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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.2.1正、余弦定理在实际中的应用导学案(含解析)新人教版必修5


第 1.2.2 节 :正、余弦定理在实际中的应用
A.学习目标 1.使学生能够运用正弦定理, 余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题。 了解 常用的测量相关术语,如坡度、仰角、俯角、方向角、方位角等。 2.结合实际测量工具, 能用正弦定理、 余弦定理等知识解决生活中一些有关底部不可到 达的物体高度的测量问题。 3.通过有关角的研究, 让学生根据题意能准确地画出平面示意图, 灵活应用正弦定理和 余弦定理解关于角度的问题。 B.学习重点、难点 重点:分析测量距离问题,高度问题,角度问题的实际背景,能应用正、余弦定理解决 实际测量问题。 能根据正、 余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。 弄清仰角、 俯角、 方位角、方向角的概念,将实际问题转化为数学问题。 难点:根据题意准确画出示意图(平面或立体图形) ,灵活应用正、余弦定理解决有关 实际测量问题。 C.学法指导 通过巧妙的设疑,结合学生的实际情况,采用“提出问题——引发思考——探索猜想— —总结规律——反馈训练” 的教学过程, 使学生能够运用正弦定理和余弦定理等知识解决一 些与测量有关的实际问题,帮助学生掌握常规解法,能够通过类比解决实际问题。 D.知识链接 本章引言中就提出经常萦绕着我们的这么一个问题: “遥不可及的月亮离我们地球究竟有 多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离,是什么神奇的方 法探索到这个奥秘的呢?今天我们将一起学习这个神奇的方法 ,出示课题:正、余弦定理 在实际问题中的应用。 E.自主学习

测量中的基本术语 [提出问题] 李尧出校门向南前进 200 米,再向东走了 200 米,回到自己家中. 问题 1:李尧家在学校的哪个方向? 提示:东南方向. 问题 2:能否用角度再进一步确定其方位? 提示:可以,南偏东 45°或东偏南 45°. [导入新知] 实际测量中的有关名称、术语 定义 图示

基线 仰角

在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角

俯角 基线

在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角 在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线

方向 角

从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北 或正南或正东或正西,方向角小于 90°) 南偏西 60°?指以正 南方向为始边,转向 目标方向线形成的角

方位 角

从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角

[化解疑难] 解三角形实际问题的一般步骤, 在弄清题意的基础上作出示意图, 在图形中分析已知三 角形中哪些元素,需求哪些量.用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节. F.合作探究

测量高度问题

[例 1] 如图,为了测量河对岸的塔高 AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底 B 在 同一水平面内的两个测点 C 和 D, 测得 CD=200 米, 在 C 点和 D 点测得塔顶

A 的仰角分别是 45°和 30°,且∠CBD=30°,求塔高 AB.
[解] 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=45°, 若设 AB=h, 则 BC=h; 在 Rt△ABD 中,∠ADB=30°,则 BD= 3 h. 在△BCD 中,由余弦定理可得

CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD,
即 200 =h +( 3h) -2·h· 3h·
2 2 2

3 , 2

所以 h =200 ,解得 h=200(h=-200 舍去) 即塔高 AB=200 米. [类题通法] 测量高度问题的要求及注意事项 (1)依题意画图是解决三角形应用题的关键, 问题中, 如果既有方向角(它是在水平面上 所成的角),又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角),在绘制图形时,可画立体图形和平 面图形两个图,以对比分析求解; (2)方向角是相对于在某地而言的, 因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一点的方 向角.从这个意义上来说,方向角是一个动态角,在理解题意时,应把它看活,否则在理解 题意时将可能产生偏差. [活学活用] 1.如图,A、B 是水平面上两个点,相距 800 m,在 A 点测得山 顶 C 的仰角是 25°,∠BAD=110°,又在点 B 测得∠ABD=40°,其 中 D 点是点 C 在水平面上的垂足.求山高 CD(精确到 1 m). 解:在△ABD 中,∠ADB=180°-110°-40°=30°, 由正弦定理得

2

2

AD=

ABsin B 800×sin 40° = sin∠ADB sin 30°

≈1 028.5(m), 在 Rt△ACD 中,CD=ADtan 25° ≈480(m). 答:山高约为 480 m.

测量角度问题

[例 2] 如图,在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距 A 处( 3- 1)n mile 的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75°的方向, 距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船.此时, 走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私 船沿着什么方向能最快追上走私船? [解] 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t,BD=10t, 在△ABC 中,∵AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120°, ∴由余弦定理,得

B C2=AB2+AC2-2AB·ACcos ∠BAC
=( 3-1) +2 -2·( 3-1)·2·cos 12 0° =6, ∴BC= 6, 且 sin ∠ABC= ·sin ∠BAC= ∴∠ABC=45°. ∴BC 与正北方向垂直. ∵∠CBD=90° +30°=120°, 在△BCD 中,由正弦定理,得 sin ∠BCD=
2 2

AC BC

2 6

·

3 2 = . 2 2

BD·sin ∠CBD 10tsin 120° 1 = = , CD 2 10 3t

∴∠BCD=30°. 即缉私船沿东偏北 30°方向能最快追上走私船. [类题通法] 解决追及问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题; (2)画出表示实际问题的图形,并在图中标出有关的角和距离,这样借助于正弦定理或 余弦定理,就容易解决问题了; (3)最后把数学问题还原到实际问题中去. [活学活用]

2.某货船在索马里海域航行中遭海 盗袭击,发出呼叫信号,如图,我 海军护航舰在 A 处获悉后,立即测出该货船在方位角为 45°,距离为 10 海里的 C 处,并测得货船正沿方位角为 105°的方向,以 10 海里/小时的 速度向前行驶, 我海军护航舰立即以 10 3海里/小时的速度前去营救, 求 护航舰的航向和靠近货船所需的时间. 解:在△ABC 中,根据 余弦定理,有 AB =AC +BC -2AC·BCcos 120°, 可得(10 3t) =10 +(10t) -2×10×10tcos 120°, 1 2 整理得 2t -t-1=0,解得 t=1 或 t=- (舍去). 2 舰艇需 1 小时靠近货船. 此时 AB=10 3,BC=10, 又 AC=10,所以∠CAB=30°,
2 2 2 2 2 2

所以护航舰航行的方位角为 75°.

1.探究距离测量问题 测量距离问题分为三种类型:两点间不可通又不可视,两点间可视但不可达,两点都不 可达.解决此问题的方法是:选择合适的辅 助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个 三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解. 【角度一】 两点不相通的距离

如图所示,要测量一水塘两侧 A、B 两点间的距离,其方法先选 定适当的位置 C,用经纬仪测出角 α ,再分别测出 AC,BC 的长 b,a, 则可求出 A,B 两点间的距离. 即 AB= a +b -2abcos α . 若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,试计算 AB 长. 解:在△ABC 中,由余弦定理得
2 2

AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,
∴AB =400 +600 -2×400×600cos 60°=280 000. ∴AB=200 7 m. 即 A、B 两点间的距离为 200 7 m. 【角度二】 两点间可视但有一点不可到达
2 2 2

如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测量者在 A 的同侧,且 B 点不可到达,要测出 AB 的距离,其方法在 A 所在的岸边选定一点 C, 可以测出 AC 的距离 m,再借助仪器,测出∠ACB=α ,∠CAB=β ,在 △ABC 中,运用正弦定理就可以求出 AB. 若测出 AC=60 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则 A、B 两点间的距离为________. 解析:∠ABC=180°-75°-45°=60°, 所以由正弦定理得, ∴AB= = , sin C sin B

AB

AC

AC·sin C 60×sin 45° = =20 6(m). sin B sin 60°

即 A、B 两点间的距离为 20 6 m. 答案:20 6 m 【角度三】 两点都不可到达

如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两点均不可到达,测出 AB

的距离,其方法测量者可以在河岸边选定两点 C,D,测得 CD=a,同时在 C,D 两点分别测 得∠BCA=α ,∠ACD=β ,∠CDB=γ ,∠BDA=δ .在△ADC 和△BDC 中,由正弦定理分别计 算出 AC 和 BC,再在△ABC 中,应用余弦定理计算出 AB. 若测得 CD= 间的距离. 解:∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,∠ACD=60°, ∴∠DAC=60°, ∴AC=DC= 3 . 2 3 km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求 A,B 两点 2

3 2 在△BCD 中,∠DBC=45°,由正弦定理,得 BC= ·sin∠BDC= ·sin sin∠DBC sin 45°

DC

30°=

6 . 4

在△ABC 中,由余弦定理,得

AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 45°

3 3 3 6 2 3 = + -2× × × = . 4 8 2 4 2 8 ∴AB= 6 (km). 4 6 km. 4

∴A,B 两点间的距离为

G.课堂小结 由学生整理学习了哪些内容?有什么收获? H.达标检测 一、选择题 1.从 A 处望 B 处的仰角为 α ,从 B 处望 A 处的俯角为 β ,则 α ,β 的关系为( A.α >β C.α +β =90° B.α =β D.α +β =180° )

解析:选 B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图,如图.知 α = β ,故应选 B. 2.两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km),灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C

南偏东 60°,则 A,B 之间距离为( A. 2a km C.a km

) B. 3a km D.2a km

解析:选 A △ABC 中,AC=BC=a,∠ACB=90°,

AB= 2a.
3.有一长为 10 m 的斜坡,倾斜角为 75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长 坡面的方法将它的倾斜角改为 30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是( A.5 C.10 2 B.10 D.10 3 )

解析:选 C 如图,设将坡底加长到 B′时,倾斜角为 30°,在△

ABB′中,利用正弦定理可求得 BB′的长度.
在△ABB′中,∠B′=30°, ∠BAB′=75°-30°=45°,AB=10 m, 由正弦定理,得 2 10× 2 BB′= = =10 2(m). sin 30° 1 2

ABsin 45°

∴坡底延伸 10 2 m 时,斜坡 的倾斜角将变为 30°. 4.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( A. C. 17 6 海里/小时 2 17 2 海里/小时 2 B.34 6海里/小时 D.34 2海里/小时 = , sin 45° sin 120° )

解析:选 A 如图所示,在△PMN 中,

PM

MN

68× 3 ∴MN= =34 6, 2

MN 17 ∴v= = 6(海里/小时). 4 2
5.如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按 固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西

105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲 船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里,则乙船每小时航行( A.10 2海里 C.30 海里 B.20 2海里 D.30 2海里 )

解析:选 D 如图,连结 A 1B2,在△A1A2B2 中,易知∠A1A2B2=60°,又易求得 A1A2=30 2 1 × =10 2=A2B2, 3 ∴△A1A2B2 为正三角形, ∴A1B2=10 2. 在△A1B1B2 中,易知∠B1A1B2=45°, ∴B1B2=400+200-2×20×10 2×
2

2 =200, 2

∴B1B2=10 2,∴乙船每小时航行 30 2海里. 二、填空题 6.某人从 A 处出发,沿北偏东 60°行走 3 3 km 到 B 处,再沿正东方向行走 2 km 到 C 处,则 A,C 两地距离为________km. 解析:如右图所示,由题意可知 AB=3 3,BC=2,∠ABC=150°. 由余弦定理,得

AC2=27+4-2×3 3×2×cos 150°=49, AC=7.
则 A,C 两地距离为 7 km. 答案:7 7.一蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕捉到一只小虫,然后向右转 105°,爬行 10 cm 捕捉 到另一只小虫,这时它向右转 135°爬行回它的出发点,那么 x=________. 解析:如图所示,设蜘蛛原来在 O 点,先爬行到 A 点,再爬行到

B 点,易知在△AOB 中,AB=10 cm,∠OAB=75°,
∠ABO=45°, 则∠AOB=60°,由正弦定理知:

AB·sin∠ABO 10×sin 45° 10 6 x= = = (cm). sin∠AOB sin 60° 3
10 6 答案: cm 3 8.某船开始看见灯塔在南偏东 30°方向,后来船沿南偏东 60°方向航行 30 n mile 后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离为________ n mile.

解析:如图所示,B 是灯塔,A 是船的初始位置,C 是船航行后的位置, 则 BC⊥AD,∠DAB=30°, ∠DAC=60°,则在 Rt△ACD 中,

DC=ACsin ∠DAC=30sin 60°=15 3 n mile, AD=ACcos ∠DAC=30cos 60°=15 n mile,
则在 Rt△ADB 中,

DB=ADtan∠DAB=15tan 30°=5 3 n mile,
则 BC=DC-DB=15 3-5 3=10 3 n mile. 答案:10 3 三、解答题 9.海岛 O 上有一座海拔 1 000 米的山,山顶上设有一个观察站 A,上午 11 时,测得一 轮船在岛北偏东 60°的 C 处,俯角 30°,11 时 10 分,又测得该船在岛的北偏西 60°的 B 处,俯角 60°.则该船的速度为每小时多少千米? 解:如图所示,设观察站 A 在水平面上的射影为 O,依题意 OB =

OA·tan 30°=

3 (千米), 3 3(千米),

OC=OA·tan 60°=
则 BC= =

OB2+OC2-2OB·OC·cos 120°

13 (千米). 3 13 10 ÷ =2 39(千米/小时). 3 60

∴船速 v=

10.甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60°方向的 B 处,两船相距 a 海里,乙船正 向北行驶,若甲船是乙船速度的 3倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙 船?此时乙船行驶多少海里. 解:设甲沿直线与乙船同时到 C 点, 则 A、B、C 构成一个 △ABC, 如图,设乙船速度为 v, 则甲船速度为 3v,到达 C 处用时为 t. 由题意 BC=vt,AC= 3vt,∠ABC=120°. 在△ABC 中, 由余弦定理

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°,
∴3v t =a +v t +avt.
2 2 2 2 2

∴2v t -avt-a =0, 解得 vt=- (舍)或 vt=a. 2 ∴BC=a, 在△ABC 中 AB=BC=a, ∴∠BAC=∠ACB=30°. 答:甲船应取北偏东 30°的方向去追乙,此时乙船行驶 a 海里.

2 2

2

a


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