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二次不等式恒成立问题巩固练习(教)


二次不等式恒成立问题(文数) 巩固练习 A级
1.(1)若关于 x 的不等式 x 2 (2)若关于 x 的不等式 x 解 :( 1 ) 设
f ?x ? ? x
2
2

3. 已知向量 a 的取值范围. 解:依定义

?

? ? ? 2 ? ( x , x ? 1), b ? (1 ? x , t ), 若函数 f ? x ? ? a ? b

在区间 ? ? 1,1 ? 上是增函数,求 t

f ( x ) ? x (1 ? x ) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x
2 3

2

? tx ? t ,

2 则 f ?( x ) ? ? 3 x ? 2 x ? t .

? ax ? a ? 0

的解集为 ( ?? , ?? ) ,求实数 a 的取值范围;
f ? x ? 在区间 ? ? 1,1 ? 上是增函数等价于 f ? ? x ? ? 0

在区间 ? ? 1,1 ? 上恒成立;
2

? ax ? a ? ? 3 的解集不是空集,求实数 a

的取值范围. 而
f ?? x ? ? 0

在区间 ? ? 1,1 ? 上恒成立又等价于 t
3x
2

? 3x

? 2x

在区间 ? ? 1,1 ? 上恒成立;

? ax ? a

.则关于

x

的不等式

x

2

? ax ? a ? 0

的解集为 设 g ?x ? ? 进而 t
? 2 x , x ? ? ? 1,1 ?

( ?? , ?? ) ? f ? x ? ? 0 在 ? ? ? , ??

? 上恒成立 ?
4 ? a ? 0

f min ? x ? ? 0 ,

? g ? x ? 在区间 ? ? 1,1 ? 上恒成立等价于 t ? g max ? x ?, x ? ? ? 1,1 ?
1? ? ? 2 x , x ? ? ? 1,1 ? 在 ? ? 1, ? 3? ?
?1 ? ,1 ? ?3 ?



f min ? x ? ? ?

4a ? a 4

2

? 0,

解得 ?

考虑到 g ? x ? ?
x
2

3x

2

上是减函数,在 ?
? 5.

上是增函数,

(2)设 f ?x ? ?

x

2

? ax ? a

.则关于

x

的不等式

? ax ? a ? ? 3

的解集不是空集 则 g max ? x ? ? g ? ? 1 ? ? 5 .
4.已知函数 f ? x ? ? lg ? x ?
? ?

于是, t 的取值范围是 t
a

? f ? x ? ? ? 3 在 ? ? ? , ??

? 上能成立 ?
2

f min ? x ? ? ? 3 ,



f min ? x ? ? ?

4a ? a 4

? ? 3 , 解得 a ? ? 6 或 a ? 2

? ? 2 ? ,若对任意 x ? ? 2 , ? ? ? 恒有 f x ?

? x ? ? 0 ,试确定 a 的取值范围。

解:根据题意得: x ?

a x

? 2 ? 1 在 x ? ? 2 , ? ? ? 上恒成立,

2. 若函数 y

?

mx ? 6mx ? m ? 8
2

在 R 上恒成立,求 m 的取值范围。
? 6mx ? m ? 8 ? 0

即: a ? ? x ? 3 x 在 x ? ? 2 , ? ? ? 上恒成立,
2

分析:该题就转化为被开方数 m x 2 项系数的讨论。 略解:要使 y 恒成立。
1
?

在 R 上恒成立问题,并且注意对二次
设 f ? x ? ? ? x ? 3 x ,则 f ? x ? ? ? ? x ?
2

? ?

3? 9 ? ? 2? 4

2

?

mx ? 6mx ? m ? 8
2

在 R 上恒成立,即 m x 2

? 6mx ? m ? 8 ? 0

在R上

当 x ? 2 时, f ? x ? m a x ? 2

所以 a ? 2
1

m ?0

时, 8 ? 时, ?

0 ?m ? 0

成立 ,? 0 ?
m ?1

2 5. 已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? 1 ? 0 对于一切 x ? ( 0 , ] 成立,求 a 的取值范围。

2

2

?

m ? 0

?m ? 0 ? ? ? ? 36 m ? 4 ? m ? 8 ? ? 32 m ? m ? 1? ? 0 ?
2

B级 1. 已知函数 f ? x ? ? 对满足 ? 1 ?
3 x ? 3 a x ? 1, g ? x ? ? f ? ? x ? ? a x ? 5

,其中

f

'

? x ? 是 f ? x ? 的导函数.

由 1 , 2 可知, 0 ?
? ?

m ?1

a ? 1 的一切 a

的值,都有 g ? x ? ?

0

,求实数 x 的取值范围;

解法 1.由题意 g ? x ? ?

3 x ? a x ? 3 a ? 5 ,这一问表面上是一个给出参数 a
2

的范围,解不等

h ?a? ?
2 3 ? x ? 1.

a?

a ? 36a ? 60
2



?1 ? a ? 1

式 g ? x ? ? 0 的问题,实际上,把以 x 为变量的函数 g ? x ? ,改为以 a 为变量的函数,就转
?

6

上 是 减 函 数 , 则 h ? a ? m in

? h ?1 ? ? 1 .

所以,

化为不等式的恒成立的问题,即 令 ? ?a ? ? ?3 ? x ? a ? 3x2
? ?a? ? 0
?5

, ? ?1 ?

a ? 1?

,则对

?1 ? a ? 1

,恒有

g ?x? ? 0

,即

故x? ??
?

?

? ,1 ? 3 ? 2

时,对满足 ? 1 ?

a ? 1 的一切 a

的值,都有 g ? x ? ?

0

.

,从而转化为对 ? 1 ?

a ? 1 ,? ? a ? ? 0

恒成立,又由 ? ? a ? 是 a 的一次函数,因而

2. 若对任意的实数 x , sin 2 解法一:原不等式化为 co s 2

x ? 2 k co s x ? 2 k ? 2 ? 0 x ? 2 k co s x ? 2 k ? 1 ? 0
2

恒成立,求 k 的取值范围。

是一个单调函数,它的最值在定义域的端点得到.为此
? ? ?1 ? ? 0 ? 只需 ? ?? ? ? 1 ? ? 0 ?

?3 x ? x ? 2 ? 0, 即? 2 ? 3 x ? x ? 8 ? 0.
2

令t 0。

? co s x

,则 t

? 1 ,即 f ( t ) ? t ? 2 k t ? 2 k ? 1 ? ? t ? k ? ? k ? 2 k ? 1 在 t ? ? ? 1,1 ? 上恒大于
2 2

解得 ?
? ?

2 3

? x ? 1.

⑴若 k
? ,1 ? 3 ? 2

? ? 1 ,要使 f ( t ) ? 0 ,即 f ( ? 1) ? 0

,k

? ?

1 2

?k
2

不存在
2 ? k ? 1? 2

故x???

时,对满足 ? 1 ?
2

a ? 1 的一切 a

的值,都有 g ? x ? ?

0

.

⑵ 若
?1?

?1 ? k ? 1

, 若 使

f ( t )?

0 ,



f ( k )? ? k ? 2 k ? 1 ? 0? 1 ?

解法 2.考虑不等式 g ? x ? ? 由 ?1 ?
a?
2

3 x ? ax ? 3a ? 5 ? 0 .

2 ? k ?1
? 1 ,要使 f ( t ) ? 0 ,即 f (1) ? 0 , k ? 1

a ? 1 知, ? ? a ? 3 6 a ? 6 0 ? 0

,于是,不等式的解为 .

⑶若 k

a ? 36a ? 60
2

? x ?

a?

a ? 36a ? 60
2

由⑴,⑵,⑶可知,? k 解法二: ⑴? .
2
2

? 1?

2

。 ,在 ? ? 1,1 ? 上恒成立。
2

6

6

f ( t ) ? t ? 2 kt ? 2 k ? 1 ? 0

但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑 a 的条件,还应进一步完善. 为此,设 g ? a ? ?
a? a ? 36a ? 60
2

6

,h ?a? ?

a?

a ? 36a ? 60
2

? k ? 2k ? 1 ? 0
2

?1?

2 ? k ? 1?

6

不等式化为 g ? a ? ?

x ? h ? a ? , ? 1 ? a ? 1 恒成立,即

g ? a ? m ax ? x ? h ? a ? m in , ? 1 ? a ? 1 .
a? a ? 36a ? 60
2

?? ? k ? 2k ? 1 ? 0 ? ? f (1) ? 0 ? k ? 1? ⑵? ? f ( ? 1) ? 0 ? k ? 1或 k ? ? 1 ?

2

由于 g ? a ? ?

在 ?1 ?

6

a ? 1 上是增函数,则 g ? a ? m a x ? g ? 1 ? ? ?

2 3

由⑴,⑵可知, k ,

? 1?

2


x 2

3.已知 x ? ? ? ? ,1 ? 时,不等式 1 ? 2 ? ? a ? a

??4

x

? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

解:令 2 ? t ,? x ? ? ? ? ,1 ?
x

? t ? ?0 , 2 ?

所以原不等式可化为: a ? a ?
2

t ?1 t
2



要使上式在 t ? ? 0 , 2 ? 上恒成立,只须求出 f ? t ? ?
? f ?t ? ? t ?1 t
2

t ?1 t
2

在 t ? ? 0 , 2 ? 上的最小值即可。

1 ?1 1 ? 1 ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t ?t 2? 4 ?t?

2

2

?

1 t

?

?1 ? , ?? ? ?2 ? ?
3 2 1 3

? f ? t ? m in ? f

?2? ?
2

3 4

?a ?a ?
2

3 4

??

1 2

? a ? ? x ?

4. 若不等式 9 x ? 6 a x ? a ? 2 a ? 6 ? 0 在 ?
2

1 3

内恒成立,求 a 的取值范围。


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