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湖南师范大学附属中学2017届高三上学期月考(四)数学(文)试题-

炎德· 英才大联考湖南师大附中 2017 届高三月考试卷(四) 数 学(文科)

命题人:贺忠良 洪利民 黄钢 审题人:高三文科数学备课组 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 10 页。 时量 120 分钟。 满分 150 分。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)若集合中三个元素为边可构成一个三角形,则该三角形一定不可能是(A) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 【答案】A 【分值】5 【解析】由集合里元素的互异性可知选 A. 【解题思路】由集合元素的互异性,三个元素互不相等,故不可能是等腰三角形。 【考查方向】集合中元素的互异性。 【易错点】集合中元素互异性的判断。 (2)已知命题 p:若 a>b,则 a2>b2;q:“x≤1”是“x2+2x-3≤0”的必要不充分条件.则 下列命题是真命题的是(B) (A)p∧q (B)綈 p∧q (C)綈 p∧綈 q (D)p∧綈 q

【答案】B 【分值】5 【解析】命题 p:若 a ? b, 则a 2 ? b2 , 不正确,是假命题。
2 2 命题 q:由 x ? 2x ? 3 ? 0, 解得-3 ? x ? 1 ,因此 x ? 1是x ? 2 x ? 3 ? 0 的必要不充分条

件,是真命题。所以 p ? q, ?p ? ?q, p ? ?q 是假命题, ? p ? q 是真命题。 【解题思路】先判断命题 p,q 的真假,再利用复合真假的判定方法即可判断正误。 【考查方向】复合命题真假的判断,必要条件、充分条件和充要条件的判定。 【易错点】必要条件和充分条件的判定。
(3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=7,a6+a8=-6,则 Sn 取最大值时,n 的值为 (C) (A)3 (B)4 【答案】C 【分值】5 (C)5 (D)6

【解析】在等差数列 {an } 中,由 a6 ? a8 所以 d ?

? ?6, 得2a7 ? ?6, a7 ? ?3.又a 2 ? 7

a7 ? a2 ?3 ? 7 ? ? ?2, 所以a n ? a2 ? (n ? 2)d ? 7 ? 2(n ? 2) ? 11 ? 2n 7?2 5 11 由an ? 11 ? 2n ? 0, 得n ? , 因为n ? N + , 所以 Sn 取最大值时,n 的值为 5,故选 C 2 【解题思路】由已知结合等差数列的性质求得 a7 ,进一步求得公差,代入等差数列的通项
公式,由通项大于 0 求得答案。 【考查方向】等差数列的前 n 项和,通项公式。 【易错点】公差的求解。 2x (4)函数 y= 的图象大致为(B) ln|x|

【答案】B 【分值】5 【解析】易得该函数为奇函数可排除 A,C,当 ?1 ? x ? 0时y ? 0, 故选 B 【解题思路】观察四个图像知 A 与 B、C、D 不同(在 y 轴左侧没有图象),故审定义域, 同理审 B、C、D 的不同,从而利用排除法求解。 【考查方向】函数的奇偶性,数形结合思想。 【易错点】排除法的灵活应用。 (5)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,且|AB|=4,这样的直线可 以作 2 条,则 p 的取值范围是(D) (A)(0,4) (B)(0,4] (C)(0,2] (D)(0,2) 【答案】D 【分值】5
[:...]

? 2 px( p ? 0) 的通径长为 2p,当过抛物线焦点的直线与抛物线不垂直 p 时,设直线方程为 y ? k ( x ? ) 2 p ? ? y ? k(x ? ) 2 2 2 2 2 联立 ? 2 得 4k x ? (4k p ? 8 p) x ? k p ? 0 2 ? ? y ? 2 px
【解析】抛物线 y
2

k2 p ? 2p ,根据抛物线的性质可得 k2 2p AB ? AF ? BF ? p ? ( x1 ? x2 ) ? p ? p ? 2 ? 2 p , 所以抛物线的焦点弦中通径最短 k 则要使满足 AB ? 4 的直线可以做 2 条,则通径 2 p ? 4,即p ? 2 ,
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则x1 ? x2

?

所以 p 的取值范围是(0,2),故选 D 【解题思路】证明抛物线的焦点弦中通径长最短,则要使满足 需通径 2 p ? 4,即p ? 2 ,可得 p 的取值范围。 【考查方向】抛物线的性质 【易错点】判断抛物线焦点弦中通径长最短。 (6) 已知 an = logn + 1(n + 2)(n ∈ N*) , 观察下列算式: a1 · a2 = log23 · log34 = a1· a2· a3· a4· a5· a6=log23· log34· ?· log78= =2 016(m∈N*),则 m 的值为(C) (A)22 016+2 (B)22 016 (C)22 016-2 【答案】C 【分值】5 lg 3 lg 4 · =2; lg 2 lg 3

AB ? 4 的直线可以作 2 条,

lg 3 lg 4 lg 8 · · ?· =3, ?; 若 a1· a2· a 3· ?·am lg 2 lg 3 lg 7

(D)22 016-4

【解析】由已知得 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? am

?

lg(m ? 2) ? 2016 , lg 2

lg(m ? 2) ? lg 22016 , 解得m ? 22016 ? 2 ,故选 C 2016 【解题思路】由已知得 lg(m ? 2) ? lg 2 ,由此能求出 m.
【考查方向】对数式的求解,归纳推理。 【易错点】找规律,归纳推理。 (7)阅读如图所示的程序框图,若输出的数据为 58,则判断框中应填入的条件为(B)

(A)k≤3 (B)k≤4 (C)k≤5 (D)k≤6 【答案】B 【分值】5 【解析】当 S=0,k=1 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=1,k=2, 当 S=1,k=2 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=6,k=3, 当 S=6,k=3 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=21,k=4, 当 S=21,k=4 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=58,k=5, 当 S=58,k=5 时,满足输出条件,故判断框中应填入的条件为 k≤4,故选 B. 【解题思路】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值得变化情况,可得答案。 【考查方向】程序框图的理解,循环结构的计算。 【易错点】循环结构的计算。 (8)已知 f(x)是奇函数并且是 R 上的单调函数,若函数 y=f(x2+2)+f(-2x-m)只有一个零 4 点,则函数 g(x)=mx+ (x>1)的最小值是(A) x-1 (A)5 (B)-3 (C)3 (D)-5 【答案】A 【分值】5

f ( x2 ? 2) ? f (?2x ? m) ? 0 等价于 f ( x2 ? 2) ? f (2 x ? m) ,因为函数 y ? f ( x2 ? 2) ? f (?2x ? m) 只有一个零点,所以 x2 ? 2 ? 2 x ? m 有唯一解,判别式为零,即 ? ? 4 ? 4(2 ? m) ? 0 ,解得 m=1.所以函数 4 4 g ( x) ? x ? ? x ?1? ? 1( x ? 1) ,因为 x ? 1 ,所以 x ? 1 ? 0 ,所以 x ?1 x ?1 4 4 x ?1 ? ? 1 ? 2 ( x ? 1) ? ? 1 ? 5 ,当且仅当 x=3 时取等号,故选 A x ?1 x ?1 2 【解题思路】 f ( x ) 是 R 上的单调奇函数,所以 x ? 2 ? 2 x ? m 只有一个实数解,则 4 ? ? 4 ? 4(2 ? m) ? 0 ,所以 g ( x) ? x ? 的最小值即可求得。 x ?1
【解析】由于函数 f ( x ) 是奇函数且单调,故 【考查方向】函数奇偶性和单调性的综合应用,均值不等式的应用。 【易错点】函数单调性的应用。 (9)三棱锥 P-ABC 中,AB=BC= 15,AC=6,PC⊥平面 ABC,PC=2,则这三棱锥的外 接球表面积为(D) 25 25 83 83 (A) π (B) π (C) π (D) π 3 2 3 2 【答案】D 【分值】5
[:]

【解析】由题可知, ? ABC 中,AC 边上的高为

15-32 = 6 ,球心 O 在底面 ABC 的投影
? 32 ? ( 6 ? x)2 ,解得 x ?
5 6 4

2 即为 ? ABC 的外心 D,设 DA ? DB ? DC ? x ,所以 x

83 ? PC ? 75 所以 R ? x ? ? ? ? ? 1 ? (其中 R 为三棱锥外接球的半径),所以外接球的表面积 8 8 ? 2 ? 83 S ? 4? R 2 ? , 故选 D 8 【解题思路】根据已知条件得出 ? ABC 的外接圆的半径,利用勾股定理得出外接球的半径,
2 2

2

即可求出三棱锥的外接球表面积。 【考查方向】三棱锥外接球的半径,球的表面积。 【易错点】外接球半径的求解。 (10)O 为△ABC 内一点,且 2++=0,=t,若 B,O,D 三点共线,则 t 的值为(A) 1 1 1 2 (A) (B) (C) ( D) 3 4 2 3 【答案】A 【分值】5 【解析】以 OB,OC 为邻边作平行四边形 OBFC,连接 OF 与 BC 相交于点 E,E 为 BC 的中点. 因为 2OA ? OB ? OC ? 0, 所以 OB+OC ? ?2OA ? OF

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ????

??? ? ??? ?

点。因为 B,C,D 三点共线, AD ? t AC ,所以点 D 是 BO 与 AC 的交点。

????

????

??? ? ? 2OE ,所以点 O 是直线 AE 的中

1 1 EC ? BC 2 4 ???? ???? 1 DM 1 1 2 1 ? , DM ? MC ,所以 AD ? AM ? AC , AD ? t AC ,所以 t ? ,故选 A 所以 3 DC 4 3 3 3
过点 O 作 OM ? BC 交 AC 于点 M,则点 M 为 AC 的中点,则 OM ? 【解题思路】以 OB,OC 为邻边作平行四边形 OBFC,连接 OF 与 BC 相交于点 E,E 为 BC 的中 点. 因为 2OA ? OB ? OC ? 0, 所以 OB+OC ? ?2OA ? OF

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ????

??? ? ??? ?

因为 B,C,D 三点共线, AD ? t AC ,所以点 D 是 BO 与 AC 的交点。过点 O 作 OM ? BC 交 AC 于 点 M,则点 M 为 AC 的中点,利用平行线的性质即可求出。 【考查方向】本题考查了向量三角形法则、平行线的性质定理、向量共线定理三角形中位线 定理,考查了推理能力与计算能力。 【易错点】平行向量和共线向量的计算。

????

????

??? ? ? 2OE ,所以点 O 是直线 AE 的中点。

x2 y2 (11)如图,F1、F2 是双曲线 2- =1(a>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线交于点 A、 a 24 B,若△ABF2 为等边三角形,则△BF1F2 的面积为(C)

(A)8 (B)8 2 【答案】C

(C)8 3

(D)16

【分值】5 【解析】根据双曲线的定义,可得

AF1 ? AF2 ? 2a, 因为 ? ABF2 是等边三角形,即

AF2 ? AB ,所以 AF1 ? AB ? 2a,即 AF1 ? AB = BF1 ? 2a
又因为

BF2 ? BF1 ? 2a, 所以 BF2 = BF1 +2a ? 4a ,因为 ? BF1F2 中, BF1 ? 2a ,
2 2 2

BF2 ? 4a, ?F1BF2 ? 120? ,所以 F1 F2 ? BF1 ? BF2 ? 2 BF1 ? BF2 cos120? ,
即 4c ? 4a ? 16a ? 2 ? 2a ? 4a ? (? ) ? 28a ,解得 c ?
2 2 2 2

1 2

7a ,所以 a 2 ? 24 ? 7a 2 ,

所以 a ? 2 , ? BF1 F2 的面积为 S? BF1F2 ?

1 1 ? 2a ? 4a ? ( ) ? 28a 2 ,故选 C 2 2 ? 【解题思路】根据双曲线的定义算出 ? BF1 F2 中, BF 1 ? 2a , BF 2 ? 4a, ?F 1BF 2 ? 120
利用余弦定理算出 c ?

7a ,可求得 a ? 2 ,即可求出 ? BF1F2 的面积。

【考查方向】本题主要考查双曲线的几何性质、定义,三角形面积等知识,考查学生灵活应 用定义解题的能力和数形结合能力。 【易错点】双曲线定义和性质的正确利用。 f(x1)-f(x2) (12)定义在 R 上的函数 f(x)对任意 x1,x2(x1≠x2)都有 <0,且函数 y=f(x-1) x1-x2 t-2s 的图象关于(1,0)成中心对称,若 s,t 满足不等式 f(s2-2s)≤-f(2t-t2),则当 1≤s≤4 时, s+t 的取值范围是(D) 1 1 -3,- ? (B)?-3,- ? (A)? 2 2? ? ? ? 1 1 ? ? ? (C)? ?-5,-2? (D)?-5,-2? 【答案】D 【分值】5
[:.]

【解析】设 x1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,知f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x) 为减函数,因为函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于(1,0)成中

? x2 , 则 x1 ? x2 ? 0,由

f (s2 ? 2s) ? ? f (2t ? t 2 ) ? f (t 2 ? 2t ) ,所以 t ? 2s 3s 3 ,而在条件 s2 ? 2s ? t 2 ? 2t,即(s ? t )(s ? t ? 2) ? 0 ,因为 ? 1? ? 1? t s ?t s ?t 1? s ?(s ? t )(s ? t ? 2) ? 0 t ?1 ? t ? 1 ? 下,通过线性规划易求得 ? ? ,1 ,所以 1 ? ? ,2 , ? ? ? 1? s ? 4 s ? s ? 2 ? ?2 ? ? ? 3 3 1? t ? 2s ? 1? ?3 ? ? 所以 ? ? , 6 ? ,所以 1 ? ? ? ?5, ? ? ,即 ? ? ?5, ? ? ,故选 D t ?2 ? t ? 2? s?t ? 2? 1? 1? s s 【 解 题 思 路 】 根 据 已 知 条 件 可 得 到 f ( x) 在 R 上 为 减 函 数 且 是 奇 函 数 , 所 以 f (s2 ? 2s) ? ? f (2t ? t 2 ) ? f (t 2 ? 2t ) ,所以 s2 ? 2s ? t 2 ? 2t,即(s ? t )(s ? t ? 2) ? 0 ,因 t ? 2s 3s 3 为 ,而在条件 ? 1? ? 1? t s ?t s ?t 1? s ( s ? t )( s ? t ? 2) ? 0 ? t ? 2s ? 1? 下,可求得 ? ? ?5, ? ? 。 ? 1? s ? 4 s?t ? 2? ?
心对称,所以 y ? f ( x) 为奇函数,所以

【考查方向】本题主要考查减函数、奇函数的定义,以及二元一次不等式组表示平面区域, 线性规划的概念及其应用。 【易错点】不等式的求解。 选择题答题卡 题 号 答 案 (1) A (2) B (3) C (4) B (5) D (6) C (7) B (8) A (9) D (10) A (11) C (12) D

[:.]

[:]

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 (22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 1? ? 1? (13)若 0<a<1,则关于 x 的不等式(a-x)? ?x-a?>0 的解集是__?a,a?__. 【答案】 ? a, 【分值】5 【解析】因为 0 ? a ? 1 ,所以

? ?

1? ? a?

1 1 ? 1 ,则不等式 (a ? x)( x ? ) ? 0 的解集就是 a a 1 1 ? ? ( x ? a )( x ? ) ? 0 的解集,即有 ? x | a ? x ? ? a a? ?

【解题思路】 通过 a 的值得范围判断两个因式的根的大小, 利用二次不等式的解法即可得到 结果。 【考查方向】一元二次不等式的解法。 【易错点】一元二次不等式的正确解法。 (14)如图所示,在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD,为了测量 该山坡相对于水平地面的坡角 θ, 在山坡的 A 处测得∠DAC=15°, 沿山坡前进 50 m 到达 B 处, 又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得 cos θ =__ 3-1__.

【答案】 【分值】5

3 ?1
?

, ?DBC ? 45? , 所以 ?ADB ? 30? ,在 ? ABD 中,由正弦定理 AB BD 50 BD ? 即 ? 得 ,所以 BD ? 25( 6 ? 2) ,在 ? BCD 中,由 1 sin ?ADB sin ?BAD, 6? 2 2 4 CD BD 25 25( 6 ? 2) ? 正弦定理得 ,即 ,所以 sin ?BCD ? 3 ? 1, ? sin ?DBC sin ?BCD sin ?BCD 5 2 所以 cos? ? sin(? ? ?BCD) ? sin ?BCD ? 3 ?1 【解题思路】在 ? ABD 中,由正弦定理解出 BD,在 ? BCD 中解出 sin ?BCD ,则 cos? ? sin(? ? ?BCD) ? sin ?BCD ? 3 ?1
【考查方向】解三角形的实际应用。

【解析】因为 ?DAC ? 15

【易错点】正弦定理的正确运用。 (15)如图,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC 边上的高分别为 BD、AE,若以 1 1 A、B 为焦点,且过 D、E 的椭圆与双曲线的离心率分别为 e1,e2,则 + 的值为__ 3__. e1 e2

【答案】 【分值】5

3

【解析】设

AB ? 2c ,则在椭圆中,有 c ? 3c ? 2a, 所以
3c ? c ? 2a ,所以

1 a 1? 3 ? ? e1 c 2

而在双曲线中,有 即

1 a 3 ?1 1 1 1? 3 3 ?1 ,所以 ? ? ? ? ? e2 c 2 e1 e2 2 2

1 1 ? ? 3。 e1 e2

【解题思路】根据提议设出 AB,进而根据椭圆的定义可求得 a 和 c 的关系式,求得椭圆的 离心率,利用双曲线的性质,求得 a 和 c 的关系,求得双曲线的离心率,即可求得。 【考查方向】本题考查了椭圆和双曲线的定义与简单几何性质。 【易错点】椭圆定义和双曲线性质的正确运用。. (16)某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息: ①题目:“在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 x2+2y2=1 的左顶点为 A,过点 A 作两条 斜率之积为 2 的射线与椭圆交于 B,C,?” 1-2k2 2k ? 5 , ②解:“设 AB 的斜率为 k,?点 B? ,D?- ,0?,?” ?1+2k2 1+2k2? ? 3 ? 3k 据此,请你写出直线 CD 的斜率为__ 2 __.(用 k 表示) 2k +4 【答案】

3k 2k 2 ? 4

【分值】5

? 1 ? 2k 2 2k ? 2 ,将其代入 B ? 可得 , 2 2 ? k ? 1 ? 2k 1 ? 2k ? 4k 2 ? k 2 ? 8 4k ? k ? 8 ? 3k C? 2 , 2 ? ,运用斜率公式可得: kCD ? 2 k ? 8 5 2k 2 ? 4 ? k ?8 k ?8? ? k2 ?8 3 ? k 2 ? 8 4k ? 2 【解题思路】由题意得直线 AC 的斜率为 ,可得点 C ? 2 , 2 ? ,运用直线的斜 k ? k ?8 k ?8?
【解析】由题设知 AC 的斜率是 率公式,计算即可得到。 【考查方向】本题考查椭圆的方程和性质,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算能力。 【易错点】注意斜率的正确计算。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 且 满 足 cos 2C - cos 2A = π ?π ? 2sin? +C?· ?3 ? sin? 3 -C?. (Ⅰ)求角 A 的值;

【答案】 A ? 【分值】5

?
3

或A ?

2? 3
2 2

【解析】由已知得 2sin A ? 2sin C ? 2 ? 故A?

?
3

或A ?

2? 3

3 1 ?3 ? , cos 2 C ? sin 2 C ? ,化简得 sin A ? 2 4 ?4 ?

【解题思路】利用三角函数恒等变换化简即可得 sin A ? 【考查方向】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用。 【易错点】三角函数恒等变换的用法。 (Ⅱ)若 a= 3,且 b≥a,求 2b-c 的取值范围. 【答案】 ? 3, 2 3

3 ,即可得 A 的值。 2

?

?

【分值】7

b c a ? ? ,得 b ? 2sin B, c ? 2sin C ,故有 sin B sin C sin A ?? ? 2? ? ? 2b ? c ? 4sin B ? 2sin C ? 4sin B ? 2sin ? ? B ? ? 3sin B ? 3 cos B ? 2 3 sin ? B ? ? 6? ? 3 ? ? ? 2? ? ? ? ?? ? , ? B ? ? ,得 2b ? c ? 2 3sin ?B ? ? ? ? 3,2 3 因为 b ? a ,所以 ? B ? 3 3 6 6 2 6? ? ? 【解题思路】由 a ? 3 和正弦定理可得 b ? 2sin B, c ? 2sin C ,从而利用三角函数恒等
【解析】由正弦定理

?

变换的应用可得 2b ? c ? 2 3 sin ? B ?

? ?

??

? ? ? ? ,结合 6 ? B ? 6 ? 2 ,可得到 2b ? c 的范围。 6?

【考查方向】本题考查了正弦定理很三角函数恒等变换在解三角形中的应用。 【易错点】三角函数的恒等变换。 (18)(本小题满分 12 分) 设数列{an}满足:a1=1,点(an,an+1)(n∈N*)均在直线 y=2x+1 上. (Ⅰ)证明数列{an+1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式; 【答案】 an 【分值】6 【解析】证明:由点

? 2n ?1

? an , an?1 ? (n ? N * ) 均在直线 y=2x+1 上可知 an?1 ? 2an ?1 ,则
an ?1 ? 1 ? 2(n ? N * ) ,即数列 ?an ?1? 是以 2 为 an ? 1

an?1 ? 1 ? (2an ? 1) ? 1 ? 2(an ? 1) ,于是
公比的等比数列。因为 an

? 1 ? (a1 ? 1)2n?1 ? 2n ,所以 an ? 2n ?1

【解题思路】根据点在直线上,然后利用等比数列的定义即可证明 用等比数列的通项公式求得 an

?an ?1? 为等比数列,利

【考查方向】本题考查了等比数列的定义和证明方法,考查了等比数列的通项公式。 【易错点】等比数列的通项公式正确求解。 (Ⅱ)若 bn=log2(an+1),求数列{(an+1)· bn}的前 n 项和 Tn. 【答案】 T 【分值】6 【解析】 bn
n

? (n ?1) ? 2n?1 ? 2

? log2 (an ?1) ? log2 2n ? n ,所以 (an ? 1)bn ? n? 2n ,

Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? n ? 2n ①

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ②
①-②得

?Tn ? 1? 2 ? 1? 2 ? 1? 2 ? ? ? 1?2 ? n ? 2
1 2 3 n

n ?1

2(1 ? 2n ) ? ? n ? 2n?1 ? ?2 ? (n ? 1) ? 2n?1 1? 2

故 Tn

? (n ?1) ? 2n?1 ? 2

【解题思路】利用错位相减法即可求得 Tn 【考查方向】本题考查了利用错位相减法求数列的前 n 项和的方法,考查了运算能力。 【易错点】错位相减时注意运算。 (19)(本小题满分 12 分) 如图, 在底面是菱形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, ∠ABC=60°, AA1=AC=2,A1B=A1D =2 2,点 E 在 A1D 上.

(Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABCD; 【答案】 AA 1 ? 平面ABCD 【分值】5 【解析】证明:因为底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60 ,所以 AB=AD=AC=2,在 ? AA1B
?

中,由 AA 1

? AB2 ? A1B2知AA1 ? AB ,同理 AA1 ? AD ,又因为 AB ? AD ? A ,所以 AA1 ? 平面ABCD
2

【解题思路】使用菱形的性质和勾股定理的逆定理证明 出 AA 1

AA1 ? AB , AA1 ? AD ,从而得

? 平面ABCD 。

【考查方向】本题考查线面垂直的判定。 【易错点】注意线面垂直判定的条件。 A1E (Ⅱ)当 为何值时,A1B∥平面 EAC,并求出此时直线 A1B 与平面 EAC 之间的距离. ED 【答案】

A1E 2 21 ? 1,d= ED 7

【分值】7

A1 E AE ? 1 时, A1 B ? 平面 EAC。连结 BD 交 AC 于 O,当 1 ? 1 时,即点 E ED ED 为A 1B ,所以 A 1 B ? 平面 EAC。 1 D 的中点时,连接 OE,则 OE ? A
【解析】当 直线 A 1B 与平面 EAC 之间的距离等于点 A 1 到平面 EAC 的距离。 因为点 E 为 A 1 D 的中点,可转化为 D 到平面 EAC 的距离, VD? EAC 设 AD 的中点为 F,连接 EF,则 EF

? VE ? ACD

? AA1 ,所以 EF ? 平面ACD ,且 EF=1,可求得

1 3 ,又 AE ? 2,AC ? 2,CE ? 2, S? ACD ? 3,VE ? ACD ? ?1? 3 ? 3 3

1 3 2 21 7 ,所以 S? AEC ? d ? (d 表示点 D 到平面 EAC 的距离), d ? 。 3 3 7 2 2 21 所以 A 1B 与平面 EAC 之间的距离为 7 AE 【解题思路】当 1 ? 1 时, A1 B ? 平面 EAC。点 E 为 A 1 D 的中点,利用三角形中位线可 ED 得 OE ? A 1B ,再利用线面平行的判定定理即可证明。由 OE 是 ? A 1 BD 的中位线,可求出点 S? AEC ?
D 到平面 EAC 的距离直线 A 再利用 VD? EAC 1B 与平面 EAC 之间的距离, 距离。 【考查方向】本题考查线面平行的判定,等体积法求线面之间的距离。 【易错点】等体积法的应用。

? VE ? ACD 即可求出

(20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; 【答案】 2 ,其右焦点是圆 E:(x-1)2+y2=1 的圆心. 2

x2 ? y2 ? 1 2

【分值】4

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,半焦距为 c,因为椭圆的右焦点是圆 E 的 a 2 b2 2 c 2 圆心, 则 c=1.因为椭圆的离心率为 , 则 ? ,即a ? 2 c ? 2 ,从而 b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 2 a 2 2 x ? y2 ? 1 故椭圆 C 的方程为 2 2 【解题思路】根据题中已知可得 c=1 ,再由椭圆离心率为 ,可得 a ? 2 ,从而 2 b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,可求得椭圆标准方程。
【解析】设椭圆方程为 【考查方向】考查椭圆的标准方程。 【易错点】注意 a,c 的求解。 (Ⅱ)如图,过椭圆 C 上且位于 y 轴左侧的一点 P 作圆 E 的两条切线,分别交 y 轴于点 M、

N.试推断是否存在点 P,使|MN|=

14 ?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 3

【答案】 P ? ?1, ? 【分值】8 【解析】设点

? ? ?

2? ? 2 ? ?

p( x0 , y0 )( x0 ? 0), M (0, m), N (0, n), 则直线 PM 的方程为 y ? ? 0 ,因为圆心 E(1,0)到直线 PM 的距离为 1,则

y0 ? m x?m x0

即 ( y0 ? m) x ? x0 y ? mx0

y0 ? m ? x0 m ( y0 ? m) ? x
2 2 0

2 2 2 ? 1, 即(y0 -m)2 ? x0 ? ( y0 ? m) 2 ? 2 x0 m( y0 ? m) ? x0 m ,即

( x0 ? 2)m2 ? 2 y0m ? x0 ? 0 ,同理 ( x0 ? 2)n2 ? 2 y0n ? x0 ? 0 ,由此可知,m,n 为方程 ( x0 ? 2) x2 ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两个实根,所以 m ? n ? ?
2 y0 x , mn ? ? 0 , x0 ? 2 x0 ? 2

MN ?

2 2 x0 ? 8 x0 ? 4 2( x0 ? 2) 2 ? 4 4 ? ? 2? 2 2 ( x0 ? 2) ( x0 ? 2) ( x0 ? 2)2



2?

4 14 , 则 ( x0 ?2 ? ) 2 ( x0 ? 2) 3

2

2 因为 x0 ? 0 , 则 x0 ? ?1 ,y0 ? 1 ? 9 ? ,

2 x0 1 ? , 2 2

即 y0 ? ?

? 2? 2 ,故存在点 P ? ?1, ? ? 满足条件。 ? 2 ? 2 ? ?

【解题思路】假设点

p( x0 , y0 )( x0 ? 0), M (0, m), N (0, n), 求出直线 PM 的方程,根据圆心

E(1,0)到直线 PM 的距离为 1,求出 m 与点 P 坐标之间的关系,同理求出 n 与点 P 之间的关系, 再利用韦达定理求出

MN ,从而求出 P 点坐标。

【考查方向】圆与椭圆的位置关系。 【易错点】圆与椭圆位置关系的正确应用,韦达定理的运用。 (21)(本小题满分 12 分) 1 1 已知函数 f(x)= ax2-2ax+ln x 有两个不同的极值点 x1,x2,且 x1·x2> . 2 2 (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (1,2) 【答案】 【分值】4 【解析】f
'

( x) ? ax ? 2a ?

1 ax 2 ? 2ax ? 1 ' ? ( x ? 0) , x 2 ?a x 2 ?1 ?0 令 f (x 则a ) ? 0 , x x

? ? a?0 ?a (a ? 1) ? 0 ? ? 2 根据题意方程有两个不等正根,则 ? ? ? 4a ? 4 a ? 0 ,即 ? 1 1 ? ? ? 1 ? a 2 ? x1 x2 ? ? 2 (1,2) 解得 1 ? a ? 2 ,故实数 a 的取值范围是 。
【解题思路】对函数求导,由题意可得 f ( x) ? 0 有两个不等实根,且 x1 x2 ?

1 ,根据方程 2

的根与系数关系建立关于 a 的不等式,从而求出 a 的范围。 【考查方向】本题考查了函数的导数的应用。 【易错点】根与系数关系的正确运用。 2 (Ⅱ)设上述 a 的取值范围为 M, 若存在 x0∈?1+ ,2?, 不等式 f(x0)+ln(a 2 ? ? 使对任意 a∈M, +1)>m(a2-1)-(a+1)+2ln 2 恒成立,求实数 m 的取值范围 【答案】 ? ??, ? 【分值】8

? ?

1? ? 4?
2

1 1 ? a ?1 ,即 x ? 1 ? 1 ? 或x ? 1 ? 1 ? a a ? ? 1? ? 1 所以 f ( x ) 在 ? ??,1 ? 1 ? ? 和 ?1 ? 1 ? , ?? ? 上是增函数,因为 1 ? a ? 2 ,则 ? ? ? ? a? ? a ? ? ? ? 1 2 2 ? 2 ? 1? 1? ? 1? , 2 ? 上是增函数。当 x ? ?1 ? , 2? 时, ,所以 f ( x ) 在 ?1 ? 2 ? 2 ? a 2 ? ? 2 当 a ? (1, 2) , f ( x)max ? ln(a ? 1) ? m(a ?1) ? (a ? 1) ? 2ln 2 f ( x)max ? f (2)? ? 2a ? ln 2
【解析】由 ax ? 2ax ? 1 ? 0 ,得 a( x ? 1)
2

? a ? m ? 1 ? ln 2 ? 0 恒成立,设 g (a) ? ln(a ? 1) ? ma2 ? a ? m ? 1 ? ln 2 1 ?2am(a ? 1 ? ) 1 ' 2 m 则 g (a ) ? ? 2ma ? 1 ? a ?1 a ?1 ' (1)当 m ? 0 时,因为 a ? (1, 2) ,则 g (a) ? 0 ,所以 g ( a ) 在(1,2)上是减函数,此时, g (a) ? g (1) ? 0 ,不合题意。 1 1 1 ? ?1, 即m ? - ,因为 a ? (1, 2), 则a ? 1 ? ? 0, g ' (a ) ? 0 (2)当 m ? 0 时,若 1 ? 2m 4 2m 所以 g ( a ) 在(1,2)上是增函数,此时 g (a) ? g (1) ? 0 ,符合题意 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ?1, 即- ? m ? 0 , ?0 若1 ? 则 ? ?1 ? 当 1 ? a ? ? ?1 ? 时,a ? 1 ? ? 1, ? ? 2m 4 2m ? 2m ? ? 2m ?
即 ln(a ? 1) ? ma
2

? ? 1 ?? (a) ? 0 ,所以 g (a) 在 ?1, ? ?1 ? ? ? 上是减函数,此时 g (a) ? g (1) ? 0 ,不合题意。 ? ? 2m ? ? 1? ? 综上可得,m 的取值范围是 ? ??, ? ? 。 4? ? ? ? 1? ? 1 【解题思路】由(1)中 a 的范围可判断 f ( x ) 在 ? ??,1 ? 1 ? ? , ?1 ? 1 ? , ?? ? 上的单 ? ? ? a? a ? ? ? ?
则g
'

调性,可得 f ( x ) 在 ?1 ?

?

? 2 知整理可得不等式 ln(a ? 1) ? ma ? a ? m ? 1 ? ln 2 ? 0 恒成立,通过研究函数

2 ? , 2 ? 上的单调性,从而可求得 f ( x)max ? f (2) ? ?2a ? ln 2 ,由已 2 ?

g (a) ? ln(a ? 1) ? ma2 ? a ? m ? 1 ? ln 2 的单调性即可求得。
【考查方向】 本题考查了函数的导数在求解函数的极值、 函数的单调性以及函数的最值中的应用, 考查分类讨论和构造转化思想的应用。 【易错点】函数的导数在最值、单调性中的应用。 请考生在(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 1 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ-6cos θ +2sin θ + =0, 以极点为平面直角坐标系的原点, ρ 极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系,在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 经过点 P(3, π 3),倾斜角 α= . 3 (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程;

? y2 ? 6x ? 2 y ?1 ? 0 ? ? x ? 3 ? t cos ? ? 3 直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ? ? y ? 3 ? t sin ? 3 ?
【答案】曲线 C 的直角坐标方程 x
2

【分值】5 【解析】曲线 C 化为: ?
2 2

? 6? cos? ? 2? sin ? ? 1 ? 0. 再化为直角坐标方程为 x ? y ? 6x ? 2 y ? 1 ? 0 ,化为标准方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 , ? ? x ? 3 ? t cos ? ? 3 直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ? y ? 3 ? t sin ? ? 3 ? 2 2 2 【解题思路】运用 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , x ? y ? ? ,化简可得曲线 C 的直角坐标方
2

程,运用直线的参数方程的标准形式,可得直线的方程。 【考查方向】本题考查极坐标与直角坐标之间的转化问题。 【易错点】注意正确运用公式。 (Ⅱ)设 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|AB|的值. 【答案】

AB ? 2 5
2

【分值】5 【解析】将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,整理得: t

? 4 3t ? 7 ? 0

? ? (4 3) ? 4 ? 7 ? 20 ? 0 ,则 t1 ? t2 ? ?4 3, t1 ? t2 ? 7
2

所以

AB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1 ? t2 ? 48 ? 28 ? 2 5

【解题思路】将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程,可得 t 的二次方程,由韦达定理和弦长公 式计算即可求解。 【考查方向】本题考查了极坐标方程,参数方程与普通方程得转化,韦达定理和弦长公式的 应用, 【易错点】弦长公式的正确应用。 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|,g(x)=m-2|x-5|, 若 2f(x)≥g(x+2)恒成立,实数 m 的最大值为 t. (Ⅰ)求实数 t.

【答案】 t 【分值】5

?8

【解析】由题意得 ?x ? R,2 f ( x) ? 2

x ?1 ? g( x ? 2) ? m ? 2 x ? 2 ? 5 ? m ? 2 x ? 3 ,

从而有 m ? 2 x ? 3 ? x ? 1 ,由绝对值不等式的性质可知

?

?

2 ? x ? 3 ? x ? 1 ? ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) ? 8 ,因此实数 m 的最大值 t ? 8
【解题思路】若 2 f ( x) ? g ( x ? 2) 恒成立,可得 m ? 2 x ? 3 ? x ? 1 ,而由绝对值三角 不等式可得 2 x ? 3 ? x ? 1 ? 8 ,即可得 t. 【考查方向】本题主要考查绝对值三角不等式。 【易错点】绝对值三角不等式的正确运用。 t (Ⅱ)已知实数 x、y、z 满足 2x2+3y2+6z2=a(a>0),且 x+y+z 的最大值是 ,求 a 的值. 8 【答案】 a ? 1 【分值】5 【解析】由柯西不等式
2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? ? 1 1 1 ? ? ( 2 x ) 2 ? ( 3 y ) 2 ? ( 6 z ) 2 ? ?? ? 2x ? ? 3y ? ? 6z ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? ? 3 6 ? ?? 2 ? ? 3 ? ? 6 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 因为 2 x ? 3 y ? 6 z ? a(a ? 0) ,所以 a ? ( x ? y ? z) ,因为 x ? y ? z 的最大值是 1,所以

?

?

?

?

当 a=1,2x=3y=6z 时,x+y+z 取最大值,所以 a=1. 再由 x ? y ? z 的最大值是 1,可得 a 的值。 【解题思路】由柯西不等式得 ( x ? y ? z)
2

? 2x2 ? 3 y 2 ? 6z 2 ,即可得 a ? ( x ? y ? z)2 ,

【考查方向】本题主要考查柯西不等式的应用。 【易错点】注意柯西不等式的正确利用。


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