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北京市延庆县2015届高三3月模拟数学(文)试题Word版含解析


本试卷共 5 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.若集合 A ? {0,1, 2} , B ? {x | x 2 ? 3} ,则 A ? B =( A. ? 【答案】D B. {?1, 0,1} C. {0,1, 2} ) D. {0,1}

考点:集合运算 2.下列函数中是奇函数,并且在定义域上是增函数的一个是( A. y ? ? 【答案】D 【解析】 试题分析:根据奇函数和增函数的定义,结合函数的图象判断即可. 对于 A,在(-∞,0) , (0,+∞)上是增函数,但在定义域上不是增函数,故不正确;对于 B, 是偶函数,故不正确;对于 C 在定义域上有增有减,故不正确;对于 D,函数的图象如图,可 知是奇函数,在定义域上是增函数,故选 D. ) D. y ? ?

1 x

B. y ? ln x

C. y ? sin x

? x ? 1, x ? 0 ? x ? 1, x ? 0

考点:函数奇偶性

3.设 a ? sin393? , A. a ? b ? c C. b ? a ? c 【答案】1 【解析】

b ? cos55? , c ? tan50? ,则 a , b , c 的大小关系为(
B. c ? b ? a D. a ? c ? b



试题分析:由题根据所学诱导公式化简所给角,然后根据函数单调性比较大小即可;

a ? sin 393? ? sin 33?, b ? cos55? ? sin 35?,? a ? b ? 1 ? c ,故选 A
考点:诱导公式 4.执行右边的程序框图,若输入 a=1,b=1,c=-1,则输出的结果满足( )

A. 0 ? e ? 1,

f ?1

B. ?1 ? e ? 0, 1 ? f ? 2 C. ?2 ? e ? ?1, D. 无解 【答案】C 【解析】 试题分析: 模拟执行程序框图, 计算 e, f 的取值范围即可得解. 模拟执行程序框图, 可得 a=1, b=1,c=-1 d=5 满足条件 d≥0, e ?

0 ? f ?1

?1 ? 5 ?1 ? 5 , 输出 e,f 的值. 2,f ? 2 2

由于 ?2<e ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 故选:C. 2< ? 1, 0<f ? < 1, 2 2

考点:程序框图 5.在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E,F 分别为 BC 和 DC 的中点,则 AE ? AF ? ( D F C E A A. B

??? ? ??? ?



5 2

B.

3 2

C. 4

D. 2

【答案】C 【解析】 试题分析:将所求利用正方形的边对应的向量表示,然后利用正方形的性质解答. 边长为 2 的正方形 ABCD 中,E,F 分别为 BC 和 DC 的中点, 所以

??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AE ? AF ? (AD ? DF )(AB ? BE) ? AD ? AB ? DF ? AB ? AD ? BE ? DF ? BE ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? 4;

故选:C 考点:平面向量数量积运算 6.“x>2”是“ ”的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】D 【解析】

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

试题分析:由题根据函数的单调性结合函数图像进行分析可得选项; 如图根据图像可得正确选项为 D

考点:函数模型的应用 7.一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的 体积为(
6 2



4
主视图

4
侧视图

4

俯视图

A. 96 【答案】B 【解析】

B. 120

C. 144

D. 180

试题分析:由已知中的三视图,可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体,分别求出柱体 的底面面积和高,代入柱体体积公式,可得答案. 由已知中的三视图,可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体,柱体的底面由一个边长为 4 的正方形和一个底边长为 4,高为 2 的三角形组成,故柱体的底面面积

1 S ? 4 ? 4 ? ? 2 ? 4 ? 20, 柱体的高即为三视图的长,即 h=6.故柱体的体积 V=Sh=120,故选: 2
B. 考点:三视图求面积、体积

8. 有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是 a, b, c, d ,已知 a ? b ? c ? d ,

a ? d ? b ? c , a ? c ? b 则这四个小球由重到轻的排列顺序是(
A. d ? b ? a ? c 【答案】A 【解析】 B. b ? c ? d ? a C. d ? b ? c ? a



D. c ? a ? d ? b

试题分析:a+b=c+d,a+d>b+c,相加可得 a>c.进而点到 b<d.利用 a+c<b,可得 a<b, 即可得出. ∵a+b=c+d,a+d>b+c,∴2a>2c,即 a>c.因此 b<d.∵a+c<b,∴a<b,综上可得:c< a<b<d.故选:A. 考点:不等式的性质 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数 z ?

(1 ? i )(1 ? i ) 在复平面上对应的点的坐标为 2i

.

【答案】(0,-1) 【解析】 试题分析:由题首先化简所给复数,然后根据复数第对应的复平面上的点即可判断对应坐标; 由题 z ?

(1 ? i)(1 ? i) 2 ? ? ?i ,所以对应坐标为(0,-1). 2i 2i

考点:复数几何性质 10.双曲线 x ? 2 y ? 2 的焦点坐标是
2 2

,离心率是

.

【答案】 【解析】

?

3, 0 , ? 3, 0 ;

??

?

6 2

试题分析:由题将所给双曲线方程整理成标准形式,然后应用双曲线性质不难解决焦点坐标 及离心率; 由题双曲线方程可化为 考点:双曲线的性质 11.在 中, ,则 的面积等于_______.

x2 ? y 2 ? 1, 所以焦点坐标为 2

?

3, 0 , ? 3, 0 ,离心率为

??

?

6 . 2

【答案】 【解析】 试题分析: 利用三角形中的正弦定理求出角 B, 再利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积. 因 为 ,由正弦定理得:

BC AC 3 2 = , ? , ? sinB ? 1, ? B ? 90?,C ? 30?, sinA sinB sin60? sinB

1 3 . ? S?ABC ? ? 3 ? 2 ? sin30?= 2 2
考点:正弦定理 12.已知 ,集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 4} , B ? {( x, y) | x ? y ? t ? 0} , .

如果 A ? B ? ? ,则 t 的取值范围是 【答案】 . 【解析】

试题分析:把 A ? B ? ? 转化为线性规划问题,作出可行域,由直线 x-y+t=0 与可行域有交 点求得 t 的范围.

? x ?1 ? 由 ? y ? 0 作出可行域如图,要使 A ? B ? ? ,则直线 x-y+t=0 与可行域有公共点,联立 ?x ? y ? 4 ?

1 ? x= ,得 B(1,3) ,又 A(4,0) ,把 A,B 的坐标分别代入直线 x-y+t=0,得 t=-4, ? ? x ? y=4
t=2.∴-4≤t≤2.故答案为: . 考点:简单的线性规划 13.已知直线 2x+y+a=0 与圆心为 C 的圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 5 ? 0 相交于 A, B 两点,且
2 2

AC ? BC ,则圆心的坐标为
【答案】 (-1,2) ; 【解析】 .

;实数 a 的值为

.

试题分析:根据圆的标准方程,求出圆心和半径,根据点到直线的距离公式即可得到结论.
2 2 圆的标准方程为 ,半径 r ? 10, ? AC ? BC, (x ? 1 ) ? (y ? 2) ? 10 ,圆心 C(-1,2)

∴圆心 C 到直线 AB 的距离 d ?

?2 ? 2 ? a 2 ? 10 ? 5, ?d ? ? 5, ? a ? ? 5, 2 5

所以圆心坐标为: (-1,2) ;实数 考点:直线与圆 14 ABCD 是矩形, AB ? 4 , AD ? 3 ,沿 AC 将 ?ADC 折起到 ?AD ?C ,使平面 AD?C ? 平 面 ?ABC , F 是 AD? 的中点, E 是线段 AC 上的一点,给出下列结论: ① 存在点 E ,使得 EF / / 平面 BCD? ③ 存在点 E ,使得 D ?E ? 平面 ABC 其中正确结论的序号是 【答案】①②③. 【解析】 试题分析:①存在 AC 中点 E,则 EF∥CD′,利用线面平行的判定定理可得 EF∥平面 BCD′; ②EF⊥AC,利用面面垂直的性质,可得 EF⊥平面 ABD′;③D′E⊥AC,利用面面垂直的性质, 可得 D′E⊥平面 ABC;④因为 ABCD 是矩形,AB=4,AD=3,所以 B,D′在 AC 上的射影不是同 一点,所以不存在点 E,使得 AC⊥平面 BD′E. 在 AC 中点 E,则 EF∥CD′,利用线面平行的判定定理可得 EF∥平面 BCD′,正确;②EF⊥AC, 利用面面垂直的性质,可得 EF⊥平面 ABD′,正确;③D′E⊥AC,利用面面垂直的性质,可 得 D′E⊥平面 ABC,正确;④因为 ABCD 是矩形,AB=4,AD=3,所以 B,D′在 AC 上的射影不 是同一点,所以不存在点 E,使得 AC⊥平面 BD′E,故不正确;故答案为:①②③. 考点:面面垂直的性质 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a1 ? a2 ? 5, (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2 n ,求 {bn } 的前 n 项和 T n .
a

② 存在点 E ,使得 EF ? 平面 ABD? ④ 存在点 E ,使得 AC ? 平面 BD ?E

.(写出所有正确结论的序号)

S4 ? 14 ,

【答案】 (Ⅰ) an ? n ? 1 ; (Ⅱ) Tn ? 4(2n ?1)

【解析】 试题分析: (Ⅰ)首先根据等差数列建立方程组,求出首项和公差,进一步求出数列的通项公 式. (Ⅱ)利用上步求出的通项公式,进一步求出新数列的通项公式,最后利用等比数列的前 n 项和公式求出结果. 试题解析:(Ⅰ)∵ S4 ? 14,

a1 ? a2 ? 5 ,

? a3 ? a4 ? 9 ? 4d ? 4, d ? 1 , ? a1 ? 2

? an ? a1 ? (n ?1)d ? n ? 1 .
(Ⅱ)∵ bn ? 2
an

? 2n?1 ,
∵ b1 ? 0 , ?{bn } 是等比数列,

bn?1 2n?2 ? ? n?1 ? 2 , bn 2
b1 ? 4, q ? 2

?Tn ?

b1 (1 ? q n ) 4(1 ? 2n ) ? ? 4(2n ? 1) 1? q 1? 2

考点:等差数列的性质、数列求和 16.(本小题满分 13 分)直角坐标系 xoy 中,锐角 ? 的终边与单位圆的交点为 P ,将

OP 绕 O 逆时针旋转到 OQ ,使 ?POQ ? ? ,其中 Q 是 OQ 与单位圆的交点,设 Q 的坐标为
( x, y ) .
(Ⅰ)若 P 的横坐标为

y 3 ,求 ; (Ⅱ)求 x ? y 的取值范围. x 5

y
P

?
o 1

x

【答案】 (Ⅰ)

; (Ⅱ)

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用三角函数的定义,求出 sin? ,转化

y 为正切函数的形式,求解即可; x

(Ⅱ)表示出 x+y 的三角函数的形式,然后求解取值范围. 试题解析:(Ⅰ) ∵ P 的横坐标为 ∴ tan ? ?

3 3 4 , ∴ cos ? ? , sin ? ? , 5 5 5

4 3

4 2? y 2 tan ? 3 ? ? 24 ∴ ? tan 2? ? ? 2 x 1 ? tan ? 1 ? ( 4 ) 2 7 3 3 3 4 法二:∵ P 的横坐标为 , ∴ cos ? ? , sin ? ? , 5 5 5 9 16 7 2 2 ? ?? , ∴ cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 25 25 25 4 3 24 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ? ? 5 5 25 y sin 2? 24 ?? ∴ ? x cos 2? 7
(Ⅱ) x ? y ? cos 2? ? sin 2? ,

? 2 sin(2? ? ) , ? ? (0, ) , 4 2 ? ? 5? ), ∴ 2? ? (0, ? ) , 2? ? ? ( , 4 4 4
∴ sin(2? ? ∴

?

?

?
4

) ? (?

2 ,1] , 2

2 sin(2? ? ) ? (?1, 2] , 4

?

∴ x ? y 的取值范围是 (?1, 2]. 考点:任意角三角函数、二倍角的正切 17.(本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中, AB ? 3 ,BC ? 4 .E ,F 分别在线段 BC 和 AD 上, EF ∥ AB ,将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面

MNEF ? 平面 ECDF .
(Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.

图1

图2

【答案】 (Ⅰ)略; (Ⅱ)略; (Ⅲ)2 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先证明四边形 MNCD 是平行四边形,利用线面平行的判定,可证 NC ? 平面 MFD; (Ⅱ)连接 ED,设 ED ? FC ? O .根据平面 MNEF⊥平面 ECDF,且 NE⊥EF,可证 NE⊥ 平面 ECDF, 从而可得 FC⊥NE,进一步可证 FC⊥平面 NED,利用线面垂直的判定,可得 ND⊥FC; (Ⅲ)先表示出四面体 NFEC 的体积,再利用基本不等式,即可求得四面体 NFEC 的体积最大 值. 试题解析: (Ⅰ)法一:∵ EF // AB , ∴ MN //CD , ∴ NC // MD , 法二: ∵ NE // MF , ∵ EC // FD , ∴ EF //MN ,

EF //CD ,

∴ MNCD 是平行四边形, ∴ NC // 平面 MFD , ∴ NE // 平面 MFD , ∴ EC // 平面 MFD ,

∴平面 NEC // 平面 MFD , ∴ NC // 平面 MFD . (Ⅱ)∵ EC ? 3 ,

AB ? CD ? 3, ,

∴ ECDF 为正方形,

∴ FC ? ED , 又∵平面 MNEF ? 平面 ECDF , NE ? EF , ∴ NE ? 平面 EFDC , ∴ FC ? ND , (Ⅲ) 设 NE ? BE ? x ,则 EC ? 4 ? x , ∴ NE ? FC , ∴ FC ? 平面 NED ,

S ?NEC ? VNFEC

1 x(4 ? x) 2 1 1 1 ? Sh ? ? x(4 ? x) ? 3 3 3 2

?

1 (4 x ? x 2 ) , 2


x ? (0,4)

当x ? 2时

VNFEC 达到最大值 2

考点:线面垂直的性质、棱柱、棱锥、棱台的体积、线面平行的判定 18.(本小题满分 13 分)某普通高中共有 36 个班,每班 40 名学生,每名学生都有且只有一部 手机,为了解 该校学生对 A, B 两种品牌手机的持有率及满意度情况,校学生会随机抽取了该 校 6 个班的学生进行统计, 得到每班持有两种品牌手机人数的茎叶图以及这些学生对自己所 持手机的满意度统计表如下:

A

B
0 1 2

满 意 度 品牌 满意 不满意

9 8 8
5 3 7

5 5 7 8
5 0

A
B
(Ⅰ) 随机选取 1 名该校学生,

80%
60%

20%
40%
估计该生持有

A 品牌手机的概率;
(Ⅱ)随机选取 1 名该校学生,估计该生持有 A 或 B 品牌手机且感到满意的概率; (Ⅲ) A, B 两种品牌的手机哪种市场前景更好?(直接写出结果,不必证明) 【答案】 (Ⅰ)

1 5 ; (Ⅱ) ; (Ⅲ)A 品牌手机市场前景更好. 3 12

考点:茎叶图、概率 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的离心率为 ,其短轴的两个 端点分别为 A(0,1),B(0,-1).

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)若 C , D 是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点,直线 AC , BD 与 x 轴分别 交于点 M , N .判断以 MN 为直径的圆是否过点 A ,并说明理由.

【答案】 (Ⅰ) 【解析】

x2 ? y 2 ? 1; (Ⅱ)以 MN 为直径的圆不过 A 点. 2

x2 c 2 2 1, 试题分析: (Ⅰ)由已知条件设椭圆 G 的方程为: 2 ? y = ? a>1? 由 ? 可得 a a 2
(Ⅱ)设 C (x1,y1),且 x1 ? 0 ,则 a2 ? 2, b2 ? 1 由此能求出椭圆的标准方程.

???? ? ???? ? x20 D (? x1,y1),由已知条件推导出 AM ? AN ? ? 1, x 2 0=2 ?1 ? y 2 0 ? ,由此能求出以 2 1? y 0
线段 MN 为直径的圆不过点 A. 试题解析: (Ⅰ)设椭圆 G 的方程为:
2 ∴ c ? 1 ,∴ a2 ? 2,

x2 c 2 ? y 2=1, ? a>1? ,所以 b ? 1 , ? , a 2 ? 2c2 , 2 a a 2 ,

b2 ? 1 ,

∴ 椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2
y0 ? 1 , x0 k BD ? y0 ? 1 , ? x0

(Ⅱ)设 C ( x0 , y0 ) ,则 D(? x0 , y0 ) , k AC ?

AC : y ?

y0 ? 1 y ?1 x ? 1, BD : y ? 0 x ? 1, x0 ? x0

令 y ? 0 ,则 xM ?

x0 ? x0 , xN ? , 1 ? y0 1 ? y0

∴ AM ? (

???? ?

???? x0 x , ?1), AN ? (? 0 , ?1) , 1 ? y0 1 ? y0

∴ AM ? AN ?

???? ? ????

? x0 2 ? x 2 ? y0 2 ? 1 ?1= 0 (1 ? y0 )(1 ? y0 ) 1 ? y0 2



x0 2 x2 ? y0 2 ? 1 ∴ 1 ? y0 2 ? 0 , 2 2
???? ?

x0 2 ???? ? ???? ? 2 ∴ AM ? AN ? ? ?1 x0 2 2 ∴ 以 MN 为直径的圆不过 A 点.

, ∴ AM 与 AN 不垂直,

????

考点:椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x . (Ⅰ)求过点 (0, 0) ,曲线 y ? f ( x) 的切线方程; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? f ( x) ? e x ,求证:函数 g ( x) 有且只有一个极值点; (Ⅲ)若 f ( x ) ? a( x ? 1) 恒成立,求 a 的值. 【答案】 (Ⅰ) y ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求出导数,设切点为(m,n) ,求得切线的斜率和切线方程,代入原点,解 得 m=e,即可得到切线方程; (Ⅱ)求出 g(x)的导数,运用零点存在定理,由 g ( ? x) 在 x>

1 x; (Ⅱ)略; (Ⅲ)1. e

( ? ) ? 2 ? e 2>0,g () ? 1 ? 1 ? e<0, 0 上递减, g 即可得证; (Ⅲ)若 f(x)≤a(x-1)恒成立,
即有 lnx-a(x-1)≤0 恒成立.令 g(x)=lnx-a(x-1) ,求出导数,对 a 讨论,判断单调性, 求出最大值,解不等式运用两边夹法则,即可得到 a=1. 试题解析: (Ⅰ)设切点为 ( x0 ,ln x0 ) ,∵ f ?( x) ?

1 2

1

1 , x

f ?( x0 ) ?

1 x0



∴切线方程为 y ? ln x0 ?

1 ( x ? x0 ) x0

∵切线过 (0, 0) , ∴切线方程为 y ? 1 ? (Ⅱ) g ?( x ) ?

∴ ? ln x0 ? ?1,

x0 ? e ,

1 1 ( x ? e) ,即: y ? x . e e

1 ? ex x 1 当 x ? (0, ??) 时, 是减函数, ? e x 也是减函数, x 1 x ∴ g ?( x ) ? ? e 在 (0, ??) 上是减函数, x
当 x ? 1 时, g ?( x) ? 1 ? e ? 0 , 当x?

1 时, g?( x) ? 2 ? e ? 0 , 2

考点:利用导数研究函数的性质


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北京市延庆县2015届高三3月模拟数学(文)试题 - 本试卷共 5 页,满分 1

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