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浙江省台州市2013-2014学年高二学年第一学期级期末质量评估数学试题(word版)


学年 台州市2013 第一学期 高二年级期末质量评估试题





2014.01

命题:李柏青(黄岩中学) 汤香花(台州一中) 审核:余岳利(台州中学) 一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.直线 A.2

x y ? ? 1 和坐标轴所围成的三角形的面积是 5 2
B.5 C. 7 D.10

2.已知 AB ? (?1, 2, 0), CD ? ( x, ?2,3) ,若 AB ? CD ,则 x ? A.1 B.4 C.-1 3.已知 a, b ? R ,则“ a ? b ? 0 ”是“ ab ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D.-4

??? ?

??? ?

4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的底面直径与高的比是 A.

1 2π

B.

1 π

C. 1

D. π

? y ? x, ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? 2, ?
D. 7 ? 6.若 P 是平面 ??外一点,A 为平面 ??内一点, n 为平面??的一个法向量,则点 P 到平面?的 B. 4 距离是 A. PA ? n A. 3 C. 6

PA ? n
B. C.

PA ? n
D.

PA ? n PA n
O

PA

n

7.如图,在四面体 OABC 中,G 是底面 ? ABC 的重心,则 OG 等于 A. OA ? OB ? OC B.

1 1 1 C. OA ? OB ? OC 2 3 6

1 1 1 OA ? OB ? OC 2 2 2 1 1 1 D. OA ? OB ? OC 3 3 3

C G B

A

8.右图是边长相等的两个正方形.给定下列三个命题: ①存在三棱柱,其正视图、侧视图如右图; ②存在四棱柱,其正视图、侧视图如右图;

第 7 题图

正视图

侧视图

第 8 题图

③存在圆柱,其正视图、侧视图如右图. 其中真命题的个数是 A. 3 B.2 C.1 D.0
2 2

9.已知点 P(m, n) 是直线 2 x ? y ? 5 ? 0 上的任意一点,则 m ? n 的最小值为 A. 5 B. 10 C.

5

D.

10

10.设 m, n 为两条直线, ? , ? 为两个平面,下列四个命题中正确的是 A.若 m, n 与 ? 所成的角相等,则 m // n C.若 m ? ? , n ? ? , m // n ,则 ? ∥ ? B.若 m // ? , n // ? , ? ∥ ? ,则 m // n D.若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? ,则 m ? n
D' A' G B' C'

11.如图,正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, E 是棱 BC 的中点,G 是棱 DD? 的 中点,则异面直线 GB 与 B?E 所成的角为 A. 120 ? B. 90? C. 60? D. 30? 12.已知两点 M (1,1) , N (7,9) ,点 P 在 x 轴或 y 轴上,若 ?MPN ? 90? , 则这样的点 P 的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

D E A B

C

第 11 题图

13.如图,空间直角坐标系 Oxyz 中,正三角形 ABC 的顶点 A , B 分别 在 xOy 平面和 z 轴上移动.若 AB ? 2 ,则点 C 到原点 O 的最远距离为 A. 3 ? 1
2 2

z

B C

B.2
2

C. 3 ? 1
2

D.3
O

x ? y ?4 ? 0, 14.已知圆 O : 圆 C : x ? y ? 2 x ? 15 ? 0 , 若圆 O 的
切线 l 交圆 C 于 A, B 两点,则 ?OAB 面积的取值范围是 A. [2 7 ,2 15 ] C. [2 3 ,2 15 ] B. [ 2 7 ,8] D. [ 2 3 ,8]
x

y

A

第 13 题图

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)

15.命题“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是_
2



. ▲ ▲ . .

16.两条平行直线 x ? y ? 0 与 x ? y ? 4 ? 0 间的距离为 17.已知一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为

a
2a

a
2a R?a

正视图

侧视图 第 17 题图

俯视图

18.在平面直角坐标系中,不等式组 ? 是 ▲ .

? x ? a, ?y?2 ? x

表示的平面区域的面积为 4 ,则实数 a 的值

19.已知三棱锥 O ? ABC ,侧棱 OA, OB, OC 两两互相垂直,且 OA ? OB ? OC ? 2 ,则以

O 为球心且 1 为半径的球与三棱锥 O ? ABC 重叠部分的体积是
2 2



.

20.已知点 P ? x0 , y0 ? 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,若圆 O : x ? y ? 1 ( O 为坐标原点)上存在 点 Q 使得 ?OPQ ? 30 ,则 x0 的取值范围为
?



.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(本小题满分为 8 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a .设 p : 方程 f ( x) ? 0 有实数根;q :
2

函数 f ( x) 在区间 [1,2] 上是增函数.若 p 和 q 有且只有一个正确,求实数 a 的取值范围. 22.(本小题满分为 8 分)如图,边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?ABC ? 60? ,点 E , F 分别 是 AB, BC 的中点,将 ?AED, ?DCF 分别沿 DE , DF 折起,使 A, C 两点重合于点 A? .

(1)求证: A?D ? EF ; (2)求二面角 A? ? EF ? D 的余弦值.
A

D D A'

E C F

E F

23.(本小题满分为 10 分)已知 ?ABC 的顶 点 A?3,2? ,?C 的平分线 CD 所在直线方程

B

B

第 22 题图
y A H C B O D x

为 y ? 1 ? 0 , AC 边上的高 BH 所在直线方程为 4 x ? 2 y ? 9 ? 0 . (1)求顶点 C 的坐标; (2)求 ?ABC 的面积.

第 23 题图

24. (本小题满分为 10 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥平面 ABCD , 底面 ABCD 为 梯 形 , AB ∥ DC , AB ⊥ BC , PA ? AB ? BC ?

1 DC , 点 E 在 棱 PB 上 , 且 2
P

PE ? ? EB .
(1)当 ? ? 2 时,求证: PD ∥面 EAC ; (2)若直线 PA 与平面 EAC 所成角为 30? ,求实数 ? 的值.
A

E B

D

C

第 24 题图

25.(本小题满分为 10 分)已知圆心为点 C (2,1) 的圆与直线 3x ? 4 y ? 35 ? 0 相切. (1)求圆 C 的标准方程;

(2)对于圆 C 上的任一点 P ,是否存在定点 A (不同于原点 O )使得 在,求出点 A 的坐标;若不存在,请说明理由.

PA PO

恒为常数?若存

y

C x O

学年 台州市2013 第一学期 高二年级期末质量评估试题参考答案


一项是符合题目要求的) BDABC CDAAD BCCA



第 25 题图 2014.01

一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分.在每小题给出的四个选项中,只有

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)

15. ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 0

2

16. 2 2

17.

7 3 πa 3

18.2

19.

1 π 6

20. [0,2]

三、解答题(本大题共 5 小题,共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. (本小题满分为 8 分) 解: p : ? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 0, 或a ? 4 ;????????????????? 2 分
2

q:

a ? 1 ? a ? 2 .???????????????????????????3 分 2
?a ? 0, 或a ? 4, ? a ? 4; ?a ? 2,

若 p 真 q 假,则 ?

若 p 假 q 真,则 ?

?0 ? a ? 4, ? 0 ? a ? 2 .???????????????? 7 分 ?a ? 2,

所求实数 a 的取值范围为 ?0,2? ? ?4,?? ? ??????????????????? 8 分 22.(本小题满分为 8 分)
D A'

E O B F

D D A A'

E C F B

E F B

(1)证明:取 EF 的中点 O ,连结 OD, OA? ,因 DE ? DF , A?E ? A?F ,则

EF ? OA?, EF ? OD , OA? ? OD ? O ,
则 EF ? 平面A?OD ,?????????????????????? 3 分 因 A?D ? 平面A?EF , 所以 A?D ? EF ??????????????? 4 分 (2)由已知, EF ? OA?, EF ? OD , 所以 ?A?OD 是二面角 A? ? EF ? D 的平面角. ??????????????? 5 分

OD ?

3 3 3 , OA? ? , A?D ? 2 . 2 2

7 . 9 7 所求角的余弦值为 .?????????????????????????? 8 分 9
则 cos ?A?OD ? 23. (本小题满分为 10 分)
y A H C B O
第 23 题图

解:(1)直线 AC ? BH ,则 k AC ? 直线 AC 的方程为 y ?
x

1 , 2
2分

D

1 1 x ? ,??????????? 2 2

1 1 ? ? y ? x ? , ? x ? 1, 由? 2 2 ?? ? y ? 1. ? ?y ?1 ? 0

所以点 C 的坐标 C ?1,1? ..????????????????????????? 4 分 (2) k BC ? ?k AC ? ?

1 1 3 ,所以直线 BC 的方程为 y ? ? x ? , ???????? 2 2 2

5分

?4 x ? 2 y ? 9 ? 0, ? x ? 2, 1 ? ? ? 1 3 ?? 1 ,即 B (2, ) ..???????????????? 7 分 2 y ?? x? , y? ? ? 2 2 2 ? ?
| AC |?

?3 ? 1?2 ? ?2 ? 1?2

? 5 ,??????????? ?????????8 分

点 B 到直线 AC: x ? 2 y ? 1 ? 0 的距离为 d ? 则 S ?ABC ?

2 5

.???? ?????????? 9 分

1 AC d ? 1 ..?????????????? ????????? 10 分 2

24. (本小题满分为 10 分) (Ⅰ)证明:连接 BD 交 AC 于点 M,连结 ME, 因 AB ∥ DC
z P

?

| MB | | AB | 1 | BE | 1 ? ? ,当 ? ? 2 时 ? , | MD | | CD | 2 | EP | 2
A M D x

E B y

| MB | | BE | ? ? | MD | | EP |

? EM // PD .
PD ? 平面EAC, EM ? 平面EAC

C

则 PD ∥面 EAC .???????????????????????????

4分

(Ⅱ)由已知可以 A 为坐标原点,分别以 AB,AP 为 y 轴,Z 轴建立空间直角坐标系,设 DC=2, 则 A(0,0,0), C (1,1,0), B(0,1,0), P(0,0,1) , 由 PE ? ? EB ,可得 E 点的坐标为 ? 0,

? 1 ? ? , ? ?????????????? 6 分 ? 1? ? 1? ? ?

所以 AC ? (1,1,0), AE ? ? 0,

? 1 ? ? , ?. ? 1? ? 1? ? ?

? x ? y ? 0, ? 设 平 面 EAC 的 一 个 法 向 量 为 n ? ( x, y, z ) , 则 ? ? ,设 z?? ,则 1 y? z?0 ? 1? ? ?1 ? ?

y ? ?1 , x ? 1,所以 n ? ?1,?1, ? ? ??????????????????????
若直线 PA 与平面 EAC 所成角为 30? ,

8分

则 cos 60 ? ?

?
2 ? ?2

,??????????????????????????

9分

解得 ? ?

6 ?????????????????????????????? 10 分 3

25. (本小题满分为 10 分) 解: (1)点 C 到直线 3x ? 4 y ? 35 ? 0 的距离为 d ? 5 ,.?????????????? 2 分 所以求圆 C 的标准方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 25 .?????????????? 4 分
2 2

(2)设 P( x, y ), 且 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 25 .即 x ? y ? 20 ? 4 x ? 2 y
2 2

2

2

设定点 A (m, n) ,( m, n 不同时为 0),

PA PO

= ? ( ? 为常数).



?x ? m?2 ? ? y ? n?2
x2 ? y2

? ? ???????????????????????? 6 分

两边平方,整理得

?1 ? ? ??x
2 2 2 2

2

? y 2 ? 2mx ? 2ny ? m 2 ? n 2 =0

?

代入 x ? y ? 20 ? 4 x ? 2 y 后得

?1 ? ? ??20 ? 4x ? 2 y ? ? 2mx ? 2ny ? m
所以,

2

? n2 ? 0

?4(1 ? ?2 ) ? 2m, ? 2 ?????????????????????????? 9 分 ?2(1 ? ? ) ? 2n, ? 2 2 2 ?20(1 ? ? ) ? ?m ? n ,

?m ? ?8, ? 解得 ?n ? ?4, ? ?? ? 5 ,
即 A(?8,?4) . ?????????????????????????????? 10 分


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