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2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测67 离散型随机变量及其分布列]


课时跟踪检测(六十七) 离散型随机变量及其分布列 (分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.下列 4 个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的一个是( A. X P B. X P 0 0.3 1 -0.1 2 0.8 0 0.3 1 0.4 2 0.5 )

C. X P D. X P 0 1 7 1 2 7 2 3 7 1 0.2 2 0.5 3 0.3 4 0

2.袋中有大小相同的 5 个球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,现在在有放回抽取的条件 下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量 X,则 X 所有可能取值的个数是( A.5 C.10 B.9 D.25 )

3.一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用完后 装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,则 P(X=4)的值为( 1 A. 220 27 C. 220 27 B. 55 21 D. 25 )

4.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数, 则 P(X=0)等于( A.0 1 C. 3 ) 1 B. 2 2 D. 3

5.若 P(ξ≤x2)=1-β,P(ξ≥x1)=1-α,其中 x1<x2,则 P(x1≤ξ≤x2)等于________. 6.已知随机变量 ξ 只能取三个值:x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差 d 的取

值范围是________. 7.一位客人游览福州鼓山、福州永泰天门山、福州青云山这三个景点的概率分别是 0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设 Y 表示客人离开福州市时游览的景点数 与没有游览的景点数之差的绝对值.求 Y 的分布列.

8. (2013· 渭南模拟)设 A, B 是治疗同一种疾病的两种药, 用若干试验组进行对比试验. 每 个试验组由 4 只小白鼠组成,其中 2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效.若在一个试 验组中,服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的只数多,就称该试验组为甲类组.设 2 1 每只小白鼠服用 A 有效的概率为 ,服用 B 有效的概率为 . 3 2 (1)求一个试验组为甲类组的概率; (2)观察三个试验组,用 X 表示这三个试验组中甲类组的个数,求 X 的分布列.

第Ⅱ卷:提能增分卷

1.(2013· 济南模拟)某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加 A,B,C,D,E 五项考试,如果前四项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束; 考生未被淘汰时,一定继续参加后面的考试.已知每一项考试都是相互独立的,该考生参加 1 2 A,B,C,D 四项考试不合格的概率均为 ,参加第五项不合格的概率为 . 2 3 (1)求该考生被录取的概率; (2)记该考生参加考试的项数为 X,求 X 的分布列.

2.(2014· 安徽江南十校联考)某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了 n 位校友(n>8

且 n∈N*),其中女校友 6 位,组委会对这 n 位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中 选出 2 位校友代表,若选出的 2 位校友是一男一女,则称为“最佳组合”. 1 (1)若随机选出的 2 位校友代表为“最佳组合”的概率不小于 ,求 n 的最大值; 2 (2)当 n=12 时,设选出的 2 位校友代表中女校友人数为 ξ,求 ξ 的分布列.

3.为适应 2012 年 3 月 23 日公安部交通管理局印发的《加强机动车驾驶人管理指导意 见》 , 某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为: 从 10 个备选测试项目中随机抽 取 4 个,只有选中的 4 个项目均测试合格,科目二的培训才算通过.已知甲对 10 个测试项 目测试合格的概率均为 0.8;乙对其中 8 个测试项目完全有合格把握,而对另 2 个测试项目 根本不会. (1)求甲恰有 2 个测试项目合格的概率; (2)记乙的测试项目合格数为 ξ,求 ξ 的分布列.

答 案 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.选 C 利用离散型随机变量分布列的性质检验即可. 2.选 B X 的所有可能取值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10 共 9 个. 3.选 C 用完后装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量.当 X=4 时,说明
2 C1 27 9C3 取出的 3 个球有 2 个旧球,1 个新球,∴P(X=4)= 3 = ,故选 C. C12 220

4.选 C 设 X 的分布列为 X P 0 p 1 2p

即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,设失败率为 p,则成功率为 2p.由 1 p+2p=1,则 p= ,故应选 C. 3 5.解析:由分布列性质可有:P(x1≤ξ≤x2)= P(ξ≤x2)+P(ξ≥x1)-1=(1-β)+(1-α)-1=1-(α+β). 答案:1-(α+β) 6.解析:设 ξ 取 x1,x2,x3 时的概率分别为 a-d,a,a+d,则(a-d)+a+(a+d)=1,

?3-d≥0, 1 ∴a= ,由? 3 1 ?3+d≥0,
1 1 答案:- , 3 3

1

1 1 得- ≤d≤ . 3 3

7.解:分别记“客人游览福州鼓山”,“客人游览福州永泰天门山”,“客人游览福 州青云山”为事件 A1,A2,A3.因为事件 A1,A2,A3 是相互独立的,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5, P(A3)=0.6. 由于客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3, 相应地, 客人没有游览的景点数的可能取 值为 3,2,1,0,所以 Y 的所有可能取值为 1,3. 所以 P(Y=3)=P(A1· A2· A3)+P( A 1·A 2·A 3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P( A 1)P( A 2)P( A 3) =2×0.4×0.5×0.6=0.24, P(Y=1)=1-0.24=0.76. 所以 Y 的分布列为 Y P 1 0.76 3 0.24

8.解:(1)设 Ai 表示事件“一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠有 i 只”,i=0,1,2; Bi 表示事件“一个试验组中,服用 B 有效的小白鼠有 i 只”,i=0,1,2.依题意,有 1 2 4 P(A1)=2× × = , 3 3 9 2 2 4 P(A2)= × = , 3 3 9 1 1 1 P(B0)= × = , 2 2 4 1 1 1 P(B1)=2× × = . 2 2 2 1 4 1 4 1 4 4 故所求的概率为 P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)= × + × + × = . 4 9 4 9 2 9 9 (2)由题意知 X 的可能值为 0,1,2,3,故有

5?3 125 P(X=0)=? ?9? =729, 4 ?5?2 100 P(X=1)=C1 , 3× × 9 = 9 ? ? 243

?4?2 5 80 , P(X=2)=C2 3× 9 × = ? ? 9 243
4?3 64 P(X=3)=? ?9? =729. 从而,X 的分布列为 X P 0 125 729 1 100 243 2 80 243 3 64 729

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.解:(1)若该考生被录取,则前四项最多有一项不合格,并且第五项必须合格,记 A ={前四项均合格且第五项合格},B={前四项中仅有一项不合格且第五项合格}, 1?4 ? 2? 1 则 P(A)=? ?2? ×?1-3?=48, 1 ? 1?3 2 1 P(B)=C1 . 4× × 1-2 ×1- = ? 2 ? 3 12 又 A、B 互斥,故所求概率为 1 1 5 P=P(A)+P(B)= + = . 48 12 48 (2)该考生参加考试的项数 X 可以是 2,3,4,5. 1 1 1 P(X=2)= × = , 2 2 4

? 1? 1 1 1 P(X=3)=C1 2 1-2 × × = , ? ? 2 2 4 ? 1? ?1?2 1 3 P(X=4)=C1 3 1-2 × 2 × = , ? ? ? ? 2 16
1 1 3 5 P(X=5)=1- - - = . 4 4 16 16 X 的分布列为 X P 2 1 4 3 1 4 4 3 16 5 5 16

1 C1 12?n-6? n-6C6 12?n-6? 2.解:(1)由题意可知,所选 2 人为“最佳组合”的概率为 = ,则 C2 n?n-1? n?n-1? n

1 ≥ , 2

化简得 n2-25n+144≤0,解得 9≤n≤16,故 n 的最大值为 16. (2)由题意得,ξ 的可能取值为 0,1,2,
1 C2 5 C1 6 C2 5 6 6C6 6 则 P(ξ=0)= 2 = ,P(ξ=1)= 2 = ,P(ξ=2)= 2 = , C12 22 C12 11 C12 22

ξ 的分布列为 ξ P 0 5 22 1 6 11 2 5 22

3.解:(1)设甲的测试项目的合格数为 X,则 X~B(4,0.8),则甲恰有 2 个测试项目合格的 96 2 2 概率为 P(X=2)=C2 . 4(0.8) (1-0.8) = 625
2 1 C2 2 C3 8C2 8C2 (2)ξ 的可能取值为 2,3,4,且服从超几何分布,故 P(ξ=2)= 4 = ;P(ξ=3)= 4 = C10 15 C10

8 C4 1 8 ;P(ξ=4)= 4 = . 15 C10 3 所以 ξ 的分布列为: ξ P 2 2 15 3 8 15 4 1 3


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