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2011届高考数学


高中数学第十章高中数学第十章-排列组合二项定理
考试内容: 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用 问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一 些简单的应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问 题. §10 §10. 排列组合二项定理 知识要点 两个原理. 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. ....... 从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排 成一排,那么第一、第二……第 n 位上选取元素的方法都是 m 个,所以从 m 个不 同元素中,每次取出 n 个元素可重复排列数 m·m·… m = mn.. 例如:n 件物品放 入 m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解: m n 种)

二、排列. 排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 ......

n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
⑵相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也 必须完全相同. ⑶排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m
m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表

示. ⑷排列数公式:
A m = n(n ? 1) ? (n ? m + 1) = n! ( m ≤ n, n, m ∈ N ) (n ? m)!

注意: n ? n! = (n + 1)!?n!

规定 0! = 1
m m An = nAn ??1 1

m 1 1 A n +1 = A m + A m ?C m ?n = A m + mA m ?n n m n

规定 C 0 =C n = 1 n n

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爱心

专心

-1-

2. 含有可重元素的排列问题. ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,…...an 其中限重复数为 n1 、 n2……nk ,且 n = n1+n2+……nk , 则 S 的排 列个数等于
n= n! . n1!n 2 !...n k !

例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n = (1 + 2)! = 3 又例如:数字 5、5、5、求其
1!2!

排列个数?其排列个数 n = 3! = 1 .
3!

三、组合. 组合. 1. ⑴组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式: C m = n
A m n(n ? 1) ? (n ? m + 1) n = m! Am m C m= n n! m!(n ? m)!

m n ?m ⑶两个公式:① C n =C n ;

②C

m ?1 m m n +C n =C n +1

①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素,因此从 n 个不同元素中 取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中 取出 n-m 个元素的唯一的一个组合. (或者从 n+1 个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取 m 个不同小球其不同 选法,分二类,一类是含红球选法有 C m ?n1 ?C1 =C m ?n1 一类是不含红球的选法有 C m ) 1 n ②根据组合定义与加法原理得;在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时,对 于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的 n 个元
1 素中再取 m-1 个元素,所以有 C m?n ,如果不取这一元素,则需从剩余 n 个元素中

取出 m 个元素,所以共有 C

m m ?1 m m n 种,依分类原理有 C n +C n =C n +1 .

⑷排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺 序关系. ⑸①几个常用组合数公式
0 1 2 C n +C n +C n + ?? n = 2 n n
0 2 4 1 3 5 C n +C n +C n + ? =C n +C n +C n + ? = 2 n ?1 m C m +C m +1 +C m +m ?C m+m =C m+m +1 n 2 n n +1

kC k = nC k ?1 n n ?1 1 1 Ck= C k +1 n n +1 k +1 n +1
用心 爱心 专心 -2-

②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如: ii. 导数法.
1 2 3 n 1 n ?1 1 1 (利用 + + +? = 1? = ? ) 2! 3! 4! (n + 1)! (n + 1)! n! (n ? 1)! n!

iii. 数学归纳法.

iv. 倒序求和法.
3 3 3 3 4

1 v. 递推法(即用 C m +C m ?n =C n +m 递推)如: C 3 +C 4 +C 5 + ?C n =C n +1 . 1 n

0 2 1 2 n 2 n vi. 构造二项式. 如: (C n ) +(C n ) + ? + (C n ) =C 2 n

证明:这里构造二项式 ( x + 1) n (1 + x) n = (1 + x) 2 n 其中 x n 的系数,左边为
0 1 1 2 2 0 0 1 C n ?C n +C n ?C n ?n +C n ?C n ? n + ? +C n ?C n = (C n ) 2 +(C n ) 2 + ? + (C n ) 2 ,而右边 =C 2 n n n n

n

四、排列、组合综合. 排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法. ③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体 排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如, 一般地,n 个不同元素排成一列,要求其中某 m(m ≤ n) 个元素必相邻的排列有
A n ? m +1 ? A m 个.其中 A n ? m +1 是一个“整体排列”,而 A m 则是“局部排列”. n ? m +1 m n ? m +1 m
2 又例如①有 n 个不同座位,A、B 两个不能相邻,则有排列法种数为 A n ?

A n?1 ? A 2 . 1 2

②有 n 件不同商品,若其中 A、B 排在一起有 A n ?1 ? A 2 . n ?1 2
2 ③有 n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有 A n ? A n?1 . n ?1

注:①③区别在于①是确定的座位,有 A 2 种;而③的商品地位相同,是从 n 件不同 2 商品任取的 2 个,有不确定性. ④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档 中,此法主要解决“元素不相邻问题”. 例如: 个元素全排列, n 其中 m 个元素互不相邻, 不同的排法种数为多少? A n ? m ? A n ?m +m n?m 1 (插空法) ,当 n – m+1≥m, 即 m≤ n + 1 时有意义.
2

⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其 他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排 其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将 n 个元素进行全 排列有 A n 种, m(m ? n) 个元素的全排列有 A m 种,由于要求 m 个元素次序一定,因 n m 此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若 n 个元素排

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成一列,其中 m 个元素次序一定,共有

An n Am m

种排列方法.

例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法? 解法一: (逐步插空法) (m+1) (m+2) …n = n! m! 解法二: / ; (比例分配法)A n / A m . n m ⑦平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有
n C kn ?C ( k ?1)n ?C n n n

Ak k

.

例如:从 1,2,3,4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法?有

C2 4 = 3(平 2!

均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将 200 名运动员平均分成两 组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少? (P=
8 2 C18 C 2 10 C 20 / 2!



注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某 m 个元素互不相邻且顺序
n?m m m 不变,共有多少种排法?有 A n ? m ? A n ? m +1 / A m ,当 n – m+1 ≥m, 即 m≤ n + 1 时有

2

意义. ⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题. 例如: x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球 排成一列, 在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板, 把球分成 4 个组. 每一种方法所得球的数目依次为 x1 , x 2 , x 3 , x 4 显然 x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12 ,故( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 是方程的一组解.反之,方程的任何一组解 ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ,对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方
3 程的解的组数等于插隔板的方法数 C 11 .

x1

x2

x3

x4

注意:若为非负数解的 x 个数,即用

a1 , a 2 ,...a n

中 ai 等 于

xi + 1

,有

x1 + x2 + x3 ... + xn = A ? a1 ? 1 + a2 ? 1 + ...an ? 1 = A ,进而转化为求
n C A?1 . +n

a 的正整数解的个数为

⑨定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都 包含在内,并且都排在某 r 个指定位置则有 A r A n ? r . 例如:从 n 个不同元素中,每次取出 m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在 (或不固定在)某一位置上,共有多少种排法? 固定在某一位置上: A m?1 ;不在某一位置上: A m ? A m ?1 或 A n ?m + A m?1 ? A m?1 (一类是 n n ?1 n ?1 1 1 n ?1 不取出特殊元素 a,有 A n ?1 ,一类是取特殊元素 a,有从 m-1 个位置取一个位置,
用心 爱心 专心 -4m

r

k ?r

然后再从 n-1 个元素中取 m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元 素都包含在内 。先 C 后 A 策略,排列 C rr C nk??rr A k ;组合 C rr C k ? rr . k n? ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素 都不包含在内。先 C 后 A 策略,排列 C n ? rk A k ;组合 C n ?kr . k iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列 (或组合) 规定每个排列 , (或 组合)都只包含某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略,排列 C r C n ? r A k ;组 合 C r C n?r . II. 排列组合常见解题策略: ①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题 先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列) ;④正难则 反,等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略; ⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的 策略;⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,假定其中 r 组元素个数 相等, 不管是否分尽, 其分法种数为 A / A rr(其中 A 为非均匀不编号分组中分法数) . 如果再有 K 组均匀分组应再除以 A k . k
4 例:10 人分成三组,各组元素个数为 2、4、4,其分法种数为 C 102C 8 C 4 / A 2 = 1575 . 4 2
2 2 2 若分成六组, 各组人数分别为 1、 2、 2、 其分法种数为 C 101C 91C 8 C 6 C 4 C 2 / A 2 ? A 4 1、 2、 2, 2 2 4

s

k ?s

k

s

k ?s

②非均匀编号分组: n 个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的 顺序,其分法种数为 A ? A m m 例:10 人分成三组,各组人数分别为 2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法
2 3 为: C 10 ?C 8 ?C 5 ? A 3 种. 5 3

若从 10 人中选 9 人分成三组,人数分别为 2、3、4,参加不同的劳动,则安排方
2 3 法有 C 10 C 8 C 4 ? A 3 种 5 3

③均匀编号分组:n 个不同元素分成 m 组,其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的 顺序,其分法种数为 A / A rr ? A m . m 例:10 人分成三组,人数分别为 2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为
2 4 C 10 C 8 C 4 3 4 ? A3 A2 2

用心

爱心

专心

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④非均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,每组元素数目均不相 同 , 且 不 考 虑 各 组 间 顺 序 , 不 管 是 否 分 尽 , 其 分 法 种 数 为
m m A = C m1 C n -2m1 … C n -k(m1 + m 2 +...+ m k -1 ) n

例:10 人分成三组,每组人数分别为 2、3、5,其分法种数为 C 102C 83C 5 = 2520 若从 10 5 人中选出 6 人分成三组,各组人数分别为 1、2、3,其分法种数为 C 101C 92C 73 = 12600 . 五、二项式定理. 二项式定理.
0 r n 1. ⑴二项式定理: (a + b) n =C n a n b 0 +C n1a n ?1b + ? +C n a n ? r b r + ? +C n a 0b n .

展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n + 1 项;
0 1 2 r ② 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , ? ,C n , ? ,C n ; n

③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展 开. ⑵二项展开式的通项.
(a + b) n 展开式中的第 r + 1 项为: T r +1=C n a
r n ?r r

b (0 ≤ r ≤ n , r ∈ Z ) .

⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数最大. ..... I. 当 n 是偶数时,中间项是第 + 1 项,它的二项式系数 C 2 最大; n II. 当 n 是奇数时,中间项为两项,即第
C
n ?1 n +1 2 =C 2 n n

n 2

n

n +1 n +1 项和第 + 1 项,它们的二项式系数 2 2

最大.

③系数和:
0 1 C n +C n + ? +C n = 2 n n 0 2 4 1 3 C n +C n +C n + ? =C n +C n + ? =2 n ?1

附:一般来说 (ax + by) n (a, b 为常数)在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据 ........... 性质二求解. 当 a ≠ 1或 b ≠ 1 时,一般采用解不等式组 ? 的系数或系数的绝对值)的办法来求解. ⑷如何来求 (a + b + c) n 展开式中含 a p b q c r 的系数呢?其中 p, q, r ∈ N , 且 p + q + r = n 把
r (a + b + c) n = [(a + b) + c] n 视为二项式,先找出含有 C r 的项 C n (a + b) n ? r C r ,另一方面在

? A k ≥ A k +1 , ? A k ≤ A k +1 或? ( A k 为T k +1 ? A k ≥ A k ?1 ? A k ≤ A k ?1

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(a + b) n ? r 中含有 b q 的项为 C n ? q a n ? r ?q b q =C n ? q a p b q ,故在 (a + b + c) n 中含 a p b q c r 的项为 r r
r q C n C n ? r a p b q c r .其系数为 C nr C n ?q = r

(n ? r )! n! n! p q ? = =C n C n ? p C r . r r! (n ? r )! q! (n ? r ? q )! r! q! p!

2. 近似计算的处理方法. 当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时,常用近似公式 (1 + a) n ≈ 1 + na ,因为这时展
2 n 开式的后面部分 C n a 2 +C n3a 3 + ? +C n a n 很小,可以忽略不计。类似地,有 (1 ? a) n ≈ 1 ? na

但使用这两个公式时应注意 a 的条件,以及对计算精确度的要求. 高中数学第十一章高中数学第十一章-概率 考试内容: 考试内容: 随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互独立 事件同时发生的概率.独立重复试验. 考试要求: 考试要求: (1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. (2)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能 性事件的概率。 (3)了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互 独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. (4)会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率. §11 §11. 概率 知识要点 1. 概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个,且所有结果出 现的可能性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是 ,如果某个事件 A 包含的 结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A) =
m n 1 n

.

3. ①互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥, 那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分别发生的概 率和,即 P(A+B)=P(A)+P(B),推广: P(A 1 + A 2 + ? + A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + ? + P(A n ) . ②对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如:从 1~52 张 ............... 扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件,因为其中一个不 可能同时发生,但又不能保证其中一个必然发生,故不是对立事件.而抽到“红色 互斥 牌”与抽到黑色牌“互为对立事件,因为其中一个必发生.
对立

注意:i.对立事件的概率和等于 1: P(A) + P(A) = P(A + A) = 1 . ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样 的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每
用心 爱心 专心 -7-

个事件发生的概率的积,即 P(A·B)=P(A)·P(B). 由此,当两个事件同时发生的 概率 P(AB)等于这两个事件发生概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事 件.例如: 从一副扑克牌 (52 张) 中任抽一张设 A: “抽到老 K”; “抽到红牌” B: 则 A 应与 B 互为独立事件[看上去 A 与 B 有关系很有可能不是独立事件,但
P(A) = 4 1 26 1 1 .又事件 AB 表示“既抽到老 K 对抽到红牌”即 = , P(B) = = , P(A) ? P(B) = 52 13 52 2 26
2 1 = 52 26

“抽到红桃老 K 或方块老 K”有 P(A ? B) =

,因此有 P(A) ? P(B) = P(A ? B) .

推广:若事件 A 1 ,A 2 , ? ,A n 相互独立,则 P(A 1 ?A 2 ?A n ) = P(A 1 ) ? P(A 2 ) ? P(A n ) . 注意:i. 一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B, A 与 B, A 与 B 也都相 互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事 件,且这多个事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件 一定不是独立事件. ④独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次 试验的结果, 则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P, 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率: P n (k) =C k P k (1 ? P) n ?k . n 4. 对任何两个事件都有 P( A + B ) = P ( A) + P ( B) ? P( A ? B)

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