (m∈Z), 2 2 则 x1-x2= π π -φ +(k-m)π ,又|x1-x2|min= ,所以当 k-m=0 时,即 k=m,又 2 3

π π π π 0<φ < ,则有 -φ = ,解得 φ = 。故选 D。 2 2 3 6 答案 D π? π ? 3.将函数 f(x)=2sin?ω x- ?(ω >0)的图像向左平移 个单位,得到函数 y=g(x) 3? 3ω ?

? π? 的图像,若 y=g(x)在?0, ?上为增函数,则 ω 的最大值为________。 4? ?
解析 g(x)=2sin?ω ?x+

? ? ? ?

π ? π? π? ?- =2sin ω x,因为 y=g(x)在? ?0, 4 ?上为增函数, 3ω ? 3 ? ? ? ?

2π 1 π 所以 × ≥ ,即 ω ≤2,所以 ω 的最大值为 2。 ω 4 4 答案 2 4. (2015·福建卷)已知函数 f(x)的图像是由函数 g(x)=cos x 的图像经如下变换得到: 先将 g(x)图像上所有的点纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右 π 平移 个单位长度。 2 (1)求函数 f(x)的解析式,并求其图像的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f(x)+g(x)=m 在[0,2π )内有两个不同的解 α ,β 。 ①求实数 m 的取值范围; 2m ②证明:cos(α -β )= -1。 5 解 (1)将 g(x)=cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到 π 2
2

y=2cos x 的图像,再将 y=2cos x 的图像向右平移 个单位长度后得到 y=2cos?x- ?的 2

? ?

π?

?

图像,故 f(x)=2sin x。
8

π 从而函数 f(x)=2sin x 图像的对称轴方程为 x=kπ + (k∈Z)。 2 (2)①f(x)+g(x)=2sin x+cos x = 5?

? 2 sin x+ 1 cos x? ? 5 ? 5 ?
1 5

? = 5sin(x+φ )?其中sin φ = ?
依题意,sin(x+φ )=

,cos φ =

2? ?。 5?

m
5

在[0,2π )内有两个不同的解 α ,β 当且仅当?

?m? ?<1,故 m ? 5?

的取值范围是(- 5, 5)。 ②证法一:因为 α ,β 是方程 5sin(x+φ )=m 在[0,2π )内的两个不同的解, 所以 sin(α +φ )=

m

,sin(β +φ )= 。 5 5

m

当 1≤m< 5时,α +β =2?

? π -φ ? , ? ?2 ? ?3π -φ ?, ? ? 2 ?
2

即 α -β =π -2(β +φ ); 当- 5<m<1 时,α +β =2?

即 α -β =3π -2(β +φ ), 所以 cos(α -β )=-cos 2(β +φ )=2sin (β +φ )-1
2 2m ? m ?2 =2? ? -1= -1。 5 ? 5?

证法二:因为 α ,β 是方程 5sin(x+φ )=m 在[0,2π )内的两个不同的解, 所以 sin(α +φ )=

m

,sin(β +φ )= 。 5 5

m

当 1≤m< 5时,α +β =2?

? π -φ ? , ? ?2 ? ?3π -φ ?, ? ? 2 ?

即 α +φ =π -(β +φ ); 当- 5<m<1 时,α +β =2?

即 α +φ =3π -(β +φ )。 所以 cos(α +β )=-cos(β +φ )。 于是 cos(α -β )=cos [(α +β )-(β +φ )] =cos(α +φ )cos(β +φ )+sin(α +φ )sin(β +φ ) =-cos (β +φ )+sin(α +φ )sin(β +φ )
2

9

2 ? ? m ?2? ? m ?2 2m =-?1-? ? ?+? ? = -1。 ? ? 5? ? ? 5? 5

10


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