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7.4 平面向量的内积


向 量 7.4 向量的内积

向量 向量

7.4.1平面向量的内积 ? ? ? 一个物体在力 f 的作用下产生的位移 s ,那么力 f 所 做的功应当怎样计算?
? f

θ

? s

力做的功: W ? f ? s

? ? ? ? ? s f cos? 其中?是 f与s 的夹角, ? cos?是 f 在物体前进方向上的分量. ? ? ? f cos? 称做位移 s与力 f 的内积.

1.两个非零向量夹角的概念 ? ? ? ? 已知非零向量 a与 b ,作 OA ? a, OB ? b,则 ∠AOB 叫 ? ? B ? ? ? 记作〈a , b 〉. 做 a与 b的夹角. b ? ? 规定 0? ? 〈a , b 〉 ? 180 ? A O ? a 说明: ? ? ? ? (1)当〈a , b 〉 a 与 b 同向; ? 0 时, ? ? ? ? (2)当〈a , b 〉 a 与 b 反向; ? π 时, ? ? ? ? ? ? π ? 记作 a ? b ; (3)当 〈a , b 〉 时, a 与 b 垂直;
2

(4)在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.

2.向量的内积

? ? ? ? 〈a , b 〉 已知非零向量a 与b , 为两向量的夹角,则数量 ? ? ? ? ? ? a b cos 〈a , b 〉 叫做 a与 b的内积.
? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos 〈a, b 〉

记作

? 规定 0与任何向量的内积为0.
说明: (1)两个向量的内积是一个实数,不是向量,可正、可负 ? ? 或为零 。 符号由 cos 的符号所决定. 〈a , b 〉

? ? (2)两个向量的内积,写成a ? b ;符号“· ”在向量运
算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.

3.向量内积的性质 ? ? 设a, b为两个非零向量.

4.向量内积的运算律 ? ? ? ? ⑴ a ?b ? b ? a

? ? ? ? ? ? ⑵ ? ( a ? b ) ? ( ?a ) ? b ? a ? ( ? b )
? ? ? ? ? ? ? ⑶ (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

? ? ? ? 例1 已知 a ? 5 , b ? 4,〈a, b 〉 ? 120?.
? ? 求 a ? b.
解:由已知条件得 ? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos 〈a, b 〉
? 5 ? 4 ? cos 120 ? ? ?10.

例2 已知 a ? b ? 求? 解:由

2, a ? b ? ? 2,
,得:

a ? b ? a b cos ?
a ?b

? 2 2 cos ? ? ? ?? 2 2? 2 a b

因为0°≤θ ≤180°,所以θ =135°

? ? ? ? ?2 ?2 拓展 求证 ⑴ (a ? b ) ? (a ? b ) ? a ? b ? ?2 ? ?2 ?2 ?2 ⑵ a ? b ? a ? b ? 2( a ? b ) ? ? ? ? 证明:⑴ (a ? b ) ? (a ? b ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? a ? a ?b ? b ? a ? b ?b ?2 ?2 ? a ?b ? ?2 ? ? ? ? ⑵因为 a ? b ? (a ? b ) ? (a ? b ) ?2 ? ? ?2 ? a ? 2a ? b ? b ? ?2 ? ? ? ? a ? b ? (a ? b ) ? (a ? b ) ?2 ? ? ?2 ? a ? 2a ? b ? b ? ?2 ? ?2 ?2 ?2 所以 a ? b ? a ? b ? 2( a ? b )

? ? ? ? ? ? 1.已知 a , b , a , b , 求 a ? b . ? ? ? ? ⑴ a ? 7, b ? 12, a, b ? 120 ? ; ? ? ? ? ⑵ a ? 8, b ? 4, a, b ? π. ? ? ? ? ? ? 2.已知 a b , a ? b , 求 a , b ? ? ? ? ⑴ a ? b ? ?8, a b ? 16 ? ? ? ? ⑵ a ? b ? 6 3 , a b ? 12

本节课我们主要学习了平面向量的内积,常见的题型 主要有: 1.直接计算内积. 2.由内积求向量的模. 3.运用内积的性质判定两向量是否垂直. 4.性质和运算律的简单应用.

7.4.2 运用平面向量的坐标求内积

例3 求下列向量的内积: (1) a ? (3, ?2), b ? (1,5)
?

(2) a ? (?3,1), b ? (2, ?5) (3) a ? (0, ?2), b ? (1,0)
解:(1) a ? b ? 3?1 ? (?2) ? 5 ? ?7 (2) a ? b ? (?3) ? 2 ? 1? (?5) ? ?11 (3) a ? b ? 0 ?1 ? (?2) ? 0 ? 0

例4 已知 a ? (?1, 2), b ? (?3,1), a ? b, a , b ,? . 求:
a ? b ? (?1) ? (?3) ? 2 ?1 ? 5 解:
a ? (?1)2 ? 22 ? 5;
b ? (?3)2 ? 12 ? 10;
cos ? ? a ?b a b ? 5 2 ? 2 10 ? 5

因为0°≤θ ≤180°,所以θ =45°

?

例5 判断下列各组向量是否垂直: (1) a ? (6,3), b ? (?2, 4); (2) a ? (1, ?2), b ? (0,3)
解 (1)因为 a ? b ? 6 ? (?2) ? 3? 4 ? 0, 所以 a ? b (2)因为 a ? b ? 1? 0 ? (?2) ? 3 ? ?6 ? 0, 所以 a 与

b不相互垂直。


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