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数列复习教学设计


数学第二轮数列专题复习教学设计
课程分析: 数列是特殊的函数,而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分内容容易命制多个知识 点交融的题目,它能很好体现高中阶段要求学生掌握的函数思想、方程思想两种基本的数学思想,是 高考的热点,其综合题型也常在高考压轴题中出现。所数列是高中阶段学生要掌握的一个重要知识模 块。 本专题的高考考题既有选择题,填空题,又有解答题;有容易题,中等题,也有难题。求数列的 通项公式是最为常见的题目,特别是已知数列的递推公式,求数列的通项公式这一类型。关于递推公 式,在《考试说明》中的考试要求是: “了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出 数列的前几项” 。但实际上,从近两年各地高考试题来看,是加大了对“递推公式”的考查,高于考纲 中的“了解”要求。此外数列中“已知 Sn 求 a n ” ,也一直是高考的常考题型,要切实。此外选择题、 填空题多以考查等差、等比数列的基本知识为主,属于中等以下的难度;解答题则是数列与函数、方 程、不等式、程序框图等知识相结合的综合题型,以及数列应用题等等,难度要求较大,所以在第二 轮的复习中要重点突破。 本专题的复习重点、难点是:如何解数列的解答题;通过知识的归类总结,构建数学知识的体系。 课时为 2 节课。 学情分析: 1、 知识基础:数列是高中数学知识中规律性最强的部份,学生喜欢、也能够从特殊的数字中找 到规律,并且归纳推理出一些结论。学生在高三前期复习中已经基本掌握等差、等比数列的基本知识 点,能够应用这些知识解决一些中等难度以下的数列的基本题型,能应用方程的思想解决一些简单的 数列问题。 2、能力基础:学生已经具备了一定的运用方程的思想解决数列的基本问题的能力,但是在运用通 项公式、前 n 项和公式求解时, “知三得四”的灵活运用能力还有待提高。运用函数的思想解决数列问 题的意识不浓,能力也还有待提高。 3、心理基础:由于数列是一种较特殊的函数,大部分文科学生在函数部分的学习比较薄弱,有畏 惧心理,存在学习本专题的心理障碍。所以在教学上宜遵循学生的认知规律,由难到易,逐步帮助学 生走出障碍,学好本专题。 设计理念: 人的认识具有反复性,这就决定了人们对一个事物的正确认识往往要经过从实践到认识,再从认 识到实践的多次反复才能完成,但并不代表它是一种圆圈式的循环运动,相反,它是一种波浪式的前 进或螺旋式的上升,每个人的知识的积累都会经历一个由不知到知、由知之不多、到知之较多的过程, 对事物的认识也都有一个由浅入深的过程。新的课程改革理念下,中学数学教材的编写也都本着让学 生在知识、技能、思维和情感上实现螺旋式上升的目标。所以本节课在设计上,几种有关数列的类型 难度从低到高,每一类型相应的例题和练习的难度也由低到高,努力为学生自主探索、动手实践、合 作交流、阅读自学等活动创造机会、空间和平台。而练习例题的设计,也采取学生先练习,教师再讲

例题(例题也由学生先思考,并动手做,老师再讲) ,然后学生再练的方式迂回进行。体现学生的动手 做、动脑思为主,教师的适当诱导为辅的诱思教学探究论的教学思想。 在教学媒体的设计上,本节课利用 powerpoint 软件制作课件,主要用于投影例题和练习,并使用 实物投影仪辅助教学,主要是适时投影学生的答案,利于评讲、及时反馈学生的学习情况。 学习目标: 1.理解和掌握等差、等比数列的概念和性质,能运用这些知识解决数列的基本题型。 2.能运用函数与方程的思想解决数列与函数、方程、不等式、框图等知识的综合题型,以及数列 应用题。 3.能将复杂数列的问题转化为基本的等差、等比数列的问题。 4.能领会数列规律性、对称性的美,并从实践中体会成功解决数学题所带来的快乐。 教学流程: 一、(课件投影)基础练习,温故知新: 1.各项为正数的等比数列中,a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5= A. 33 B. 72 C. 84 D. 189 ( )

2. 记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 a1= A. 16 B. 24

1 ,S4=20,则 S6=( 2
D. 48



C. 36

3. 设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn ,则 A. 2 B. 4 C.

S4 =( a2
D.



15 2
1 2 3 4

17 2

4. 将全体正整数排成一个三角形数阵:

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …………… 据此规律,数阵中第 n(n≥3)行的从左至右的第 3 个数是_____ 【设计意图】让学生在练习中回忆起等差等比数列的概念和性质,通项公式、前 n 项和公式等基 础知识点,为后续学习打好基础。 二、(课件投影)典例探索,实践提高: 类型一:等差、等比数列的概念和性质的应用 (课件投影) 练习 1:已知数列{ bn }是等差数列,若 bn =log2( a n-1) ,且 a 1=3, a 3=9 (1)求数列{ a n}的通项公式; (2)证明:
1 1 1 <1 ? ? ... ? a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an

【设计意图】让学生通过简单的两个知识点的综合应用,初步感知综合题型的解题方法,引入例

题 1。 例 1:设数列{an}是一个公差为 d (d≠0)的等差数列,它的前 10 项和为 S10=110,且 a1,a2,a4 成等比数列, (Ⅰ)证明:a1=d ; (Ⅱ)求公差 d 的值和数列的通项公式; (Ⅲ)求前 n 项和为 Sn 及 Sn 的最小值。 【设计意图】这是数列性质的简单应用,难度比前两个练习略高,让学生探索函数与方程的思想 在数列中的应用,领会方程思想是解决数列问题的通法。 例 2:在数列{ a n}中,已知 a 1=3, a n+1=5 a n +4 (1)求证:数列{ a n+1}是等比数列; (2)求数列{ a n}的通项公式。 【设计意图】这是等差数列的概念和数列求和公式的简单应用,但也是高考中,数列问题的常见 题型,第一问的证明实际上是通过构造新数列{ bn } ,引导学生把求复杂数列{ a n}的问题转化为等 差数列{ bn }来解决,让学生体会复杂问题简单化的转化思想,是数学常用的解题思想。教师要通过 板书例题的解答过程,规范学生的解题过程。 练习 2:已知数列{ a n}的前 n 项和为 Sn,且 a 1=

1 , a n=-2SnSn-1(n≥2) 2

(1)数列{ 1 }是否为等差数列?证明你的结论;
Sn

(2)求 Sn 和 a n ; (3)求证:S12+ S22+ S32+……+ Sn2≤ 1 - 1 。 4n 2 【设计意图】练习是例题 2 的巩固和提高,难度略高于例 2,特别是第 3 问,要用到放缩法证明 不等式。由学生自行练习,但可以相互讨论,合作完成。 (课件投影,并逐题投影练习与例题:) 类型二:数列与函数、方程的综合应用 练习 3:在等差数列{ a n}中, a 1=25,S17=S9,求 Sn 的最大值。 【设计意图】让学生探索函数思想在数列中的应用,领会数列本身就是一种较特殊的函数的含义。 例 3:已知函数 f(x)= 4 ? 1 , 2
x

(1)若 a 1=1, 1 =f( a n) (n∈N*),求 a n;
a n ?1
2 2 2 (2)设 Sn= a1 , ? a2 ? ... ? an

bn= Sn+1-Sn , 则是否存在最小正整数 m,使得对任意 n∈N*,均有

bn<

m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。 25

【设计意图】让学生探索函数思想在数列中的应用,并领会数列这一特殊函数在求最值时的独特 的魅力。 练习 4:设数列{ a n}的前 n 项和为 Sn,点(n, S n ) (n∈N*)均在函数 y=3x-2 的图象上 n

(1)求数列{ a n}的通项公式; (2)设 bn ?
3 ,T 是数列{ b }的前 n 项和,求使得 T < m 对所有 n∈N*都成立的最小 n n n 20 a n a n ?1

正整数 m 。 【设计意图】即时巩固学生学到的知识。 学生归纳出数列与函数的综合题中,有两个或两个以上的知识点综合的题目的解题方法:紧扣题 目条件,结合定义,写出相应的方程,从而转化为方程求解;而对于已知 Sn 求 a n 的通项公式的方法应 该使用通法。 开始 (课件逐题投影)类型三:数列与程序框图的综合 例 5:根据如右所示的程序框图,将输出的 x,y 的值依次分别记为 x1 , x2 ,?, xn ,?x2007 , y1 , y2 ,?, yn ,?y2007 。 (1)求数列{xn}的通项公式; (2)写出 y1 , y2 , y3 , y4 的值,由此猜想数列{yn}的一个通项公式, 并证明你的结论。 【设计意图】这是数列与程序框图的综合题,比练习略难,意在进一步提 高学生的解这方面的综合题的能力。 【简要实录】学生能独立思考,并基本能完成解答过程。 (三)深化认识,总结规律: (课件投影)课堂小结: (老师提问)本节课学了哪些知识?哪些方法? N
n≤2007?

x=1,y=2,n=1
输出(x , y )

n=n+1 x = x+2 y = 3y+2

【设计意图】由学生自己总结,既是体现课堂上学生自主学习的主体地位, Y 也是培养学生归纳升华例题的结论,总结学习到的解题方法的能力的一种重要 开始 手段,锻炼学生自主构建完整的数学知识体系的能力的重要方法。由学生在独 立思考中不断深化感性认识,总结规律,有利于学生对本节课的学习从感性上升到理性,更利于后续 学习中的知识的迁移。 学生总结后,老师在课件中投影: 本节课学习了 1、数列的基本知识的应用,数列与函数、方程、不等式、程序框图的综合应用,及数列在实际问 题中的应用。 2、数列的综合题,关键是把难的题目转化为容易的,把复杂的数列转化为基本的等差、等比数列 来解决,而等差、等比数列问题再转化为首项和公差、首项和公比的方程,运用方程的思想来解决。 3、对于 2 个或 2 个以上知识点的综合应用的题目,关健是能紧扣题目条件,结合定义,写出相应 的方程。 (四) (投影)反馈练习,拓展提高: (08 江西理) 等差数列 ?an ? 各项均为正整数,a1 ? 3 , 前 n 项和为 Sn , 等比数列 ?bn ? 中,b1 ? 1 , 且 b2 S2 ? 64 , ?bn ? 是公比为 64 的等比数列. (1)求 an 与 bn ;
3 (2)证明: 1 + 1 +??+ 1 < . 4 S1 S2 Sn

【设计意图】要使学生能真正掌握堂上学到的知识,课后的练习作业必不可少,只有经过再实践, 才能使学生的解题能力得到进一步的提高,针对课堂上学生感觉难度大,而堂上练习仍未能掌握的问 题提供配套的练习,为学生实现“由实践得到规律,再用于实践,并进一步深化规律”搭建平台 。 课后反思 “教贵善诱,学贵善思,以诱达思,启智悟道”这十六个字精确归纳出用诱思探究理论去指导数 学的教学工作的精粹,相信能领会、精通这十六个字的妙意,则老师的教与学生的学都是成功的。我 在朝这个方向走下去,但要做到这十六个字,我还有待努力。连续两年的高三复习,使我在探索用“诱 思探究理论”去指导高三的复习课教学中,课堂教学的效率更高,也更能体现学校这一课题对我们实 验老师的要求:精心备教材,备学生,教要留有旁通点。所以我会一路坚持走下去,在教学中自然的 应用该理论去指导我的教学工作。


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