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球面距离问题的求解


数理化学习 ( 高中版 )

玉邴图

球面距离问题的求解
在高中数学课本和中学数学报刊资料中, 关于球面距离问题仅给出定义, 相关概念和例 题论述较少, 而在高考、 竞赛及实际生活中, 涉 及球面问题的却有许多, 且有一定的难度, 为解 决这个难点, 本文介绍一个球心角定理及其推 论, 然后举例说明它们的应用, 其过程反映了球 面距离问题的一种求解方法, 供读者参考. 一、 几个相关概念 纬度: 经过某一点的地球的半径与赤道所 在的大圆面所成的角. 经度: 经过某一点的经线和地轴确定的半 平面与本初子午线和地轴确定的半平面所成的 二面角的度数. 两地的位置关系: 地球上两点 A、 的位置 B 关系有以下三种: ( 1)A、 两地经度相同, 纬度不同; B ( 2)A、 两地纬度相同, 经度不同; B ( 3)A、 两地纬度不同, 经度也不同. B 球面距离: 某两点的大圆在这两点的一段 劣弧的长度. 即 A、 B两点的球面距离为弧 AB = R (其中 是 A、 B两点的球心角, 单位为弧度 制, R 为球的半径 ). 所以求球面距离问题的本质就是求出球心 角. 二、 有关定理及其推论 为了方便叙述, 本文采用有向角的概念, 规 定东经为正, 西经为负, 北纬为正, 南纬为负. 例 如西经 120 记为 - 120 , 南纬 30 记为 - 30 . 于是我们有如下的球心角的余弦定理: 定理 1 设 A、 是 地球表面上的任意两 B 地, A 地的经度为 1, 纬度为 1, B 地的经度为 AOB 2, 纬度为 2, 地球的中心为 O, 球心角 = ( (0 , ] ), 则 cos = sin
1

cos

1

co s 2 co s(

1

-

2

).

证明: 设地球半径为 R, A、 两地所在的纬 B 度圈分别为圆 O 1 和圆 O 2, 由球的截面性质知 OO 1 圆 O 1, OO 2 圆 O 2, 且两圆所在的平面 平行, 故知 O 1, O、 2 三点共线, 由有向角的概 O 念知 | O 1O 2 | = R | sin
1

- sin

2

|.

( 1)

设 NOS为地轴, 在半圆面 NSA 内, 作 AA 1 圆 O 2 所在的平面, 垂足为 A 1, 则 | O 2A 1 | = | O 1A | = R co s 1, | O2 B | = R cos 2, 在三角形 A 1O 2B 中, 由余弦定理得 | A 1B | = R [ cos 2co s 1 co s 2 cos(
1 2 2 2 1

+ cos

2 2

( 2)

-

2

)]

当 A 1O 2B = | 1 - 2 | 180 时, 因为有 cos[ 360 - ( 1 - 2 ) ] = cos( 1 - 2 ). 故 ( 2) 也成立. 在直角三角形 ABA 1 中, 由勾股定理得 | AB | = | A 1A | + | A 1B | = | O 1O 2 | + | A 1B |
2 2 2 2 2

( 3) ( 4)

将 ( 1)、 2) 代入 ( 3) 得 ( 2 2 | AB | = 2 [ 1 - sin 1 sin R cos
1

2

co s 2 co s(

1

-

2

)]

在三角形 AOB 中, 由余弦定理得 2 2 2R - | AB | cos A OB = cos = 2 2 R 将 ( 4) 代入 ( 5) 化简得 cos = sin + cos 1 cos 2 cos( 1 - 2 ).
1

( 5) sin
2

有了定理 1 我们容易得到地球表面上的 , 任意两地的距离公式. 定理 2 设 A、 是地球表面上的 任意两 B 地, A 地的经度为 1, 纬度为 1, B 地的经度为 B 2, 纬度为 2, 地球的半径为 R, 则 A、 两地的 球面距离为劣弧 AB = R cos
1

arcco s[ sin

1

sin 7

2

+

sin

2

+

co s 2 co s(

1

-

2

) ].

数理化学习 ( 高中版 ) 证明: 设 A、 两地的球心角为 , 则由定理 B 1得 cos = sin 所以,
1

所以 1- cos = 2sin 2sin
2

2

2

cos

2

2sin

2

2

=

sin

2

+ co s 1 cos 2 cos(
1

1

-

2

),

= arccos[ sin
1

sin

2

+

2

cos , (2 , 0) (0 , 2 ), 所

2

cos 1 cos 2 cos(

-

2

) ],

由纬度定义知 以 sin 2 = sin 2 cos .

所以, A、 两地的球面距离为劣弧 B AB = R arccos[ sin 1 sin 2 + cos 1 cos 2 cos( 推论 1 ( 1) cos = cos( 证明: 因为 证. 推论 2 若 A、 两地位于同一纬度 , 则 B
2 1

-

2

) ], ); arccos[ cos(
1

若 A、 两地 位于 同一 经度, 则 B
1 2

这些公式虽然在考试中不能直接使用, 但 若我们掌握了它们的证明思路后, 则球面距离 问题便迎刃而解. 三、 应用例说 例 1 ( 2004年希望杯培训题 ) 设 A、 两 B 地分别位于东经 60 、 南纬 45 和西经 120 、 北 纬 30 , O 是地球中心, 试求 于平角的一个 ). 解: 因为
2 1

( 2) 球面距离 AB = R
1

-

2

) ].

=

2

, 由定理 1 定理 2即可得 、

AOB 的大小 (小
2

( 1) cos = sin
2

+ cos

2

cos(

1

-

2

);
2

( 2) 球面 距离 AB = R cos cos( 1 - 2 ) ] . 证明: 因为 1 = 即可得证. 推论 3
2

a rcco s[ sin

+

= 60 ,

1

= - 45 ,

= - 120 , =

= 30 . 由定 理 1 得 cos AOB = cos AOB = 75 .

=

, 由定理 1 定理 2 、

6- 2 , 故知 4 例 2

若 A、 两地经度差为 B
1

2

,则

( 2003 年吉林省 高中数学 竞赛题 )

( 1) cos = sin ( 2) 球面距离 AB = R 证明: 因为 可得证. 推论 4

sin 2; sin ).

设地球半径为 R, 球面上有两点 A、 其中 A 点 B, 在北纬 60 , B 点在南纬 20 , A、 两点经 度相 B 同, 求 A、 两点的球面距离. B 解: 因为 1 - 2 = 60 ( - 20 ) = 80 4 , 由题意和推论 1 的 ( 2) 得劣弧 BA = R 9 arccos( cos 4 ) = 4 R. 所以 A、 两点的球面 B 9 9
2 1

arccos( sin
1

1

2

-

2

=

2

, 由定理 1 定理 2即 、

若 A、 两地经度差为 , 则 B
2 1

( 1) cos = sin cos
2 2

- co s

2

2

; -

( 2) 球面距离 AB = R ).
1

arccos( s in

距离是 4 R. 9 例 3 ( 2005年全国高考山东卷 ) 已知地 球半径为 R, 球面上有两点 A、 其中 A 点在北 B, 纬 45 东经 120 , B 点在南纬 75 东经 120 , 求 A、 两点的球面距离. B 解: 1 = 45 , 2 = - 75 , 由题意和推论 1 的 ( 2) 得 45 - (- 75 ) = 120 = 两点的球面距离劣弧
2

证明: 因为 可得证.

-

2

=

, 由定理 1、 定理 2即

推论 5 若 A、 B两地位于同一纬度 , 经度 差为 , 则 sin = sin cos . 2 2 证明: 由题意及推论 2得 cos = sin
2 2

2 , 故 A、 B 3

+ cos cos = 1 - cos
2

2

+

cos cos = 1 - cos ( 1 - cos ), 8

BA = R a rcco s( co s120 ) =

2 R. 3

数理化学习 ( 高中版 ) 例 4 ( 2006年全国高考浙江卷 ) 已知 A、 点的球面距离都是 大小为 3 , 且二面角 B - OA - C 的

B、 三点在球心为 O、 C 半径为 1 的球面上, 且 OA、 OC 两两互相垂直, E、 分别是大圆弧 OB、 F AB 和大圆弧 AC 的中点, 求 E、 两点的球面距 F 离. 解: 将 A 点放在北极端点上, B、 两点放在 C 赤道线上, 画出图形结合已知条件可知 E、 两 F 点的纬度均为 45 , 即
1

2

, 则从点 A 沿球面经 B、 两点再回到 C . , 又二面角 B - OA - C 的

A 点的最短距离是

解: 因 为球 O 的 半 径 为 1 故 由题 意 知 , AOB = 大小为 3 AOC = 2

=

2

= 45 , 两点的经 = 3 ,

度差 为 90 , 故 由 推 论 3 的 ( 1) 得 cos sin45 sin 45 = 1 , 所以球心角 2 = 60 =

, 所以 B、 都在 0弧度纬度上 (赤道线 C 3 , 故由推论 2的 ( 2) 知 B、 两 C arcco s[ sin 0 + cos 0
2 2

上 ), 经度差为

所以 A、 两点的球面距离是 B 3 R = 3 1= . 3

点的球面距离 BC = 1 cos 3 ] = 3 .

例 5

( 2006年全国高考北京卷 ) 已知 A、

所以点 A 沿球面经 B、 两点再回到 A 点的 C 最短距离是 例8 为 4 . 2 2 3 3 地球上有两地 A、 都位于同一纬度 B + + =

B、 C三点在球心为 O、 半径为 R的球面上, AC BC, AB = R, 求 A、 两点的球面距离. B 解: 画出图形结合已知条件可知 A、 两点 B 的纬度均为 60 , 即
2 1

=

2

= 60 , 两点的经度
2

的圆圈上, 它们的经度差为 , 求 A、 两地 B

差为 180 , 故由推论 4的 ( 1) 得 cos = sin 60 - cos 60 = 1 , 所以球心角 2 = 60 = 3 , 所以

的球面距离 (地球的半径为 R ). 解: 由题意及推论 5得 sin sin 2 co s = 2arcsin ( sin 2 2 =

A、 两点的球面距离是 B 例 6

R. 3 ( 2006年全国高考四川卷 ) 已知 A、

cos ), 所以 A、 B

B、 三点在球心为 O、 C 半径为 1的球面上, A、 B 两点的球面距离是 4 - B 的大小. , A、 两点的球面距离是 C 4 3 , 求二面角 C - OA

两地的球面距离 d = arcsin( sin 2

R = 2 R 180 180

cos ) (角度以度为单位 ).

, B、 C两点的球面距离是

例 9 众所周知, 第 28届奥运会已于 2004 年在希腊首都雅典举行, 它们于东经 24 北纬 38 , 而第 29届奥运会将于 2008年在我国首都 北京举行, 它位于东经 116 北纬 40 , 你能计算 北京和雅典的球面距离吗? 解: 设雅典的经度为 1, 纬度为 经度为
2 2

解: 将 A 点放在北极端点上, B 点放在本初 子午线上, 画出图形结合已知条件可知 B、 两 C 点的纬度均为 45 , 即 cos( ) cos(
1

=

2

= 45 , 球心角
2

1

, 北京的 = 24 ,

= 60 , 故由推论 2的 ( 1) 得 cos60 = s in 45 +
1 2 1

, 纬度为
1

2

, 从地图上可知
2

1

-

2

) = 0

1

-

2

=

= 116 ,

= 38 ,

= 40 , 将它们代入定理 = 102 1 78弧度. 又 .

90 , 所以两点的经度差为 90 , 故知二面角 C OA - B 的大小 90 . 例 7 ( 2007年高考四川卷 ) 设球 O 的半 径为 1 A、 C 是球面上三点, 已知 A 到 B、 两 , B、 C

1的 ( 1) 查表计算得 cos = - 0 2079 . , 知地球的半径 = 6370千米, 所以北京和雅典的 球面距离为劣弧 AB = R = 1 78 6370 = . 9

数理化学习 ( 高中版 ) 11340(千米 ). 例 10 (中国经营北京一纽约直飞航班的 距 离问题 ) 北京时间 2002年 9月 27日 14点, 国 航 CA981航班从首都国际机场准时起飞, 当地 时间 9月 27日 15点 30分, 该航班正点平稳落在 纽约肯尼迪机场; 北京时间 10月 1日 19点 14 分, CA982航班在经过 13个小时的飞行后, 准 点降落在北 京首都 国际 机场, 至 此国 航北京 纽约直飞首航成功完成. 这是中国承运人 第一次经极地经营北京 纽约直飞航线. 而从北京 至纽约原来的航线是: 北京 (东 经 116 , 北纬 40 ) 上 海 (北纬 31 , 东经 122 ) 东京 (北纬 36 , 东经 140 ) 旧 金山 ( 北纬 37 , 西 经 123 ) 纽 约 ( 西经 74 , 北纬 40 ). 如果飞机飞行高度为 10千米, 并假设地球是半径为 6371千米的球体. 你能计 算新航线的空中航程比原航线的空中航程缩短 了多少吗? 略解: 在地球上, 两地间飞行的最短距离是 这两地所在大圆 (其半径为地球的半径与飞行 高度之和 ) 的两地间的劣弧长. 本题应计算以北京、 纽约为端点的大圆劣 弧长; 北京到上海、 上海到东京、 东京到旧金山、 旧金山到纽约各段大圆劣弧长度之和. 然后求 它们的差. 通过计算得新航线比原航线飞行距离大约 缩短了 4232千米. 由上述各个例题可知, 高考题、 竞赛题和实 际生活问题都有涉及球面距离问题, 且题型丰 富多彩, 千变万化. 但从本文定理的推导过程知 其本质是球面知识、 平面三角知识和立体几何 的线线角、 线面角、 面面角等知识的交汇. 云南省广南市第一中学 ( 663300)

胥容华

球组合体的解决方略
在新教材 球 这一节的相关练习、 习题以 及总复习题中都配有一定数量的球与其他几何 体内接或外切的组合体问题, 在学习中要熟记 一些常规结论: ( 1) 棱长为 a 的正方体内接于 半径为 R 的球, 则 3a = 2R, 半径为 R 的球内切 于棱长为 a的正方体, 则 2R = a; ( 2) 正四面体 的内切球半径 r与外接球半径 R 满足 R = 3r, 且 正四面体的高 h = 4r. 并要掌握处理组合体问 题中常用到的利用轴截面转化为平面几何知识 的转化思想, 割补法的使用以及利用不等式、 三 角等知识, 求面积、 体积最值的综合应用. 下面 分类举例说明. 一、 利用轴截面转化为平面问题求解 例 1 10 求证: 球与它的内切圆锥的体积之 比等于它们相应的表面积之比. 解: 如图 1为球与它相切的圆锥的轴截面. 设 AC = R, 球半径 OD = r, 圆锥高 VC = h, 母线 VB = l. 分析: 根据本题所给出的结论, 应找出球的 半径与圆锥底面圆半径及母线之间的关系, 考 虑组合体的轴截面, 转化为平面图形寻求其关 系, 多用直角三角形相似.


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