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专题五圆锥曲线的综合问题


数学

川(文)

专题五 圆锥曲线的综合问题
第九章 解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共 点, 仅有一个公共点及有两个相异的公共 点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的 方程代入二次曲线的方程消元后所得一 元二次方程解的情况来判断. 设直线 l 的 方程为 Ax+By+C=0,圆锥曲线方程 f(x,y)=0. ?Ax+By+C=0 由? ,消元 ?f?x,y?=0
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“联立方程求交点,根 与系数的关系求弦长, 根的分布找范围,曲线 定义不能忘”.

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“联立方程求交点,根 与系数的关系求弦长, 根的分布找范围,曲线 定义不能忘”.

如消去 y 后得 ax +bx+c=0. ①若 a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直 线 l 与双曲线的渐近线平行或重合;当 圆锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物线 的对称轴平行或重合. ②若 a≠0,设 Δ=b2-4ac.

2

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基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“联立方程求交点,根 与系数的关系求弦长, 根的分布找范围,曲线 定义不能忘”.

a.Δ > 0 时,直线和圆锥曲线相 交于不同两点; b.Δ = 0 时,直线和圆锥曲线相 切于一点; c.Δ < 0 时,直线和圆锥曲线没 有公共点.

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要点梳理
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|

难点正本 疑点清源

2.“点差法”的常见题型
求中点弦方程、求(过 定点、平行弦)弦中点 轨迹、垂直平分线问 题.必须提醒的是 “点差法”具有不等 价性,即要考虑判别 式 Δ>0 是否 成立.

1+k2|x1-x2| 或|P P |= = 1 2 1 1+k2|y1-y2| .
(2)当斜率 k 不存在时, 可求出交点坐标, 直接运算(利用轴上两点间距离公式).

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要点梳理
3.圆锥曲线的中点弦问题 遇 到 中 点弦 问题 常 用 “ 根与 系 数 的关 x 2 y2 系”或“点差法”求解. 在椭圆 2+ 2= a b 1 中, P(x0, 0)为中点的弦所在直线的 以 y b 2x 0 x 2 y2 斜率 k=- 2 ;在双曲线 2- 2=1 中, a y0 a b 以 P(x0,0)为中点的弦所在直线的斜率 k y b2x0 = 2 ;在抛物线 y2=2px (p>0)中,以 a y0 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 k= p . y0

难点正本 疑点清源

2.“点差法”的常见题型
求中点弦方程、求(过 定点、平行弦)弦中点 轨迹、垂直平分线问 题.必须提醒的是 “点差法”具有不等 价性,即要考虑判别 式 Δ>0 是否 成立.

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基础自测

题号
1 2 3 4

答案
8

解析

4x-y-7=0
B
B

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题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知抛物线 C:y2=4x, 过点 A(-1,0)的直线交抛物线 C → → 于 P、Q 两点,设AP=λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M,求证:直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F; ?1 1? (2)若 λ∈?3,2?,求|PQ|的最 ? ? 大值.

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题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知抛物线 C:y2=4x, 过点 A(-1,0)的直线交抛物线 C → → 于 P、Q 两点,设AP=λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M,求证:直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F; ?1 1? (2)若 λ∈?3,2?,求|PQ|的最 ? ? 大值.

(1)可利用向量共线证明直线 MQ 过 F;(2)建立|PQ|和 λ 的 关系,然后求最值.

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题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知抛物线 C:y2=4x, 过点 A(-1,0)的直线交抛物线 C → → 于 P、Q 两点,设AP=λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M,求证:直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F; ?1 1? (2)若 λ∈?3,2?,求|PQ|的最 ? ? 大值.

(1)证明

设 P(x1,y1),Q(x2,

y2),M(x1,-y1). → → ∵AP =λAQ ,∴x1 +1=λ(x2 +
1),y1=λy2, 2 2 ∴y1=λ2y2,y1=4x1,y2=4x2, 2 2 x1=λ2x2,

∴λ2x2+1=λ(x2+1), λx2(λ-1)=λ-1, 1 ∵λ≠1,∴x2 = λ ,x1 =λ,又

F(1,0),
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题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知抛物线 C:y2=4x, 过点 A(-1,0)的直线交抛物线 C → → 于 P、Q 两点,设AP=λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M,求证:直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F; ?1 1? (2)若 λ∈?3,2?,求|PQ|的最 ? ? 大值.

→ ∴MF=(1-x1, 1)=(1-λ, 2) y λy ?1 ? → =λ? λ-1,y2?=λFQ, ? ? ∴直线 MQ 经过抛物线 C 的焦
点 F. 1 (2)解 由(1)知 x2= λ ,x1=λ,

得 x1x2=1,1·2=16x1x2=16, y2 y2
∵y1y2>0,∴y1y2=4, 则|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
2 2 =x1+x2+y2+y2-2(x1x2+y1y2) 2 1

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题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
思维启迪 解析 探究提高
? ? 1?2 1? =?λ+λ ? +4?λ+λ ?-12 ? ? ? ?
? ? 1 =?λ+λ+2?2-16, ? ?

【例 1】 已知抛物线 C:y2=4x, 过点 A(-1,0)的直线交抛物线 C → → 于 P、Q 两点,设AP=λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M,求证:直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F; ?1 1? (2)若 λ∈?3,2?,求|PQ|的最 ? ? 大值.

?1 1? 1 ?5 10? λ∈?3,2?,λ+ λ ∈?2, 3 ?, ? ? ? ?

1 10 1 当 λ+ λ = 3 ,即 λ=3时,|PQ|2 有最大值 4 7 . 3 112 ,|PQ|的最大值为 9

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题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知抛物线 C:y2=4x, 过点 A(-1,0)的直线交抛物线 C → → 于 P、Q 两点,设AP=λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M,求证:直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F; ?1 1? (2)若 λ∈?3,2?,求|PQ|的最 ? ? 大值.

圆锥曲线中的最值问题解决方 法一般分两种: 一是几何法, 特 别是用圆锥曲线的定义和平面 几何的有关结论来求最值; 二是 代数法, 常将圆锥曲线的最值问 题转化为二次函数或三角函数 的最值问题, 然后利用基本不等 式、 函数的单调性或三角函数的 有界性等求最值.

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变式训练 1

(2012· 四川)如图,动点 M 与两定点

A(-1,0)、B(1,0)构成△MAB,且直线 MA、MB 的斜 率之积为 4.设动点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程.(2)设直线 y=x+m(m>0)与 y 轴相交于点 P, |PR| 与轨迹 C 相交于点 Q,R,且|PQ|<|PR|.求 的取值范围. |PQ|
解 (1)设 M 的坐标为(x,y),当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在;

当 x=1 时,直线 MB 的斜率不存在.于是 x≠1 且 x≠-1. y y 此时, 的斜率为 MA , 的斜率为 MB . x+1 x-1 y y 由题意,有 · =4.化简可得,4x2-y2-4=0. x+1 x-1

故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2-y2-4=0(x≠1 且 x≠-1).
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?y=x+m, ? (2)由? 2 2 ?4x -y -4=0 ?

消去 y,可得 3x2-2mx-m2-4=0.(*) 对于方程(*), 其判别式 Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0, 而当 1 或-1 为方程(*)的根时,m 的值为-1 或 1. 结合题设(m>0)可知,m>0 且 m≠1.

设 Q、R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR), 则 xQ,xR 为方程(*)的两根. m-2 m2+3 因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|,xQ= , 3 m+2 m2+3 xR= . 3 3 2 1+m2+1 |PR| ?xR ? 2 所以 =?x ?= =1+ . |PQ| ? Q? 3 3 2 1+m2-1 2 1+m2-1
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3 3 1+ 2>1,且 1+ 2≠2, m m 2 所以 1<1+ <3,且 1+ 3 2 1+m2-1 2

此时

5 ≠3, 3 1+m2-1

2

|PR| ?xR ? |PR| ? xR ? 5 所以 1< =? ?<3,且 =? ?≠ . |PQ| ?xQ? |PQ| ?xQ? 3
? ? 5? ?5 |PR| 综上所述,|PQ|的取值范围是?1,3?∪?3,3?. ? ? ? ?

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题型二
【例 2】

圆锥曲线中的定点、定值问题
? 3? 已知椭圆 C 经过点 A?1,2?, ? ?

思维启迪

解析

探究提高

两个焦点为(-1,0)、(1,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数,证明直线 EF 的斜率 为定值,并求出这个定值.

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题型二
【例 2】

圆锥曲线中的定点、定值问题
? 3? 已知椭圆 C 经过点 A?1,2?, ? ?

思维启迪

解析

探究提高

两个焦点为(-1,0)、(1,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数,证明直线 EF 的斜率 为定值,并求出这个定值.

可设直线 AE 的斜率来计算直线 EF 的斜率, 通过推理计算消参.

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题型二
【例 2】

圆锥曲线中的定点、定值问题
? 3? 已知椭圆 C 经过点 A?1,2?, ? ?

思维启迪

解析

探究提高

两个焦点为(-1,0)、(1,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数,证明直线 EF 的斜率 为定值,并求出这个定值.

由题意,c=1,可设椭圆 x2 y2 方程为 + 2=1. 1+b2 b 1 9 因为 A 在椭圆上, 所以 + 2 1+b2 4b 3 2 2 =1,解得 b =3,b =- (舍去), 4 2 2 x y 所以椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)证明 设直线 AE 的方程为 y= 3 k(x-1)+ , 2 (1)解
x2 y2 代入 + =1. 4 3

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题型二
【例 2】

圆锥曲线中的定点、定值问题
? 3? 已知椭圆 C 经过点 A?1,2?, ? ?

思维启迪

解析

探究提高

两个焦点为(-1,0)、(1,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数,证明直线 EF 的斜率 为定值,并求出这个定值.

得 (3 + 4k2)x2 + 4k(3 - 2k)x + ?3 ? 4?2-k?2-12=0. ? ? 设 E(xE,yE),F(xF,yF). ? 3? 因为点 A?1,2?在椭圆上, ? ? ?3 ? 4?2-k?2-12 ? ? 所以 xE= , 3+4k2 3 yE=kxE+2-k.又直线 AF 的斜率

与 AE 的斜率互为相反数,在上 式中以-k 代替 k,
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题型二
【例 2】

圆锥曲线中的定点、定值问题
? 3? 已知椭圆 C 经过点 A?1,2?, ? ?

思维启迪

解析

探究提高

两个焦点为(-1,0)、(1,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数,证明直线 EF 的斜率 为定值,并求出这个定值.

, 3+4k2 3 yF=-kxF+ +k, 2 所以直线 EF 的斜率 yF-yE -k?xE+xF?+2k kEF = = = xF-xE xF-xE 1 2, 即直线 EF 的斜率为定值,其值 1 为2.
思想方法 练出高分

可得 xF=

?3 ? 4?2+k?2-12 ? ?

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题型二
【例 2】

圆锥曲线中的定点、定值问题
? 3? 已知椭圆 C 经过点 A?1,2?, ? ?

思维启迪

解析

探究提高

两个焦点为(-1,0)、(1,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数,证明直线 EF 的斜率 为定值,并求出这个定值.

求定值问题常见的方法有两种: (1)从特殊入手,求出定值,再 证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算 推理的过程中消去变量,从而得 到定值.

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,该椭圆经过 ? 3? 1 ?1, ?且离心率为 . 点P 2? 2 ?

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l: y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A, B 两点(A,B 不是左,右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右 顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

x2 y2 (1)解 设椭圆方程为a2+b2=1 (a>b>0), c 1 由 e=a=2,得 a=2c,
∵a2=b2+c2,∴b2=3c2, x2 y2 则椭圆方程变为4c2+3c2=1. ? 3? 又椭圆过点 P?1,2?,将其代入求得 c2=1, ? ?
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x2 y2 故 a2=4,b2=3,即得椭圆的标准方程为 + =1. 4 3 ?y=kx+m, ? 2 2 (2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立?x y ? 4 + 3 =1, 2 2 2 ? 得(3+4k )x +8mkx+4(m -3)=0.

?Δ=64m2k2-16?3+4k2??m2-3?>0, ? ?x1+x2=- 8mk 2, 3+4k 则? ? 4?m2-3? ?x1·2= x . 3+4k2 ?



3?m2-4k2? 又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= 2 . 3+4k ∵椭圆的右顶点为 A2(2,0),AA2⊥BA2,
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题型分类·深度剖析
∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,

∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, 3?m2-4k2? 4?m2-3? 16mk ∴ + + +4=0, 3+4k2 3+4k2 3+4k2

2k ∴7m2+16mk+4k2=0,解得 m1=-2k,m2=- , 7 由①,得 3+4k2-m2>0,
当 m1=-2k 时,l 的方程为 y=k(x-2),直线过定点(2,0),与 已知矛盾. ? ?2 ? 2? 2k 当 m2=- 7 时,l 的方程为 y=k?x-7?,直线过定点?7,0?, ? ? ? ?

∴直线 l

?2 ? 过定点,定点坐标为?7,0?. ? ?

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练出高分

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题型三
【例 3】

圆锥曲线中的探索性问题
已知中心在坐标原点 O
思维启迪 解析

探究提高

的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l, 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 4? 若存在,求出直线 l 的方程;若 不存在,说明理由.

基础知识

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练出高分

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题型三
【例 3】

圆锥曲线中的探索性问题
已知中心在坐标原点 O
思维启迪 解析

探究提高

的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l, 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 4? 若存在,求出直线 l 的方程;若 不存在,说明理由.

可先假设 l 存在,然后根据与 C 有 公共点和与 OA 距离等于 4 两个条 件探求.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆锥曲线中的探索性问题
已知中心在坐标原点 O

思维启迪 解析

探究提高

的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程;

方法一 (1)依题意, 可设椭圆 x2 y2 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 且可 a b

知其左焦点为 F′(-2,0). (2)是否存在平行于 OA 的直线 l, 从而有 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点, ?c=2, ? ? 且直线 OA 与 l 的距离等于 4? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ?

若存在,求出直线 l 的方程;若 不存在,说明理由.

?c=2, ? 解得? ?a=4. ?

又 a2=b2+c2,所以 b2=12, x2 y2 故椭圆 C 的方程为16+12=1.
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题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆锥曲线中的探索性问题
已知中心在坐标原点 O
思维启迪 解析

探究提高

(2)假设存在符合题意的直线 l,设 3 F(2,0)为其右焦点. 其方程为 y= x+t. 2 (1)求椭圆 C 的方程; ? 3 ?y=2x+t, (2)是否存在平行于 OA 的直线 l, 由? 2 得 3x2+3tx+t2 x y2 ? + =1, 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点, ?16 12 且直线 OA 与 l 的距离等于 4? -12=0. 若存在,求出直线 l 的方程;若 因为直线 l 与椭圆 C 有公共点, 不存在,说明理由. 所 以 Δ = (3t)2 - 4×3×(t2 -
12)≥0,
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的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆锥曲线中的探索性问题
已知中心在坐标原点 O
思维启迪 解析

探究提高

的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l, 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 4? 若存在,求出直线 l 的方程;若 不存在,说明理由.

解得-4 3≤t≤4 3.
另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 |t| d=4,得 =4,解得 t = 9 +1 4 ± 13. 2

由于± 13?[-4 3,4 3],所以 2 符合题意的直线 l 不存在.

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题型三
【例 3】

圆锥曲线中的探索性问题
已知中心在坐标原点 O
思维启迪 解析

探究提高

的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程;

方法二

(1)依题意,可设椭圆 C x2 y2 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

?4 9 ? 2+ 2=1, (2)是否存在平行于 OA 的直线 l, 且有?a b ?a2-b2=4. 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点, ? 且直线 OA 与 l 的距离等于 4? 解得 b2=12,b2=-3(舍去).
若存在,求出直线 l 的方程;若 不存在,说明理由.
x2 y2 所以椭圆 C 的方程为16+12=1. 从而 a2=16.

(2)同方法一.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆锥曲线中的探索性问题
已知中心在坐标原点 O
思维启迪 解析

探究提高

的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l, 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 4? 若存在,求出直线 l 的方程;若 不存在,说明理由.

解决直线与圆锥曲线位置关系的 存在性问题,往往是先假设所求的 元素存在,然后再推理论证,检验 说明假设是否正确.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
变式训练 3(2012· 江西)已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 C 上 → → → → → 任意一点 M(x,y)满足|MA+MB|=OM· +OB)+2. (OA (1)求曲线 C 的方程; (2)动点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l.问:是否存在定点 P(0,t)(t<0),使得 l 与 PA,PB 都相交,交点分 别为 D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若存在,求 t 的 值;若不存在,说明理由. → → 解 (1)由MA=(-2-x,1-y),MB=(2-x,1-y), → → |MA+MB|= ?-2x?2+?2-2y?2, → → → OM· +OB)=(x,y)· (OA (0,2)=2y,
由已知得 ?-2x?2+?2-2y?2=2y+2,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
化简得曲线 C 的方程:x2=4y. (2)假设存在点 P(0,t)(t<0)满足条件, t-1 则直线 PA 的方程是 y= 2 x+t, 1-t PB 的方程是 y= 2 x+t. x0 x2 0 曲线 C 在 Q 处的切线 l 的方程是 y= 2 x- 4 , 它与 y 轴的交点为 2 ? x0? F?0,- 4 ?. ? ? x0 由于-2<x0<2,因此-1< 2 <1. t-1 1 x0 t-1 ①当-1<t<0 时, -1< <- , 存在 x0∈(-2,2), 使得 = , 2 2 2 2
即 l 与直线 PA 平行,故当-1<t<0 时不符合题意. t-1 x0 1-t x0 ②当 t≤-1 时, 2 ≤-1< 2 , 2 ≥1> 2 ,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
所以 l 与直线 PA,PB 一定相交.
t-1 ? y= 2 x+t, ? 分别联立方程组? x0 x2 ?y= x- 0, 2 4 ?

1-t ? y= 2 x+t, ? ? x0 x2 ?y= x- 0, 2 4 ?

x2+4t 0 解得 D,E 的横坐标分别是 xD= , 2?x0+1-t? x2+4t 0 xE= , 2?x0+t-1? x2+4t 0 则 xE-xD=(1-t) 2 . x0-?t-1?2 x2 0 又|FP|=- 4 -t, 1-t ?x2+4t?2 1 0 有 S△PDE=2· |xE-xD|= 8 · |FP|· 2, ?t-1?2-x0
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
x2? 4-x0 1 ? 0 又 S△QAB= · ?1- 4 ?= 4· , 2 ? 2 ? 2 2 2 S△QAB 4 ?x0-4?[x0-?t-1? ] 于是 = · S△PDE 1-t ?x2+4t?2 0 4 2 2 2 4 x0-[4+?t-1? ]x0+4?t-1? = · . 1-t x4+8tx2+16t2 0 0 S△QAB 对任意 x0∈(-2,2),要使 为常数, S△PDE ?-4-?t-1?2=8t, ? 即只需 t 满足? ?4?t-1?2=16t2. ? S△QAB 解得 t=-1.此时 =2, S△PDE
2

故存在 t=-1,使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.圆锥曲线中的函数思想
x2 y2 典例:(12 分)已知椭圆 + =1 上的两个动点 P,Q,设 P(x1,y1),Q(x2, 4 2 y2)且 x1+x2=2.(1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B, 求|PB|的最小值及相应的 P 点坐标.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.圆锥曲线中的函数思想
x2 y2 典例:(12 分)已知椭圆 + =1 上的两个动点 P,Q,设 P(x1,y1),Q(x2, 4 2 y2)且 x1+x2=2.(1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B, 求|PB|的最小值及相应的 P 点坐标.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)引入参数 PQ 中点的纵坐标,先求 kPQ,利用直线 PQ 的方程求解. (2)建立|PB|关于动点坐标的目标函数,利用函数的性质求最值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.圆锥曲线中的函数思想
x2 y2 典例:(12 分)已知椭圆 + =1 上的两个动点 P,Q,设 P(x1,y1),Q(x2, 4 2 y2)且 x1+x2=2.(1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B, 求|PB|的最小值及相应的 P 点坐标.

审 题 视 角
(1)证明

规 范 解 答

温 馨 提 醒

∵P(x1,y1),Q(x2,y2),且 x1+x2=2. ?x2+2y2=4 ? 1 y1-y2 1 x1+x2 1 ? 2 当 x1≠x2 时,由 ,得 =- · . 2 y1+y2 ?x2+2y2=4 x1-x2 ? 2 y1-y2 1 设线段 PQ 的中点 N(1,n),∴kPQ= =-2n, x1-x2 ∴线段 PQ 的垂直平分线方程为 y-n=2n(x-1), ∴(2x-1)n-y=0, 1 该直线恒过一个定点 A( ,0). 2
基础知识 题型分类 思想方法

4分

6分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.圆锥曲线中的函数思想
x2 y2 典例:(12 分)已知椭圆 + =1 上的两个动点 P,Q,设 P(x1,y1),Q(x2, 4 2 y2)且 x1+x2=2.(1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B, 求|PB|的最小值及相应的 P 点坐标.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

1 当 x1=x2 时,线段 PQ 的中垂线也过定点 A( ,0). 2 1 综上,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A( ,0). 2 (2)解 由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称, 1 故点 B(-2,0). ∵-2≤x1≤2,-2≤x2≤2,∴x1=2-x2∈[0,2], 1 1 7 9 2 |PB|2=(x1+2)2+y1=2(x1+1)2+4≥4, 3 ∴当点 P 的坐标为(0,± 2)时,|PB|min=2.
基础知识 题型分类 思想方法

7分 8分 10分 12分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.圆锥曲线中的函数思想
x2 y2 典例:(12 分)已知椭圆 + =1 上的两个动点 P,Q,设 P(x1,y1),Q(x2, 4 2 y2)且 x1+x2=2.(1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B, 求|PB|的最小值及相应的 P 点坐标.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)本题是圆锥曲线中的综合问题,涉及到了定点问题以及最值问题.求圆 锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题,通常是先建立一个目标函 数,然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或基本不等式等 求最值,本题是建立二次函数、利用二次函数的图象求最值. (2)本题的第一个易错点是,表达不出线段 PQ 的中垂线方程,原因是想不 到引入参数表示 PQ 的中点.第二个易错点是,易忽视 P 点坐标的取值范 围.实质上是忽视了椭圆的范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1. 解决直线与椭圆的位置关系问题, 如果直线与椭圆有两个不同 x2 y2 交点,可将直线方程 y=kx+c 代入椭圆方程 2+ 2=1 整理出 a b

方 法 与 技 巧

关于 x(或 y)的一元二次方程 Ax2+Bx+C=0,Δ=B2-4AC >0, Δ 可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为 1+k2 |A| ).
2.圆锥曲线综合问题要四重视: (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系在解题中的作用; (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.在解决直线与抛物线的位置关系时,要特别注意直 线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.

2.中点弦问题,可以利用“点差法”,但不要忘记验 证 Δ>0 或说明中点在曲线内部.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点,则 k 的值为 A.1 B.1 或 3 C.0 D.1 或 0 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点,则 k 的值为 A.1 B.1 或 3 C.0 D.1 或 0 ( D )

解 析
?y=kx+2, ? 由? 2 ?y =8x ?

得 ky2-8y+16=0,若 k=0,则 y=2,若

k≠0,若 Δ=0,即 64-64k=0,解得 k=1,因此直线 y= kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点,则 k=0 或 k =1.

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2 y2 2. 为过椭圆 2+ 2=1 中心的弦, AB F(c,0)为它的焦点, 则△FAB a b 的最大面积为 A.b2 B.ab C.ac D.bc ( )

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2 y2 2. 为过椭圆 2+ 2=1 中心的弦, AB F(c,0)为它的焦点, 则△FAB a b 的最大面积为 A.b2 B.ab C.ac D.bc ( D )

解 析
设 A、B 两点的坐标为(x1,y1)、(-x1,-y1),
1 则 S△FAB= |OF||2y1|=c|y1|≤bc. 2

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线 l 与抛物 |AF| 线在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则 的值等于( ) |BF| A.5 B.4 C.3 D.2

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线 l 与抛物 |AF| 线在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则 的值等于( C ) |BF| A.5 B.4 C.3 D.2

解 析
记抛物线 y2 =2px 的准线为 l,作 AA1⊥l,BB1⊥l, |AC| BC⊥AA1,垂足分别是 A1、B1、C,则有 cos 60° = = |AB| |AA1|-|BB1| |AF|-|BF| 1 |AF| = = ,由此得 =3,选 C. |BF| |AF|+|BF| |AF|+|BF| 2

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思想方法

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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
9

7 6 8 5 4.(2011· 山东)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛

物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的 准线相交,则 y0 的取值范围是 A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) ( ) D.[2,+∞)

解 析

基础知识

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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
9

7 6 8 5 4.(2011· 山东)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛

物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的 准线相交,则 y0 的取值范围是 A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) ( C ) D.[2,+∞)

解 析
∵x2=8y,∴焦点 F 的坐标为(0,2),准线方程为 y=-2. 由抛物线的定义知|MF|=y0+2. 由于以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心 F 到准线的距离为 4,故 4<y0+2,∴y0>2.

基础知识

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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.设抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过点 P(1,4)的直线 l 与抛物线相 → 交于 A、 两点, B 且点 P 恰为 AB 的中点, → |+|BF|=________. 则|AF

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.设抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过点 P(1,4)的直线 l 与抛物线相 → 10 交于 A、 两点, B 且点 P 恰为 AB 的中点, → |+|BF|=________. 则|AF

解 析
2 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 x1+x2=2,且 x1=4y1,x2 y1-y2 x1+x2 1 =4y2,两式相减整理得, = = ,所以直线 AB 4 2 x1-x2

的方程为 x-2y+7=0.将 x=2y-7 代入 x2=4y 整理得 4y2- → → 32y+49=0,所以 y1+y2=8,又由抛物线定义得|AF|+|BF| =y1+y2+2=10.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2 2 6.已知椭圆 +y =1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的 4 直线与椭圆相交,一个交点为 P,则|PF2|=______.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2 2 6.已知椭圆 +y =1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的 4 7 直线与椭圆相交,一个交点为 P,则|PF2|=______. 2

解 析
1 将 x=- 3代入椭圆方程得 yp= , 由|PF1|+|PF2| 2 =4
1 7 ?|PF2|=4-|PF1|=4-2=2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于不同两点 A、B,且 AB 的 中点横坐标为 2,则 k 的值是________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于不同两点 A、B,且 AB 的 2 中点横坐标为 2,则 k 的值是________.

解 析


?y=kx-2, ? A(x1,y1)、B(x2,y2),由? 2 ?y =8x, ?

消去 y 得 k2x2-4(k+2)x+4=0, ?Δ=[-4?k+2?]2-4×k2×4>0, ? 由题意得? 4?k+2? ?x1+x2= k2 =2×2, ? ?k>-1, ? ∴? 即 k=2. ?k=-1或k=2, ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2 y2 8.(10 分)椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P、Q 两 a b 点,且 OP⊥OQ(O 为原点). 1 1 (1)求证: 2+ 2等于定值; a b ? 3 2? ? (2)若椭圆的离心率 e∈? , ?,求椭圆长轴长的取值范围. 2? ? 3 ?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2 y2 8.(10 分)椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P、Q 两 a b 点,且 OP⊥OQ(O 为原点). 1 1 (1)求证: 2+ 2等于定值; a b ? 3 2? ? (2)若椭圆的离心率 e∈? , ?,求椭圆长轴长的取值范围. 2? ? 3 ?

解 析

(1)证明

消去 y,得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,
∵直线与椭圆有两个交点,∴Δ>0, 即 4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)>0 ?a2b2(a2+b2-1)>0, ∵a>b>0,∴a2+b2>1.
基础知识 题型分类

?b2x2+a2y2=a2b2, ? 由? ?x+y-1=0 ?



思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2 y2 8.(10 分)椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P、Q 两 a b 点,且 OP⊥OQ(O 为原点). 1 1 (1)求证: 2+ 2等于定值; a b ? 3 2? ? (2)若椭圆的离心率 e∈? , ?,求椭圆长轴长的取值范围. 2? ? 3 ?

解 析
a2?1-b2? 2a2 ∴x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . a +b2 a +b2

设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则 x1、x2 是方程①的两实根.


由 OP⊥OQ 得 x1x2+y1y2=0,又 y1=1-x1,y2=1-x2, 得 2x1x2-(x1+x2)+1=0. ③
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2 y2 8.(10 分)椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P、Q 两 a b 点,且 OP⊥OQ(O 为原点). 1 1 (1)求证: 2+ 2等于定值; a b ? 3 2? ? (2)若椭圆的离心率 e∈? , ?,求椭圆长轴长的取值范围. 2? ? 3 ?

解 析
式②代入式③化简得 a2+b2=2a2b2.
1 1 ∴a2+b2=2.



(2)解

利用(1)的结论,将 a 表示为 e 的函数

c 由 e=a?b2=a2-a2e2,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2 y2 8.(10 分)椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P、Q 两 a b 点,且 OP⊥OQ(O 为原点). 1 1 (1)求证: 2+ 2等于定值; a b ? 3 2? ? (2)若椭圆的离心率 e∈? , ?,求椭圆长轴长的取值范围. 2? ? 3 ?

代入式④,得 2-e2-2a2(1-e2)=0. 2-e2 1 1 ∴a2= =2+ 2 2 . 2?1-e ? 2?1-e ? 3 2 5 2 3 ∵ 3 ≤e≤ 2 ,∴4≤a ≤2. 5 6 ∵a>0,∴ 2 ≤a≤ 2 .∴长轴长的取值范围为[ 5, 6].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

y2 9.(12 分)给出双曲线 x2- =1. 2 (1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程; (2)若过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于 P1,P2 两点,求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹方程; (3)过点 B(1,1)能否作直线 m,使得 m 与双曲线交于两点 Q1,Q2, 且 B 是 Q1Q2 的中点?这样的直线 m 若存在,求出它的方程;若 不存在,说明理由.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

解 析
解 (1)设弦的两端点为

?2x2-y2=2, ? 1 1 ? 2 P1(x1, 1), 2(x2, 2), y P y 则 ?2x2-y2=2, ? 2

两式相减得到 2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2), 又 x1+x2=4,y1+y2=2, y1-y2 所以直线斜率 k= =4. x1-x2 故求得直线方程为 4x-y-7=0.
(2)设 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2), y1-y2 2x 按照(1)的解法可得 = , x1-x2 y y1-y2 y-1 由于 P1,P2,P,A 四点共线,得 = , x1-x2 x-2
基础知识 题型分类 思想方法

① ②
练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

解 析
2x y-1 由①②可得 y = ,整理得 2x2-y2-4x+y=0,检验当 x1 x-2 =x2 时,x=2,y=0 也满足方程,故 P1P2 的中点 P 的轨迹方程 是 2x2-y2-4x+y=0. (3)假设满足题设条件的直线 m 存在, 按照(1)的解法可得直线 m 的方程为 y=2x-1. ?y=2x-1, ? 考虑到方程组? 2 y2 无解,因此满足题设条件的直线 m ?x - 2 =1 ?

是不存在的.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 x2 y2 A. - =1 3 6 ( x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 C. - =1 6 3 x2 y2 D. - =1 5 4 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 x2 y2 A. - =1 3 6 ( x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 C. - =1 6 3 x2 y2 D. - =1 5 4 )

0+15 ∵kAB= =1, 3+12 ∴直线 AB 的方程为 y=x-3. 由于双曲线的焦点为 F(3,0),∴c=3,c2=9.

解 析

x2 y2 设双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0), 2 x2 ?x-3? 则 2- =1.整理,得 a b2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 x2 y2 A. - =1 3 6 ( B ) x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 C. - =1 6 3 x2 y2 D. - =1 5 4

解 析

(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.

6a2 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 2 =2×(-12),∴a a -b =-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又 a2+b2=9,∴a2=4,b2=5,∴双 x2 y2 曲线 E 的方程为 - =1. 4 5
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1 2

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4 5 6 7

2. 已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,则|AB|等于 A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 ( )

解 析

基础知识

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2. 已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,则|AB|等于 A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 ( C )

解 析
?y=-x2+3 ? 由? ?y=x+b ?

设直线 AB 的方程为 y=x+b.

?x2+x+b-3=0?x1+x2=-1,

? 1 1 ? 得 AB 的中点 M?-2,-2+b?. ? ? ? 1 ? 1 又 M?-2,-2+b?在直线 x+y=0 ? ?

上,可求出 b=1,

∴x2+x-2=0, 则|AB|= 1+12· ?-1?2-4×?-2?=3 2.
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7

1 2 3 4 6 5 3.如图,已知过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 的直线 x

-my+m=0 与抛物线交于 A、B 两点,且△OAB(O 为 坐标原点)的面积为 2 2,则 m6+m4 的值是( A.1 B. 2 C.2 D.4 )

解 析

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7

5 1 2 3 4 6 3.如图,已知过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 的直线 x

-my+m=0 与抛物线交于 A、B 两点,且△OAB(O 为 坐标原点)的面积为 2 2,则 m6+m4 的值是( C ) A.1 B. 2 C.2 D.4

解 析

p 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知, =-m,将 2

x=my-m 代入抛物线方程 y2=2px(p>0)中,整理得 y2-2pmy+2pm =0,由根与系数的关系,得 y1+y2=2pm,y1y2=2pm,∴(y1-y2)2 =(y1+y2)2-4y1y2=(2pm)2-8pm=16m4+16m2,又△OAB 的面积 S 1 p 1 = × |y1-y2|= (-m)×4 m4+m2=2 2,两边平方即可得 m6+m4 2 2 2 =2.
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x2 y2 4. 直线 y=kx+1 与椭圆 +m=1 恒有公共点, m 的取值范围 则 5 是______________.

解 析

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x2 y2 4. 直线 y=kx+1 与椭圆 +m=1 恒有公共点, m 的取值范围 则 5 m≥1 且 m≠5 是______________.

解 析
x2 y2 ∵方程 +m=1 表示椭圆,∴m>0 且 m≠5. 5 ∵直线 y=kx+1 恒过(0,1)点,
02 12 ∴要使直线与椭圆总有公共点,应有: + ≤1,m≥1, 5 m ∴m 的取值范围是 m≥1 且 m≠5.

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x2 y2 5.已知双曲线 2- 2=1 (a>1,b>0)的焦距为 2c,离心率为 e,若 a b x y 4 点(-1,0)与(1,0)到直线a-b=1 的距离之和 s≥ c,则 e 的取值 5 范围是__________.

解 析

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x2 y2 5.已知双曲线 2- 2=1 (a>1,b>0)的焦距为 2c,离心率为 e,若 a b x y 4 点(-1,0)与(1,0)到直线a-b=1 的距离之和 s≥ c,则 e 的取值 5 ? ?
5 ? , 5? 2 ? 范围是__________.
? ? ?

|-b-ab| |b-ab| 2ab 4 由题意知 s= 解 析 2 2 + 2 2= c ≥5c, a +b a +b 2 2c 5b 2 ∴2c ≤5ab,∴ a2 ≤ a .
b 又a= c2-a2 2 2 2 2 = e -1,∴2e ≤5 e -1, a

∴4e4≤25(e2-1),∴4e4-25e2+25≤0, 5 2 5 ∴4≤e ≤5,∴ 2 ≤e≤ 5.
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6. 若过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其 准线于点 A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的 方程为____________.

解 析

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6. 若过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其 准线于点 A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的
y2=3x 方程为____________.

解 析
如图,过 A、B 分别作 AD、BE 垂直于准线,垂 足分别为 D、E. 由|BC|=2|BF|,即|BC|=2|BE|, 则∠BCE=30° ,又|AF|=3,即|AD|=3,|AC|=6, ∴F 为 AC 的中点,KF 为△ACD 的中位线, 1 3 ∴p=|FK|=2|AD|=2,

所求抛物线方程为 y2=3x.
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7

7.(13 分)(2012· 上海)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1: 2x2-y2=1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线, 求该直线与另一 条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积. (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x2+y2=1 相切,求证:OP⊥OQ. (3)设椭圆 C2:4x2+y2=1.若 M、N 分别是 C1、C2 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到直线 MN 的距离是定值.

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解 析
(1)解
? ? x2 2 2 ? 双曲线 C1: -y =1,左顶点 A?- ,0?,渐近线方 ? 1 2 ? ? 2

程:y=± 2x. 不妨取过点 A 与渐近线 y= 2x 平行的直线方程为 ? 2? ? y= 2?x+ ?,即 y= 2x+1. 2? ? ? ? 2 ?y=- 2x, ?x=- 4 , ? 解方程组? 得? ?y= 2x+1 ? ?y=1. ? 2 1 2 所以所求三角形的面积为 S= |OA||y|= . 2 8
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解 析
设直线 PQ 的方程是 y=x+b. |b| 因为直线 PQ 与已知圆相切,故 =1,即 b2=2. 2 ?y=x+b, ? 由? 2 2 得 x2-2bx-b2-1=0. ?2x -y =1 ? ?x +x =2b, ? 1 2 ? 设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则 ?x1x2=-1-b2. ? (2)证明
又 y1y2=(x1+b)(x2+b),所以

→ → OP· =x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2 OQ
=2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0. 故 OP⊥OQ.
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解 析
当直线 ON 垂直于 x 轴时, 2 3 |ON|=1,|OM|= ,则 O 到直线 MN 的距离为 . 2 3 (3)证明
当直线 ON 不垂直于 x 轴时,设直线 ON

1 则直线 OM 的方程为 y=-kx. ? 2 ?x = 1 2, ?y=kx, 4+k ? ? 由? 2 2 得? ?4x +y =1 k2 ? ?y2= 2, ? 4+k ?
1+k2 所以|ON|2= . 4+k2
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? 的方程为 y=kx?显然|k|> ?

2? ?, 2?

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解 析
1+k2 同理|OM|2= 2 . 2k -1
设 O 到直线 MN 的距离为 d,
因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2, 3k2+3 1 1 1 3 所以d2=|OM|2+|ON|2= 2 =3,即 d= 3 . k +1

综上,O 到直线 MN 的距离是定值.

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