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四川省泸州市2018届高三第一次诊断考试数学试题(理科)(含答案)


四川省泸州市 2018 届高三第一次诊断性考试
数学(理科) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.若 tan( ? ? A.

?

1 3

1 ,则 tan ? 的值为( 4 2 1 B. ? C.3 3 )?

) D. ? 3

2.已知集合 A ? {x | y ? ?2 x ? 1} , B ? { y | y ? x 2 } ,则 A ? B ? ( A. {(?1,1)} B. [0,??) C. (?1,1) D. ?



3.“ x ? 0 ”是“ ( ) ? 3 ”的(
x

1 3

) C.充要条件 D.即不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

4.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 BC 的中点, F 为 B1C1 的中点,则异面直线 AF 与 C1 E 所成角 的正切值为( A. ) B.

5 2

2 3

C.

2 5 5

D.

5 3

5.函数 y ? x ? ln | x | 的大致图象是(



-1-

6.设 a , b 是空间中不同的直线, ? , ? 是不同的平面,则下列说法正确的是( A. a // b, b ? ? ,则 a // ? C. a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ?



B. a ? ? , b ? ? ,? // ? ,则 a // b D. ? // ? , a ? ? ,则 a // ?

7.已知函数 y ? sin(2 x ? ? ) 在 x ? A.关于点 (

?
6

处取得最大值,则函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图象(



?
6

,0) 对称

B.关于点 (

?
3

,0) 对称

C.关于直线 x ?

?
6

对称

D.关于直线 x ?

?
3

对称

8. 如图,CD 是山的高, 一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶, 在点 A 处时测得点 D 的仰角为 30 ,行驶 300m 后到达 B 处,此时测得点 C 在点 B 的正北方向上,且测得点 D 的仰角为 45 , 则此山的高 CD ? ( )
0 0

A. 150 3m

B. 75 2m

C. 150 2m

D. 300 2m

9.已知圆锥的高为 5,底面圆的半径为 5 ,它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上,则该球的表 面积为( A. 4? ) B. 36? C. 48? D. 24?

3 10.定义在 R 上的函数 f ( x) 无极值,且对任意 x ? R 都有 f ( f ( x) ? x ) ? 2 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? kx 在

[ ?1,1] 上与函数 f ( x ) 具有相同的单调性,则 k 的取值范围是(
A. [0,??) B. (??,?3] C. (??,0]

) D. [?3,??)

-2-

11.已知一几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为(



A. 2 ?

?
6

B.

1 ?? 2

C.

2 ?? 3

D. 2 ?

?
3

12. 函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 2) ? e x ?a ? 4ea ? x , 其中 e 为自然对数的底数, 若存在实数 x0 使 f ( x0 ) ? 3 成立, 则实数 a 的值为( A. ln 2 ) B. ln 2 ? 1 C. ? ln 2 D. ? ln 2 ? 1

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知函数 f ( x ) ? 2 cos( 14.设函数 f ( x) ? ?

?

1 ? x ) ,且 f ( ? a ) ? ,则 f (a ) 的值为 2 3
,若 f (a) ? 9 ,则 a 的值为



?log2 x ? 4,0 ? x ? 2
x ?2 ? 1, x ? 2
x



15.已知函数 f ( x) ? x(2 ?

1 ) ,若 f ( x ? 1) ? f ( x) ,则 x 的取值范围是 2x



16.一个长、宽、高分别为 1、2、3 密封且透明的长方体容器中装有部分液体,如果任意转动该长方体, 液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? cos x ? a 的最大值为
2

2 . 2

(1)求 a 的值; (2)若方程 f ( x) ? m ? 1 ? 0 在 [

? 17?
4 , 24

] 内有两个零点,求 m 的取值范围.
-3-

18.设 f ( x) ? ae ? cos(
x

?
2

x) ,其中 a ? 0 .

(1)求证:曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线过定点; (2)若函数 f ( x) 在 (?1,1) 上存在唯一极值,求正数 a 的取值范围.

19.如图,在 ?ABC 中,角 B 为锐角,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , sin A ? 2 sin( A ? B) ,它的面

积S ?

5 7 2 c . 16

(1)求 sin B 的值; (2)若 D 是 BC 边上的一点, cos ?ADB ?

3 BD ,求 的值. 4 DC

0 20.如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是梯形, AB // DC , ?ABC ? 90 , AD ? SD ,

BC ? CD ?

1 AB ,侧面 SAD ? 底面 ABCD . 2

(1)求证:平面 SBD ? 平面 SAD ; (2)若 ?SDA = 120 ,求二面角 C ? SB ? D 的余弦值.
0

21.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? a ln x(a ? 0) . 2

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)当 a ? 1 时,若方程 f ( x ) ?

1 2 2 x ? m(m ? ?2) 有两个相异实根 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,证明: x1x2 ?2. 2
-4-

选做题:
22.在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线

l 的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
3

) ? 3 ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4a cos? (a ? 0) . 1 t ,求直线 l 的参数方程; 2

(1)设 t 为参数,若 y ? ?2 3 ?

(2)已知直线 l 与曲线 C 交于 P, Q ,设 M (0,?2 3) ,且 | PQ |2 ?| MP || MQ | ,求实数 a 的值.

23.已知函数 f ( x) ?| a ? 3x | ? | 2 ? x | . (1)若 a ? 2 ,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)若存在实数 x ,使得不等式 f ( x) ? 1 ? a ? 4 | 2 ? x | 成立,求实数 a 的取值范围.

-5-

试卷答案 一、选择题 1-5:BBACD 二、填空题 13. ? 6-10:DACBA 11、12:CD

1 3

14.3

15. (?? , )

1 2

16. (1,5)

三、解答题 17. (1) f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x ? a

1 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? ?a 2 2

?

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? ? a 2 4 2 2 1 2 ? ?a? 2 2 2

由 x ? R ,得 f ( x) 的最大值为 故a ?

1 . 2

(2)方程 f ( x) ? m ? 1 ? 0 即

2 ? sin(2 x ? ) ? m ? 1 ? 0 2 4

所以 m ? ?

2 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4

因为方程 f ( x) ? m ? 1 ? 0 在 [ 所以直线 y ? m 与函数 y ? ? 因为

? 17?

, ] 内有两个零点, 4 24

? 17? 2 ? ] 内有两个交点, sin(2 x ? ) ? 1 的图象在 [ , 4 24 2 4

?
4

?x?

17? ? ? 7? ,所以 ? 2 x ? ? , 24 4 4 6

结合图象可得 m 的取值范围是 [?1 ? 18.证明: (1)因为 f ' ( x) ? ae ?
x

2 3 ,? ] . 2 2
sin(

?
2

?
2

x)

所以 f ' (0) ? a ,又 f (0) ? a ? 1 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为

-6-

y ? (a ? 1) ? ax ,即 y ? a( x ? 1) ? 1 ,
所以曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线过定点 (?1,?1) . (2)因为 f ' ( x) ? ae ?
x

?
2

sin(

?
2

x) ,

当 a ? 0 ,函数 y ? aex 与 y ? 所以 f ' ( x) ? ae ?
x

?

?
2

sin(

?
2

2

sin(

?
2

x) 在 (?1,1) 上都是增函数,

x) 在 (?1,1) 上是增函数,

因为函数 f ( x) 在 (?1,0) 上存在唯一极值,

? ? ?1 ? ae ? sin(? ) ? 0 ? ? f ' (?1) ? 0 ? 2 2 所以 ? 即? ? f ' (1) ? 0 ?ae ? ? sin ? ? 0 ? 2 2 ?
所以 ?

?
2e

?a?

e? 2

所以正数 a 的取值范围是 (0,

e? ). 2

19、(1)因为 sin A ? 2 sin( A ? B) ,所以 sin A ? 2 sin C , 由正弦定理得 a ? 2c , 因为 S ?

1 5 7 2 acsin B ? c 2 sin B ? c 2 16 5 7 16
3 7 ,所以 sin ?ADB ? , 4 4 AD AB ? , sin B sin ?ADB

所以 sin B ?

(2)因为 cos ?ADB ?

在 ?ABD 中,由正弦定理得 所以 AD ?

5 c 4
2

由余弦定理得 c ? ( c) ? BD ? 2 ?
2 2

5 4

5c 3 ? BD ? , 4 4

所以 BD ?

3 3 c或 c, 2 8 3 c, 2

因为 D 是 BC 边上的一点,所以 BD ? 因为 a ? 2c ,所以 CD ?

1 c, 2
-7-

所以

BD ? 3. DC

0 20、 (1)因为 ?ABC ? 90 , BC ? CD ,

所以 ?CBD ? 45 , ?BCD 是等腰直角三角形,
0

故 BD ? 因为 AB ?

2CB ,
2 BD , ?ABD ? 450 ,

所以 ?ABD ∽ ?BCD ,

?ADB ? 900 ,即 BD ? AD ,
因为侧面 SAD ? 底面 ABCD ,交线为 AD , 所以 BD ? 平面 SAD ,所以平面 SBD ? 平面 SAD . (2)过点 S 作 SE ? AD 交 AD 的延长线于点 E , 因为侧面 SAD ? 底面 ABCD , 所以 SE ? 底面 ABCD , 所以 ?SDE 是底面 SD 与底面 ABCD 所成的角,即 ?SDE ? 60 ,
0

过点 D 在平面 SAD 内作 DF ? AD , 因为侧面 SAD ? 底面 ABCD , 所以 DF ? 底面 ABCD , 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz ,

设 BC ? CD ? 1 , B(0, 2 ,0),C (?

2 2 2 6 , ,0), S (? ,0, ), 2 2 2 2

则 DB ? (0, 2 ,0), BS ? (?

2 6 2 2 ,? 2 , ) , BC ? (? ,? ,0) , 2 2 2 2

设 m ? ( x, y, z) 是平面 SBD 法向量,

-8-

? 2y ? 0 ? 则? 2 6 x ? 2y ? z?0 ?? 2 ? 2
取 m ? ( 3,0,0) , 设 n ? ( x, y, z) 是平面 SBC 的法向量,

? ? ? ? 则? ?? ? ?

2 2 x? y?0 2 2 2 6 x ? 2y ? z?0 2 2

取 n ? ( 3,? 3,?1) ,

| cos ? m, n ?|?

| m?n| 2 7 ? ? 2 2 2 7 | m || n | ( 3 ) ? 1 ? ( 3 ) ? (? 3 ) ? 1

所以二面角 C ? SB ? D 的余弦值为 21、 (1)因为 f ' ( x) ? x ? a ?

7 . 7

a 1 2 ? ( x ? ax ? a) , x x

函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) ,
2 因为 a ? 0 ,当 ? ? a ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 4 时, f ' ( x) 对 x ? 0 恒成立

所以 f ( x) 在 (0,??) 上是增函数,

2 当 ? ? a ? 4a ? 0 ,即 a ? 4 时,由 f ' ( x) ? 0 得 0 ? x ?

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a 或x ? , 2 2

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a 则 f ( x) 在 (0, ),( ,??) 上递增 2 2
在(

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4 a , ) 上递减; 2 2
1 2 x ? m(m ? ?2) 的两个相异实根分别为 x1 , x2 ,满足 ln x ? x ? m ? 0 , 2

(2)设 f ( x ) ?

且 0 ? x1 ? 1, x2 ? 1 , ln x1 ? x1 ? m ? ln x2 ? x2 ? m ? 0 令 g ( x) ? ln x ? x 的导函数 g ' ( x) ? 所以 g ( x) 在 (1,??) 上递减
-9-

1 ?1 , x

由题意可知 ln x1 ? x1 ? m ? ?2 ? ln 2 ? 2 , 故 x2 ? 2 ,所以 0 ? x1 ,

2 ?1, 2 x2

令 h( x) ? ln x ? x ? m ,

h( x2 ) ? h(

2 2 2 ) ? (ln x2 ? x2 ) ? (ln 2 ? 2 ) 2 x2 x2 x2

? ? x2 ?

2 ? 3 ln x2 ? ln 2 2 x2
2 ? 3 ln t ? ln 2(t ? 2) , t2

令 F (t ) ? ?t ?

则 F ' (t ) ? ?1 ?

4 3 (t ? 2)2 (t ? 1) ? ? , t3 t t3

当 t ? 2 时, F ' (t ) ? 0 ,所以 F (t ) 是减函数, 所以 F (t ) ? F (2) ? 2 ln 2 ? 所以当 x1 ? 2 时, h( x1 ) ? h(

3 ? 0, 2

2 ) ? 0, 2 x2

因为 0 ? x1 ,

2 ? 1 , h( x) 在 (0,1) 上单调递增, 2 x2

所以 x1 ?

2 2 ,故 x1x2 ? 2 , 2 x2

2 综上所述, x1x2 ?2.

22、 (1)直线 l 的极坐标方程为 ? cos( ? ?

?
3

)?3

所以

1 3 1 3 ? cos? ? ? sin ? ? 3 ,即 x ? y?3 2 2 2 2 3 1 t ,代入上式得 x ? t, 2 2

因为 t 为参数,若 y ? ?2 3 ?

? 3 x? t ? ? 2 所以直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ? y ? ?2 3 ? 1 t ? 2 ?
- 10 -

(2)由 ? ? 4a cos? (a ? 0) ,得 ? 2 ? 4a? cos? (a ? 0) 由 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 代入,得 x2 ? y 2 ? 4ax(a ? 0) 将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立 得 t 2 ? 2 3(1 ? a)t ? 12 ? 0 (*)

? ? [2 3(1 ? a)]2 ? 4 ?12 ? (1 ? a)2 ? 4 ? 0 t1 ? t2 ? 2 3(1 ? a),t1t2 ? 12 ,
设点 P, Q 分别对应参数 t1 , t2 恰为上述方程的根 则 | MP |? t1, | MQ |? t2 , | PQ |?| t1 ? t2 | , 由题设得 | t1 ? t2 |2 ? t1t2 , 则有 [2 3(1 ? a)]2 ? 60 ? 0 ,得 a ? 5 ? 1 或 a ? ? 5 ? 1 因为 a ? 0 ,所以 a ? 5 ? 1 . 23.解: (1)不等式 f ( x) ? 3 可化为 | 2 ? 3x | ? | 2 ? x |? 3 ,则

2 2 ? ? ? x ? ?2 ?? 2 ? x ? ?x ? 或? 或? 3 3 ? ?2 ? 3x ? 2 ? x ? 3 ?2 ? 3x ? 2 ? x ? 3 ?3x ? 2 ? 2 ? x ? 3 ? ?
解得 ?

3 7 ?x? , 4 2 3 7 ? x ? }. 4 2

所以不等式 f ( x) ? 3 的解集为 { x | ?

(2)不等式 f ( x) ? 1 ? a ? 4 | 2 ? x | 等价于 | a ? 3x | ?3 | 2 ? x |? ?a 即 | a ? 3x | ?3 | 2 ? x |? 1 ? a , 因为 | a ? 3x | ?3 | 2 ? x |?| a ? 3x | ? | 6 ? 3x |?| a ? 3x ? 6 ? 3x |?| a ? 6 | 若存在实数 x ,使得不等式 f ( x) ? 1 ? a ? 4 | 2 ? x | 成立, 则 | a ? 6 |? 1 ? a , 解得 a ? ?

5 , 2 5 2

实数 a 的取值范围是 ( ?? ,? ] .

- 11 -


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