当前位置:首页 >> 高考 >> 2013高考数学压轴题汇编-31套(历年真题和各省知名中学高三模拟题)

2013高考数学压轴题汇编-31套(历年真题和各省知名中学高三模拟题)


高考数学压轴题练习 1
1. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 值范围; 设 b ? 0, a ? 1 ,求证:

1? x ? ln x 在 [1,?? ) 上是增函数。求正实数 a 的取 ax

1 a?b a ?b ? ln ? . a?b b b

1、解: (1) f ( x) ?
'

ax ?1 ? 0 对 x ? [1,?? ) 恒成立, ax2

?a ?

1 对 x ? [1,?? ) 恒成立 x



1 ? 1 ?a ? 1为所求。 x

(2)取 x ?

a?b a?b ,? a ? 1, b ? 0,? ?1, b b 1? x ? ln x 在 [1,?? ) 上是增函数, ax

一方面,由(1)知 f ( x) ?

?f(
1?

a?b ) ? f (1) ? 0 b

a?b b ? ln a ? b ? 0 ? a?b b a? b
即 ln

a?b 1 ? b a?b

另一方面,设函数 G ( x) ? x ? ln x( x ? 1)

G ' ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? ? 0(? x ? 1) x x

∴ G (x ) 在 (1,?? ) 上是增函数且在 x ? x0 处连续,又 G (1) ? 1 ? 0 ∴当 x ? 1 时, G ( x) ? G (1) ? 0

1

∴ x ? ln x 即

a?b a?b ? ln b b

综上所述,

1 a?b a ?b ? ln ? . a?b b b

高考数学压轴题练习 2
2.已知椭圆 C 的一个顶点为 A(0, ?1) ,焦点在 x 轴上,右焦点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 F(1,0)作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,设 FA ? ? FB, T (2, 0) ,若

??? ?

??? ?

? ? [?2,?1], 求 | TA ? TB | 的取值范围。
2.解: (1)由题意得:

| c ? 1| ? 2 ?c ? 1…………………1 分 2
2

由题意 b ? 1,? a ?

所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ………………………3 分 2

(2)容易验证直线 l 的斜率不为 0。

, 故可设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1

x2 代入 ? y 2 ? 1 中,得 (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ? 1 ? 0. 2
设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 y1 ? y 2 ? ? 2k y1 y 2 ? ? 1 . ????…………………5 分 k2 ? 2 k2 ? 2 ∵ FA ? ? FB ∴有 y1 ? ?,且? ? 0. ,
y2

?

( y1 ? y2 ) 2 4k 2 1 4k 2 ?? 2 ??? ?2?? 2 y1 y2 k ?2 ? k ?2



? ? [?2,?1] ? ? ? ? ?
??

5 2

1

?

? ?2 ? ?

1 1 ??? ?2?0 2 ?

1 4k 2 2 2 ?? 2 ? 0 ? k 2 ? ? 0 ? k 2 ? ????7 分 2 7 7. k ?2

2

∵ TA ? ( x1 ? 2, y1 ),TB ? ( x2 ? 2, y 2 ),?TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y 2 ). 又 y1 ? y 2 ? ?
2

2k 4(k 2 ? 1) ,? x1 ? x 2 ? 4 ? k ( y1 ? y 2 ) ? 2 ? ? 2 . k2 ? 2 k ?2
2 2

故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y 2 )

?

16(k 2 ? 1) 2 4k 2 16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 ? 2 ? (k 2 ? 2) 2 (k ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2

? 16 ?
令t ?

28 8 ……………………………………………………8 分 ? 2 k ? 2 (k ? 2) 2
2

1 2 7 1 1 7 1 .? 0 ? k 2 ? ∴ ? 2 ? ,即 t ? [ , ]. 7 16 k ? 2 2 16 2 k ?2 7 17 ∴ | TA ? TB | 2 ? f (t ) ? 8t 2 ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) 2 ? . 4 2 7 1 169 而 t ? [ , ] ,∴ f (t ) ? [4, ] 16 2 32
2

∴ | TA ? TB |? [2,

13 2 ]. ………………………………………………………10 分 8

高考数学压轴题练习 2
2.已知椭圆 C 的一个顶点为 A(0, ?1) ,焦点在 x 轴上,右焦点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 F(1,0)作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,设 FA ? ? FB, T (2, 0) ,若

??? ?

??? ?

? ? [?2,?1], 求 | TA ? TB | 的取值范围。
2.解: (1)由题意得:

| c ? 1| ? 2 ?c ? 1…………………1 分 2
2

由题意 b ? 1,? a ?

所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ………………………3 分 2

(2)容易验证直线 l 的斜率不为 0。

3

, 故可设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1

代入

x2 ? y 2 ? 1 中,得 (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ? 1 ? 0. 2

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 y1 ? y 2 ? ? 2k y1 y 2 ? ? 1 . ????…………………5 分 k2 ? 2 k2 ? 2 ∵ FA ? ? FB ∴有 y1 ? ?,且? ? 0. ,
y2

?

( y1 ? y2 ) 2 4k 2 1 4k 2 ?? 2 ??? ?2?? 2 y1 y2 k ?2 ? k ?2



? ? [?2,?1] ? ? ? ? ?
??

5 2

1

?

? ?2 ? ?

1 1 ??? ?2?0 2 ?

1 4k 2 2 2 ?? 2 ? 0 ? k 2 ? ? 0 ? k 2 ? ????7 分 2 7 7. k ?2

∵ TA ? ( x1 ? 2, y1 ),TB ? ( x2 ? 2, y 2 ),?TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y 2 ). 又 y1 ? y 2 ? ?
2

2k 4(k 2 ? 1) ,? x1 ? x 2 ? 4 ? k ( y1 ? y 2 ) ? 2 ? ? 2 . k2 ? 2 k ?2
2 2

故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y 2 )

?

16(k 2 ? 1) 2 4k 2 16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 ? 2 ? (k 2 ? 2) 2 (k ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2

? 16 ?
令t ?

28 8 ……………………………………………………8 分 ? 2 k ? 2 (k ? 2) 2
2

1 2 7 1 1 7 1 .? 0 ? k 2 ? ∴ ? 2 ? ,即 t ? [ , ]. 7 16 k ? 2 2 16 2 k ?2 7 17 ∴ | TA ? TB | 2 ? f (t ) ? 8t 2 ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) 2 ? . 4 2 7 1 169 而 t ? [ , ] ,∴ f (t ) ? [4, ] 16 2 32
2

∴ | TA ? TB |? [2,

13 2 ]. ………………………………………………………10 分 8

4

高考数学压轴题练习 4
4.设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? m (a ? 0) (1)若 a ? 1 时函数 f ( x ) 有三个互不相同的零点,求 m 的范围; (2)若函数 f ( x ) 在 ? ?1,1? 内没有极值点,求 a 的范围; (3)若对任意的 a ? ?3, 6? ,不等式 f ( x ) ? 1 在 x ? ? ?2, 2? 上恒成立,求实数 m 的取值 范围. 4.解: (1)当 a ? 1 时 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? m , 因为 f ( x ) 有三个互不相同的零点,所以 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? m ? 0 ,
3 2 即 m ? ? x ? x ? x 有三个互不相同的实数根。

令 g( x) ? ?x3 ? x2 ? x ,则 g ' ( x) ? ?3x2 ? 2x ?1 ? ?(3x ?1)( x ?1) 。 因为 g ( x) 在 (??, ?1) 和 ( 1 , ??) 均为减函数,在 ? ?1, 1 ? 为增函数, 3 3
5 m 的取值范围 ? ?1, 27 ?

(2)由题可知,方程 f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 ? 0 在 ? ?1,1? 上没有实数根,

? f ' (1) ? 3 ? 2a ? a 2 ? 0 ? 因为 ? f ' (?1) ? 3 ? 2a ? a 2 ? 0 ,所以 a ? 3 ? a?0 ?
' 2 2 (3)∵ f ( x) ? 3 x ? 2ax ? a ? 3( x ? a )( x ? a ) ,且 a ? 0 , 3

∴函数 f ( x ) 的递减区间为 (?a, a ) ,递增区间为 ( ??, ? a ) 和 ( a , ??) ; 3 3 当 a ? ?3, 6? 时, a ? ?1, 2? , ?a ? ?3, 又 x ? ? ?2, 2? , 3 ∴ f ( x)max ? max ? f (?2), f (2)? 而 f (2) ? f (?2) ? 16 ? 4a2 ? 0
2 ∴ f ( x) max ? f ( ?2) ? ?8 ? 4a ? 2a ? m ,

又∵ f ( x ) ? 1在 x ? ? ?2, 2? 上恒成立,
2 2 ∴ f ( x)max ? 1,即 ?8 ? 4a ? 2a ? m ? 1 ,即 m ? 9 ? 4a ? 2a 在 a ? ?3, 6? 恒成立。

5

∵ 9 ? 4a ? 2a 的最小值为 ?87
2

高考数学压轴题练习 5
5. (本题满分 14 分)

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l : y ? x ? 2 2 与以 2 a b 2 原点为圆心、以椭圆 C 1 的短半轴长为半径的圆相切。
已知椭圆 C1 : (Ⅰ)求椭圆 C 1 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1,且垂直于椭圆的长轴,动直 线 l 2 垂直 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (Ⅲ)若 AC、BD 为椭圆 C1 的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点 F2,求四边形 ABCD 的面积 的最小值.

2 c 2 a 2 ? b2 1 ,? e2 ? 2 ? ? ,? a 2 ? 2b2 2 2 a a 2 2 2 ? b,? b ? 2, b 2 ? 4,? a 2 ? 8, ?直线l : x ? y ? 2 ? 0与圆x 2 ? y 2 ? b2 相切? 2 2 2 x y ? ? 1. ∴椭圆 C1 的方程是 ????3 分 8 4 (Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点 M 到定直线 l1 : x ? ?2 的距离等于它到定点 F2(2,0)的距离,
5.解: (Ⅰ)? e ? ∴动点 M 的轨迹 C 是以 l1 为准线,F2 为焦点的抛物线 ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为 y 2 ? 8x ????6 分 (Ⅲ)当直线 AC 的斜率存在且不为零时,设直线 AC 的斜率为 k, A( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,则直线 AC 的方程为 y ? k ( x ? 2).

x2 y 2 ? ? 1及y ? k ( x ? 2)得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0. 8 4 8k 2 8k 2 ? 8 , x1 x2 ? . 所以 x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 32(k 2 ? 1) 2 2 2 2 ….9 分 | AC |? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? 1 ? 2k 2 32(1 ? k 2 ) 1 1 由于直线 BD 的斜率为 ? , 用 ? 代换上式中的 k 可得 | BD |? k2 ? 2 k k ∵ AC ? BD , 1 16(1 ? k 2 )2 ∴四边形 ABCD 的面积为 S ? | AC | ? | BD |? 2 ……. .12 分 2 (k ? 2)(1 ? 2k 2 ) (1 ? 2k 2 ) ? (k 2 ? 2) 2 3(k 2 ? 1) 2 2 2 ] ?[ ] 由 (1 ? 2k )(k ? 2) ? [ 2 2 64 所以 S ? ????13 分 ,当 ? 2k 2 ? k 2 ? 2时,即k ? ?1 时取等号. 1 9 易知,当直线 AC 的斜率不存在或斜率为零时,四边形 ABCD 的面积 S ? 8
联立

6

高考数学压轴题练习 6
6. (本小题满分 14 分) x2 y2 2 已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的左.右焦点分别为 F1.F2,离心率 e= ,右准线 a b 2 方程为 x=2. (1)求椭圆的标准方程; → → 2 26 (2)过点 F1 的直线 l 与该椭圆相交于 M.N 两点,且|F2M+F2N|= ,求直线 l 的方程. 3

?c= 22, a 6.解析: (1)由条件有? a ? c =2
2

解得 a= 2,c=1.

∴ b= a2-c2=1. x2 所以,所求椭圆的方程为 +y2=1. 2 (2)由(1)知 F1(-1,0) 2(1,0) .F . 若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=-1, 2 将 x=-1 代入椭圆方程得 y=± . 2 2 2 不妨设 M?-1, ?.N?-1,- ?, 2? 2? ? ? 2 2 → → ∴ 2M+F2N=?-2, ?+?-2,- ?=(-4,0) F . 2? ? 2? ? → → ∴ 2M+F2N|=4,与题设矛盾. |F ∴ 直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+1) . 2 ?x +y2=1, ? 设 M(x ,y ) .N(x ,y ) ,联立? 2
1 1 2 2

?y=k(x+1) ?

消 y 得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. -4k2 2k 由根与系数的关系知 x1+x2= . 2,从而 y1+y2=k(x1+x2+2)= 1+2k 1+2k2 → → 又∵ 2M=(x1-1,y1) 2N=(x2-1,y2) F ,F , → → ∴ 2M+F2N=(x1+x2-2,y1+y2) F . → → 2 ∴ 2M+F2N| =(x1+x2-2)2+(y1+y2)2 |F 2 4 2 ?8k +2?2+? 2k 2?2=4(16k +9k +1). =? ? 4k4+4k2+1 ?1+2k2? ?1+2k ? 4 2 4(16k +9k +1) ?2 26?2 ∴ = . 4k4+4k2+1 ? 3 ? 4 2 化简得 40k -23k -17=0, 17 解得 k2=1 或 k2=- (舍) k=± .∴ 1. 40 ∴所求直线 l 的方程为 y=x+1 或 y=-x-1.

高考数学压轴题练习 7

7

7.(本小题满分 12 分)
a . ? ln x ? 1 , g(x) ? ? ln x ?1? ex ? x (其中 e 为自然对数的底数) x (1)判断函数 f ( x) 在区间 ? 0, e ? 上的单调性;
已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 出 x0 的值;若不存在,请说明理由. 7.解(1) :∵ f ( x) ?

(2)是否存在实数 x0 ? ? 0, e? ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直? 若存在,求

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a .

a 1 x?a a ? ln x ? 1,∴ f ?( x) ? ? 2 ? ? 2 . x x x x

①若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递增. ②若 0 ? a ? e ,当 x ? ? 0, a ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, a ? 上单调递减, 当 x ? ? a, e? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? a, e ? 上单调递增, ③若 a ? e ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递减. ……6分 (2)解: ∵ g ( x) ? ? ln x ? 1? e ? x , x ? ? 0, e? ,
x

x ? e x ? ? ln x ? 1? ? e x ?? ? 1 ? e ? ? ln x ?1? ex ? 1 ? ? 1 ? ln x ?1? e x ? 1 由 g ?( x) ? ? ln x ? 1? ? ? x ?x ? 1 (1)可知,当 a ? 1 时, f ( x) ? ? ln x ? 1 . x 1 此时 f ( x ) 在区间 ? 0, e ? 上的最小值为 ln1 ? 0 ,即 ? ln x ? 1 ? 0 . x ?1 ? 1 x 当 x0 ? ? 0, e ? , e ? 0 , ? ln x0 ? 1 ? 0 ,∴ g ?( x0 ) ? ? ? ln x0 ? 1? e x0 ? 1 ? 1 ? 0 . x0 ? x0 ?
0

曲线 y ? g ( x ) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g?( x0 ) ? 0 有实数解. 而 g ? ? x0 ? ? 0 ,即方程 g?( x0 ) ? 0 无实数解. 故不存在 x0 ? ? 0, e ? ,使曲线 y ? g ( x ) 在

x ? x0 处的切线与 y 轴垂直……12分

高考数学压轴题练习 8
15. (本小题满分12分) 已知线段 CD ? 2 3 , CD 的中点为 O ,动点 A 满足 AC ? AD ? 2a ( a 为正常数) . (1)建立适当的直角坐标系,求动点 A 所在的曲线方程; (2)若 a ? 2 ,动点 B 满足 BC ? BD ? 4 ,且 OA ?OB ,试求 ?AOB 面积的最大值和最小值. 解(1)以 O 为圆心, CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系.若 AC ? AD ? 2a ? 2 3 ,即

0 ? a ? 3 ,动点 A 所在的曲线不存在;若 AC ? AD ? 2a ? 2 3 ,即 a ? 3 ,动点 A 所在
的曲线方程为 y ? 0(? 3 ? x ? 3) ;若 AC ? AD ? 2a ? 2 3 ,即 a ? 3 ,动点 A 所在的曲

8

线方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 .……4 分 a2 a ? 3
x2 x2 ? y 2 ? 1 .由条件知 A, B 两点均在椭圆 ? y 2 ? 1 上,且 4 4

(2)当 a ? 2 时,其曲线方程为椭圆

OA ? OB 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , OA 的斜率为 k (k ? 0) ,则 OA 的方程为 y ? kx , OB 的方程为

? y ? kx 1 ? y ? ? x 解方程组 ? x2 2 k ? ? y ?1 ?4 4 4k 2 得 x12 ? , y12 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 4 4k 2 2 2 同理可求得 x2 ? 2 , y2 ? 2 k ?4 k ?4
(1 ? k 2 ) 2 1 1 ………………8 分 1 ? k 2 x1 1 ? 2 x2 = 2 (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4) 2 k 令 1 ? k 2 ? t (t ? 1) 则
?AOB 面积 S ?

t2 1 ?2 2 9 9 4t ? 9t ? 9 ? 2 ? ?4 t t 9 9 1 1 25 25 4 (t ? 1) 所以 4 ? g (t ) ? 令 g (t ) ? ? 2 ? ? 4 ? ?9( ? ) 2 ? ,即 ? S ? 1 t t t 2 4 4 5 4 当 k ? 0 时,可求得 S ? 1 ,故 ? S ? 1 , 5 4 故 S 的最小值为 ,最大值为 1. ……12 分 5 S ?2

高考数学压轴题练习 9
18(本小题满分 12 分) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )是椭圆

y2 x2 x y x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的两点,已知向量 m ? ( 1 , 1 ), n ? ( 2 , 2 ) ,若 2 a b b a b a
3

m ?n ? 0 且椭圆的离心率 e= 2 ,短轴长为 2 , O 为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由
[来源:Zxxk.Com]

y2 c a 2 ? b2 3 ? x2 ? 1 ? ? ? a ? 2,c ? 3 椭圆的方程为 4 a a 2 (2) ①当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 ,由 m ? n ? 0
解: 2b ? 2.b ? 1, e ?

4分

x12 ?

y12 ? 0 ? y12 ? 4 x12 ????5 分 4

9

又 A( x1, y1 ) 在椭圆上,所以 x1 ?
2

4 x12 2 ? 1 ? x1 ? , y1 ? 2 4 2

s?

1 1 x1 y1 ? y2 ? x1 2 y1 ? 1 2 2

所以三角形的面积为定值.??6 分 ②当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y=kx+b

? y ? kx ? b ? 2kb ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 4 ? 0得到x1 ? x 2 ? 2 ?y 2 k ?4 ? ? x ?1 ?4
b2 ? 4 2 2 2 x1 x 2 ? 2 ,?=(2kb) ?4(k +4)(b ?4)>0?????8 分而 m ? n ? 0 , k ?4 yy (kx ? b)(kx2 ? b) x1 x2 ? 1 2 ? 0 ? x1 x2 ? 1 ? 0代入整理得: 4 4 2b 2 ? k 2 ? 4 ?????10 分
1 |b| 1 |b| 4k2?4b2+16 4b2 2 S=2 = 2|b| =1 2|AB|=2|b| (x1+x2) ?4x1x2= 2(k2+4) 1+k 综上三角形的面积为定值 1.??…………………12 分

高考数学压轴题练习 10
10.已知函数 f ( x) 的导数 f '( x) ? 3x2 ? 3ax,

f (0) ? b .a,b 为实数, 1 ? a ? 2 .
(1) 若 f ( x) 在区间 [?1 1] 上的最小值、 , 最大值分别为 ?2 、1,求 a、b 的值; (2) 在 (1) 的条件下,求曲线在点 P(2,1) 处的切线方程; (3) 设函数 F ( x) ? [ f '( x) ? 6 x ? 1] ?e2 x ,试判 断函数 F ( x) 的极值点个数. 解:(1) 由已知得, f ( x) ? x3 ? ax 2 ? b , 由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? a . ∵ x ? [ ?1, 1] , 1 ? a ? 2 , ∴ 当 x ? [ ?1, 0) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递增;当 x ? (0, 1] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递减.

3 2

10

∴ f ( x ) 在区间 [ ?1, 1] 上的最大值为 f (0) ? b ,∴ b ? 1. 3 3 又 f (1) ? 1 ? a ? 1 ? 2 ? a , 2 2

3 3 f (?1) ? ?1 ? a ? 1 ? ? a , 2 2 ∴ f (?1) ? f (1) . 4 4 3 由题意得 f (?1) ? ?2 ,即 ? a ? ?2 ,得 a ? . 故 a ? , b ? 1为所求. 3 3 2
(2) 由 (1) 得 f ( x) ? x3 ? 2x2 ?1, f ?( x) ? 3x2 ? 4x ,点 P (2, 1) 在曲线 f ( x ) 上. 当切点为 P (2, 1) 时,切线 l 的斜率 k ? f ?( x) |x?2 ? 4 , ∴ l 的方程为 y ? 1 ? 4( x ? 2) , 即 4x ? y ? 7 ? 0 . (3

F(x) ? (3x2 ? 3ax ? 6x ?1) ? e2x ? ?3x2 ? 3(a ? 2) x ?1? ? e2x ? ?

? [6x2 ? 6(a ? 3)x ? 8 ? 3a]? e2x

F?( x) ? ?6x ? 3(a ? 2)? ? e2x ? 2 ?3x2 ? 3(a ? 2) x ?1? ? e2 x ? ?

二次函数 y ? 6x2 ? 6(a ? 3)x ? 8 ? 3a 的判别式为

? ? 36(a ? 3)2 ? 24(8 ? 3a) ? 12(3a2 ?12a ?11) ? 12 ?3(a ? 2)2 ?1? 令 ? ? 0 ,得: ? ? 1 3 3 3 3 2 (a ? 2) ? , 2 ? ? a ? 2? . 令 ? ? 0 ,得 a ? 2 ? , 或a ? 2 ? . ∵ e2 x ? 0 , 3 3 3 3 3 1? a ? 2 , 3 ∴当 2- ? a ? 2 时, F ?( x) ? 0 ,函数 F ( x) 为单调递增,极值点个数为 0; 3 3 当1 ? a ? 2 ? 时,此时方程 F ?( x) ? 0 有两个不相等的实数根, 3
根据极值点的定义,可知函数 F ( x ) 有两个极值点.

高考数学压轴题练习 11
12 已知函数 f(x)=
a ? x2 ? ln x x 1 ? ? ? a ? R , x ? [ , 2] ? 2 ? ?

1 (1)当 a ? [ ?2, ) 时, 求 f ( x) 的最大值; 4
(2) 设 g ( x) ? [ f ( x) ? ln x] ? x2 , k 是 g ( x) 图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数 a ,使

11

得 k ? 1 恒成立?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

(2)存在 a ? ( ?? , ] 符合条件 解: 因为 g( x) ? [ f ( x) ? ln x] ? x2 = ax ? x 3

7 4

不妨设任意不同两点 p1 ( x1, y1 ), p2 ( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x2



k?

3 y1 ? y2 a( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x13 ) ? x1 ? x2 x1 ? x2

2 ? a ? ( x12 ? x1 x2 ? x2 )
2 由 k ? 1 知: a ? 1+ ( x12 ? x1 x2 ? x2 )
2 又 ? x2 ? 4 故 a ?

1 4

7 4

故存在 a ? (??, ) 符合条件.?12 分 解法二:据题意在 y ? g(x) 图象上总可以在找一点 P(x0 , y0 ) 使以 P 为切点的切线平 行图象上任意两点的连线,即存在 k ?
2 ? a ? 1 ? 3 x0 ?

7 4

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 2 ? g '( x0 ) ? a ? 3x0 ? 1 x1 ? x2

7 7 故存在 a ? (??, ) 符合条件. 4 4

12

高考数学压轴题练习 12
14 . A ﹑ B ﹑ C 是 直 线 l 上 的 三 点 , 向 量 OA ﹑ OB ﹑ OC 满 足 :

OA-[y+2 f ?(1) ]· OB +ln(x+1)· OC = 0 ;
(Ⅰ)求函数 y=f(x)的表达式; (Ⅲ)当 值范围。 解 I)由三点共线知识, (Ⅱ)若 x>0, 证明 f(x)>

2x ; x?2

1 2 x ? f ( x 2 ) ? m 2 ? 2bm ? 3 时,x ? ?? 1,1? 及 b ? ?? 1,1? 都恒成立,求实数 m 的取 2

? ? ∵ OA ? [ y ? 2 f (1)]OB ? ln( x ? 1)] ? OC ? 0 ,∴ OA ? [ y ? 2 f (1)]OB ? ln( x ? 1)] ? OC ,∵A﹑
B﹑C 三点共线,

? ∴ [ y ? 2 f (1)] ? [? ln( x ? 1)] ? 1 ? ∴ y ? f ( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ? 2 f (1) .

? ? ∴ f ( x) ? x ? 1 ∴ f (1) ? 2 , ∴f(x)=ln(x+1)??????4 分
2x
(Ⅱ)令 g(x)=f(x)- x ? 2 ,

1

1

g ?( x) ? 由

x2 ( x ? 1)( x ? 2) 2 ,

? ∵x>0∴ g ( x) ? 0

2x
∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故 g(x)>g(0)=0,即 f(x)> x ? 2 ;???8 分 (III)原不等式等价于 2 x ? f ( x ) ? m ? 2bm ? 3 ,令
2 2 2

1

x3 ? x 1 2 1 , x ? f ( x 2 ) = x 2 ? ln( ? x 2 ), 由 h ?( x ) ? 1 h(x)= 2 1? x2 2
当 x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m -2bm-3≥0,令 Q(b)= m -2bm-3,则由 Q(1)≥0 及 Q(-1) ≥0 解得 m≤-3 或 m≥3. ????12 分
2 2

13

高考数学压轴题练习 13
13 已知 M 经过点 G(0, ?1) ,且与圆 Q : x ? ( y ?1) ? 8 内切.
2 2

(Ⅰ)求动圆 M 的圆心的轨迹 E 的方程.

1 B 在曲线 E 上是否存 (Ⅱ)以 m ? (, 2) 为方向向量的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 A、 ,
在点 P 使四边形 OAPB 为平行四边形( O 为坐标原点).若存在,求出所有的 P 点的坐标与 直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)依题意,动圆与定圆相内切,得| MG | ? | MQ |? 2 2 ,可知 M 到两个定点 G 、

Q 的距离和为常数,并且常数大于 | GQ | ,所以 P 点的轨迹为椭圆,可以求得 a ? 2 ,

c ? 1 , b ? 1,
所以曲线 E 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 .……………………5 分 2

(Ⅱ)假设 E 上存在点 P ,使四边形 OAPB 为平行四边形.
2 由(Ⅰ)可知曲线 E 的方程为 x ?

y2 ? 1. 2

设直线 l 的方程为 y ?

2 x ? m , A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) .

? y ? 2 x ? m; ? 由? ,得 y2 2 ? 1. ?x ? 2 ?
4x 2 ? 2 2mx ? m 2 ? 2 ? 0 ,
2 由 ? ? 0 得 m ? 4 ,且 x1 ? x 2 ? ?

m2 ? 2 2m , x1 x 2 ? ,………7 分 4 2

则 y1 y 2 ? ( 2 x1 ? m)( 2 x 2 ? m) ?

m2 ? 2 , 2

y1 ? y 2 ? ( 2 x1 ? m) ? ( 2 x 2 ? m) ? m ,
E 上的点 P 使四边形 OAPB为平行四边形的充要条件是 OP ? OA? OB,
即 P点的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2)

14

且 ( x1 ? x 2 ) ?
2

( y1 ? y 2 ) 2 ? 1, 2
2

又 x1 ?
2

y1 y 2 ? 1 , x2 ? 2 ? 1 ,所以可得 2 x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? 0 ,…………9 分 2 2

2

2 可得 m ? 1 ,即 m ? 1 或 m ? ?1 .

当 m ? 1 时, P(?

2 , ,直线 l 方程为 y ? 2 x ? 1 ; 1) 2 2 , 1) ,直线 l 方程为 ? 2

当 m ? ?1 时, P(

y ? 2 x ? 1 .……………………12 分

高考数学压轴题练习 14
16.已知函数 f ? x? 和 g ? x ? 的图象关于原点对称,且 f ? x ? ? x2 ? 2x . (Ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; (Ⅱ)解不等式 g ? x? ? f ? x? ? x ?1 ; (Ⅲ)若 h ? x? ? g ? x ? ? ? f ? x ? ? 1 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 ? 的取值范围. 解:(Ⅰ)设函数 y ? f ? x? 的图象上任意一点 Q ? x0 , y0 ? 关于原点的对称点为 P ? x, y ? ,则

? x0 ? x ? 2 ? 0, ? x0 ? ? x, ? 即? ? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? 2 ? ∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上
2 2 2 ∴ ? y ? x ? 2 x,即y ? ? x ? 2 x, 故g ? x ? ? ? x ? 2 x
2 (Ⅱ)由 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 , 可得2 x ? x ? 1 ? 0

当 x ? 1时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,此时不等式无解。
2
2

当 x ? 1时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 因此,原不等式的解集为 ? ?1, ? 。 2
2

1 。 2

? (Ⅲ) h ? x? ? ? ?1 ? ? ? x ? 2?1 ? ? ? x ? 1

? ?

1?

15

? ① 当? ? ?1 时,h ? x? ? 4x ? 1在??1,1?上是增函数,

? ? ?1

② 当? ? ?1时,对称轴的方程为x ?

1? ? . 1? ?

1? ? ? ?1, 解得? ? ?1. ⅰ) 当? ? ?1时, 1? ? 1? ? ? ?1, 解得 ? 1 ? ? ? 0. 综上,? ? 0. ⅱ) 当? ? ?1时, 1? ?

高考数学压轴题练习 15
17.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x(a ? 0). 2

(1)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2)若 a ? ?

1 1 且关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? b 在 ?1, 4 ? 上恰有两个不相等的实数根, 求实 2 2

数 b 的取值范围;
n * (3)设各项为正的数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? ln an ? an ? 2, n ? N . 求证: a n ? 2 ? 1

解: (1) f ?( x) ? ?

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0). x
2

依题意 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,即 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? 0 恒成立. 则a ?

1 ? 2x 1 1 ? ( ? 1)2 ? 1 在 x ? 0 恒成立,即 a ? (( ? 1) 2 ? 1) min ( x ? 0) 2 x x x 1 x
2

当 x ? 1 时, ( ? 1) ? 1 取最小值 ? 1 ∴ a 的取值范围是 (??, ?1] ?? 4? (2) a ? ? , f ( x) ? ?

1 1 3 x ? b ? x 2 ? x ? ln x ? b ? 0. 2 4 2 1 2 3 ( x ? 2)( x ? 1) 设 g ( x) ? x ? x ? ln x ? b( x ? 0). 则 g ?( x) ? . 列表: 4 2 2x

1 2

x
g ?( x )

(0,1)

1

(1, 2)

2

(2, 4)

?
?

0
极大值

?
?

0
极小值

?
?

g ( x)

16

∴ g ( x)







? g (2) ? ln 2 ? b ? 2 , g ( x)







? g (1) ? ?b ?

5 , 又 4

g ( 4? )

2? b ? ?? 6? 2 l n 2

? 方程 g ( x) ? 0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.

? g (1) ? 0 5 ? 则 ? g (2) ? 0 ,得 ln 2 ? 2 ? b ? ? ???? 8? 4 ? g (4) ? 0 ?
(3)设 h( x) ? ln x ? x ? 1, x ? ?1, ?? ? ,则 h?( x) ?

1 ?1 ? 0 x

? h( x) 在 ?1, ?? ? 为减函数,且 h( x)max ? h(1) ? 0, 故当 x ? 1时有 ln x ? x ?1 .

? a1 ? 1. 假设 ak ? 1(k ? N * ), 则 ak ?1 ? ln ak ? ak ? 2 ? 1,故 an ? 1(n ? N * ).
n 从而 an?1 ? ln an ? an ? 2 ? 2an ?1.?1 ? an ?1 ? 2(1 ? an ) ? ?? ? 2 (1 ? a1 ).

n n 即 1 ? an ? 2 ,∴ an ? 2 ? 1 ????

高考数学压轴题练习 16
18.已知 y ? f ( x) ? x ln x . (1)求函数 y ? f (x ) 的图像在 x ? e 处的切线方程; (2)设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x) ?

f ( x) 在 ?a,2a ?上的最小值; a 1 2 ? 成立. x ex e

(3)证明对一切 x ? (0,?? ) ,都有 ln x ?

解: (1)? f (x) 定义域为 ?0,?? ? f ?( x) ? ln x ? 1 ? f (e) ? e 又?k ? f / (e) ? 2

? 函数 y ? f (x ) 的在 x ? e 处的切线方程为: y ? 2(x ? e) ? e ,即 y ? 2 x ? e ……3 分
(2) F ( x ) ?
'

1 1 (ln x ? 1) 令 F ' ( x) ? 0 得 x ? 当 x ? 0, 1 , F ' ( x) ? 0 , F (x) 单调递减, e a e

? ?

当 x ? 1 , ? ? , F ' ( x) ? 0 , F ( x ) 单调递增. …………5 分 e

?

?

17

(i)当 a ?

1 时, F (x ) 在 ?a,2a ?单调递增, [ F ( x)]min ? F (a) ? ln a ,…………6 分 e

(ii)当 a ?

1 1 1 1 1 ? 2a 即 ? a ? 时, [ F ( x)]min ? F ( ) ? ? …………7 分 e 2e e e e
1 1 即0 ? a ? 时, F (x ) 在 ?a,2a ?单调递减, e 2e

(iii)当 2a ?

[F ( x)]min ? F (2a) ? 2 ln( 2a) ………………8 分
(3)问题等价于证明 x ln x ? x ? 2 ( x ? (0, ? ?)) , ex e 由(2)可知 f (x) ? x ln x(x ?(0, ??)) 的最小值是 ? 1 ,当且仅当 x ? 1 时取得最小值……10 分 e e 设 m( x) ? x ? 2 ( x ? (0, ??)) ,则 m' ( x) ? 1 ?x x , e ex e 当 x ? (0,1) 时 m ?( x ) ? 0 , m(x ) 单调递增;当 x ? (1,?? ) 时 m ?( x) ? 0, m( x) 单调递减。故

? m( x)?max ? m(1) ? ? 1 ,当且仅当 x ? 1时取得最大值…………12 分 e
所以 [ f ( x)]min ? ?

1 ? [m( x)]max 且等号不同时成立,即 x ln x ? xx ? 2 ( x ? (0, ? ?)) e e e

从而对一切 x?(0, ??) ,都有 ln x ? 1x ? 2 成立.…………13 分 ex e

高考数学压轴题练习 17
19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln(x ? a) ? x ? x在x ? 0 处取得极值.
2

(I)求实数 a 的值; (II)若关于 x 的方程 f ( x) ? ? 的取值范围; (III)证明:对任意正整数 n,不等式 ln

5 x ? b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数 b 2 n ?1 n ?1 ? 2 都成立. n n

19.解: (I) f ?( x) ?

1 ? 2 x ? 1, ?????????????????2 分 x?a

18

? x ? 0 时, f (x) 取得极值,
? f ?(0) ? 0, ?????????????????????????3 分


1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0 ,解得 a=1, 0?a

经检验 a=1 符合题意.???????????????????????4 分 (II)由 a=1 知 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x ? x,由f ( x) ? ?
2

5 x ? b, 2

得 ln(x ? 1) ? x ?
2

3 3 x ? b ? 0, 令 ? ( x) ? ln(x ? 1) ? x 2 ? x ? b, 2 2

则 f ( x) ? ?

5 x ? b在[0,2] 上恰有两个不同的实数根等价于 2

? ( x) ? 0 在 [0 , 2] 上 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 根 . ? ? ? ? ? ? ? 5 分

? ?( x) ?

1 3 ? (4 x ? 5)( x ? 1) ? 2x ? ? , ?????6 分 x ?1 2 2( x ? 1)

当 x ? (0,1)时,? ?( x) ? 0, 于是? ( x)在(0,1) 上单调递增 当 x ? (1,2)时, ? ?( x) ? 0, 于是? ( x)在(1,2) 上单调递减.

?? (0) ? ?b ? 0, ? 3 ? 依题意有 ?? (1) ? ln(1 ? 1) ? 1 ? ? b ? 0, 2 ? ? (2) ? ln(1 ? 2) ? 4 ? 3 ? b ? 0, ? ?

1 ? ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . ???????9 分 2
(III) f ( x) ? ln(x ? 1) ? x ? x 的定义域为 {x | x ? ?1}, ?????10 分
2

由(1)知 f ?( x) ?

? x(2 x ? 3) , ???????????????11 分 x ?1 3 2

令 f ?( x) ? 0得, x ? 0或x ? ? (舍去) ?当 ? 1 ? x ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增; , 当 x>0 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减.? f (0)为f ( x)在(?1,?? ) 上的最大值. (12 分)

19

? f ( x) ? f (0),故ln(x ? 1) ? x 2 ? x ? 0 (当且仅当 x=0 时,等号成立)???13 分
对任意正整数 n,取 x ?

1 1 1 1 n ?1 n ?1 ? 0 得, ln( ? 1) ? ? 2 , 故 ln ? 2 . 14 分 n n n n n n

高考数学压轴题练习 18

20

高考数学压轴题练习 19
21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 , F2 , a2 b2

21

A 为椭圆短轴的一个顶点,且 ?AF1 F2 是直角三角形,椭圆上任一点 P 到左焦点 F1 的距离的
最大值为 2 ? 1 (1)求椭圆 C 的方程; (2) 与两坐标轴都不垂直的直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) 交椭圆 C 于 E, F 两点, 且以线段 EF 为直径的圆恒过坐标原点,当 ?OEF 面积的最大值时,求直线 l 的方程.

21.(1)由题意得

c 2 , a ? c ? 2 ? 1 ————————2 分 ? a 2
a ? 2 , c ? 1 ,则 b ? 1 ——————3 分

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ————————————4 分 2

? x2 ? ? y2 ?1 (2)设 E ( x1 , y1 ), F ( x 2 , y 2 ) , ? 2 ,联立得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4mkx ? 2m2 ? 2 ? 0 ? y ? kx ? m ?
? 4mk ? ? x1 ? x 2 ? 1 ? 2k 2 ? ,——————————————————5 分 ? ? 8(2k 2 ? 1 ? m2 ) ? 0 , ? 2 ? x x ? 2m ? 2 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
又以线段 EF 为直径的圆恒过坐标原点,所以 OE ? OF ? 0
2 即 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,代入得 m ?

2 2 ( k ? 1) ————————————7 分 3

S?

1 8(1 ? 2k 2 ? m 2 ) 1 2 d | EF | = 1? k2 ? 2 2 2 3 3 (1 ? 2k )

(2 ? 2k 2 )(1 ? 4k 2 ) -----9 分 (1 ? 2k 2 ) 2

2 设 t ? 1 ? 2k ? 1 ,则 S ?

2 3

?

1 1 2 ? ?2? 2 t 3 t

1 1 9 2 ? ( ? )2 ? ? t 2 4 2

当 t ? 2 ,即 t ? 1 ? 2k 2 ? 2, k ? ?

2 2 时,面积 S 取得最大值 ,——————————11 分 2 2

22

又 m ? 1 ,所以直线方程为 y ? ?

2 x ? 1——————————————-12 分 2

高考数学压轴题练习 20
22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ln(ax)(a ? 0) (1)若 f ' ( x) ? x 2 对任意的 x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,设函数 g ( x ) ?

f ( x) 1 ,若 x1 , x 2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 ,求证 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) 4 x e

22.(1) f ' (x) ? 2x ln(ax) ? x ————————1 分

f ' ( x) ? 2x ln(ax) ? x ? x 2 ,即 2 ln ax ?1 ? x 在 x ? 0 上恒成立
设 u(x) ? 2 ln ax ? 1 ? x

u ' ( x) ?

2 ? 1 ? 0, x ? 2 , x ? 2 时,单调减, x ? 2 单调增,所以 x ? 2 时,u(x) 有最大值 u(2) — x

———3 分

u(2) ? 0,2 ln 2a ? 1 ? 2 ,所以 0 ? a ?
(2)当 a ? 1 时, g ( x ) ?

e ——————————5 分 2

f ( x) ? x ln x , x 1 1 1 g ( x ) ? 1 ? ln x ? 0, x ? ,所以在 ( ,?? ) 上 g(x) 是增函数, ( 0, ) 上是减函数——————— e e e 1 ? x1 ? x1 ? x 2 ? 1 ,所以 g ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ln( x1 ? x 2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln x1 e

———6 分 因为

即 ln x1 ?

x1 ? x2 ln( x1 ? x2 ) x1 x1 ? x2 ln( x1 ? x2 ) ——————————————————————————8 分 x2

同理 ln x2 ?

所以 ln x1 ? ln x2 ? (

x1 ? x2 x1 ? x2 x x ? ) ln( x1 ? x2 ) ? (2 ? 1 ? 2 ) ln( x1 ? x2 ) x2 x1 x2 x1

又因为 2 ? 分

x1 x2 ? ? 4, 当且仅当“ x 1 ? x 2 ”时,取等号————————————————10 x2 x1

23

又 x1 , x 2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 , ln( x1 ?x 2 ) ? 0 ——————————11 分 所以 (2 ?

1 e

x1 x2 ? ) ln( x1 ? x2 ) ? 4 ln( x1 ? x2 ) x2 x1

所以 ln x1 ? ln x 2 ? 4 ln( x1 ? x 2 ) 所以: x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) 4 ————————————12 分

高考数学压轴题练习 21
23.本小题满分 12 分

?ABC的内切圆与三边 AB, BC , CA 的切点分别为 D , E , F ,已知 B (? 2 ,0), C ( 2 ,0) ,内
切圆圆心 I (1, t ), t ? 0 ,设点 A 的轨迹为 L . (1)求 L 的方程; (2)过点 C 的动直线 m 交曲线 L 于不同的两点 M , N (点 M 在 x 轴的上方) ,问在 x 轴上

???? ??? ???? ??? ? ? ? QM ? QC QN ? QC 是否存在一定点 Q ( Q 不与 C 重合) ,使 ???? ? ? ???? 恒成立,若存在,试求出 Q QM QN
点的坐标;若不存在,说明理由. y A D

.I
B O E

F x

C

23. 【解】 (1)设点 A( x, y ) ,由题知 AB ? AC ? BD ? CE ? BE ? CE 点 ? BO ? OE ? ? OC ? OE ? ? 2 OE ? 2 ,根据双曲线定义知, A 的轨迹是以 B , C 为焦 点,实轴长为 2 的双曲线的右支(除去点 E ) ,故 L 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1( x ? 1) . …4 分 (2)设点 Q( x0 ,0), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) .

???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ? QM ? QC cos ? QM , QC ? QN QC cos ? QN , QC ? QM ? QC QN ? QC ? ? ???? ? ???? ? ? ???? ? ???? | QM | | QN | QM QN
? cos ?MQC ? cos ?NQC ,? ?MQC ? ?NQC
……………………… 6 分

24

① 当直线 MN ? x 轴时,点 Q( x0 ,0) 在 x 轴上任何一点处都能使得 ?MQC ? ?NQC 成 立. ………………………7 分

?x 2 ? y 2 ? 1 ? ② 当直线 MN 不与 x 轴垂直时,设直线 MN : y ? k ( x ? 2 ) ,由 ? 得 ? y ? k(x ? 2) ?

(1 ? k 2 ) x 2 ? 2 2k 2 x ? (2k 2 ? 1) ? 0
? x1 ? x2 ? 2 2k 2 2k 2 ? 1 , x1 x2 ? 2 k 2 ?1 k ?1
…………… 9 分

? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? 2 ) ? k ( x2 ? 2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2k ?

2 2k k 2 ?1
, 使

? tan ?MQC ? kQM ?

y1 y2 , tan ?NQC ? ?kQN ? ? x1 ? x0 x2 ? x0

?M

? ?N Q

Q C C ,只需 tan ?MQC ? tan ?NQC 成立,即

y1 y2 ,即 ?? x1 ? x0 x 2 ? x0

x2 y1 ? x0 y1 ? x1 y2 ? x0 y2 ? 0 ,
? ( y1 ? y2 ) x0 ? x2 ? k ( x1 ? 2 ) ? x1 ? k ( x2 ? 2 ) ? 2kx1 x2 ? 2 x( x1 ? x2 ) ,即
2 2 2k 2k 2 , 故 x0 ? , 故 所 求 的 点 Q 的 坐 标 为 ( ,0 ) 时 , x0 ? 2 2 2 2 k ?1 k ?1 ???? ??? ???? ??? ? ? ? Q M? Q C QN QC ? ………………………12 分 ???? ? ???? 恒成立. ? QM QN

高考数学压轴题练习 22
24.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? (2 x ? 1) ln(2 x ? 1) . (Ⅰ )求函数 f (x)在点(0,f (0))处的切线方程; (Ⅱ )求 f (x)的极小值; (Ⅲ )若对所有的 x ? 0 ,都有 f ( x ) ? 2ax 成立,求实数 a 的取值范围.

( 24【解析】(Ⅰ f(x)的定义域为 {x | x ? ? },又∵f ? x) =2ln(2x+1)+2, )∵
∴ 切线 = f ? = 2 ,切点为 O(0,0),∴ 所求切线方程为 y=2x. …………2 分 k (0)

1 2

25

1 1 ( ? 1) ; 2 e 1 1 f ? x) >0,得 ln(2x+1)>-1,得 x ? ( ? 1) ; ( 2 e 1 1 1 f ? x) <0,得 ln(2x+1)<-1,得 ? ? x ? ( ? 1) ; ( 2 2 e 1 1 1 1 1 则 f ( x)极小值 = f [ ( - 1)] = [( - 1) + 1]?ln[( 1) + 1] = - .…………6 分 2 e e e e
(Ⅱ 设 f ? x) =0,得 ln(2x+1)=-1,得 x ? ) ( (Ⅲ g ( x) = (2 x + 1) ln(2 x + 1) - 2ax , )令 则 g ? x) =2ln(2x+1)+2-2a=2[ln(2x+1)+1-a]. ( 令 g ? x) =0,得 ln(2x+1)= a-1,得 x ? ( g(x)的图象

? 1 2 g ? x) >0,得 ln(2x+1)> a-1,得 x ? (ea ?1 ? 1) ; ( 2 1 1 g ? x) <0,得 ln(2x+1)< a-1,得 ? ? x ? (ea ?1 ? 1) ; ( 2 2
(1)当 a≤1 时, a ?1 ? 0 ,∵ e ∴ 对所有 x ? 0 时,都有 x ? ∴ g(x)在*0,+∞)上是增函数. 又 g(0)=0,于是对所有 x ? 0 ,都有 g(x)≥ g(0)=0 成立. 故当 a≤1 时,对所有的 x ? 0 ,都有 f ( x ) ? 2ax 成立. (2)当 a>1 时, a ?1 ? 0 ,∵ e ∴ 对所有 0 ? x ? ∴ g(x)在 [0, (e
a- 1 a- 1

1 a ?1 (e ? 1) ; 2

1

1 a?1 (e ? 1) 2
x

? e0

1 ? ea- 1 1 ^0

1 a- 1 (e - 1) 2

0,

1 a ?1 (e ? 1) ,于是 g ? x) ≥0 恒成立, ( 2

> e0 = 1 ? ea- 1 1 > 0 ?

1 a- 1 (e 1) > 0 , 2

1 a ?1 (e ? 1) ,都有 g ? x) <0 恒成立, ( 2 ?1)) 上是减函数.

1 2

a ?1

1 a ?1 (e ? 1) ,都有 g(x)≤ g (0)=0. 2 1 a ?1 故当 a>1 时,只有对仅有的 0 ? x ? (e ? 1) ,都有 f ( x ) ? 2ax . 2 即当 a>1 时,不是对所有的 x ? 0 ,都有 f ( x ) ? 2ax .
又 g(0)=0,于是对所有 0 ? x ? 综合(1)(2)可知实数 a 的取值范围(-∞,1 ] .……………………12 分 ,

高考数学压轴题练习 23
25.已知函数 f ( x) ?

1 ? a ? ln x , a ? R. x

26

(I)求 f (x ) 的极值; (II)若 ln x ? kx ? 0在(0,?? )上恒成立 , 求k 的取值范围; (III)已知 x1 ? 0, x2 ? 0, 且x1 ? x2 ? e, 求证 : x1 ? x2 ? x1 x2 .

25.【解析】(Ⅰ ? f ( x) ? : )
/

a ? ln x , 令 f / ( x) ? 0 得 x ? e a ……………2 分 2 x

当 x ? (0, e ), f ( x) ? 0, f ( x) 为增函数;
a /

当 x ? (e , ??), f ( x) ? 0, f ( x) 为减函数,
a /
a ?a 可知 f ( x ) 有极大值为 f (e ) ? e …………………………..4 分

(Ⅱ )欲使 ln x ? kx ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,只需

ln x ? k 在 (0, ??) 上恒成立, x



g ( x) ?

ln x ( x ? 0). x

由(Ⅰ )知, g ( x)在x ? e处取最大值 ,

1 e

1 ? k ? ……………………8分 e
(Ⅲ ?e ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 ,由上可知 f ( x) ? )

ln x 在 (0, e) 上单调递增, x
① ,

?

ln( x1 ? x2 ) ln x1 x1 ln( x1 ? x2 ) ? 即 ? ln x1 x1 ? x2 x1 x1 ? x2
x2 ln( x1 ? x2 ) ? ln x2 x1 ? x2

同理

② …………………………..10 分

两式相加得 ln( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? ln x1x2

? x1 ? x2 ? x1x2

……………………………………12 分

高考数学压轴题练习 24
设函数 f ( x) ? x ? a( x ? 1) ln( x ? 1), ( x ? ?1, a ? 0) (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

27

(Ⅱ)当 a ? 1 时,若方程 f ( x) ? t 在 [? ,1] 上有两个实数解,求实数 t 的取值范围; (Ⅲ)证明:当 m>n>0 时, (1? m)n ? (1? n)m 。
【解析】 :22、 (Ⅰ) f / ( x) ? 1? a ln( x ?1) ? a ① a ? 0 时, f / ( x) ? 0 ∴ f ( x ) 在(—1,+ ? )上市增函数 ②当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (?1, e
1? a a

1 2

? 1] 上递增,在 [e

1? a a

? 1, ??) 单调递减

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) 在 [?

1 , 0] 上单调递增,在 [0,1] 上单调递减 2

又 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ? ln 4, f (? ) ? ?

1 2

1 1 1 ? ln 2 ∴ f (1) ? f (? ) ? 0 2 2 2

∴当 t ? [? , ?

1 2

1 ln 2,0) 时,方程 f ( x) ? t 有两解 2

(Ⅲ)要证: (1? m)n ? (1? n)m 只需证 n ln(1 ? m) ? m ln(1 ? n),

只需证

ln(1 ? m) ln(1 ? n) ? m n

x ? ln(1 ? x) ln(1 ? x) x ? ln(1 ? x) / 1? x ,( x ? 0) ,则 g ( x) ? 设 g ( x) ? ? 2 2 x x (1 ? x) x
由(Ⅰ)知 x ? (1 ? x) ln(1 ? x) 在 (0, ??) 单调递减 ∴ x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? 0 ,即 g ( x) 是减函数,而 m>n ∴ g (m) ? g (n) ,故原不等式成立。

高考数学压轴题练习 25
x2 y2 2 ? ? 1(a ? 2 )的离心率为 【文科】已知椭圆 ,双曲线 C 与已知椭圆有相同的 a a 2

28

焦点,其两条渐近线与以点 (0, 2 ) 为圆心,1 为半径的圆相切。 (I)求双曲线 C 的方程; (II)设直线 y ? mx ? 1 与双曲线 C 的左支交于两点 A、B,另一直线 l 经过点 M (?2,0) 及 AB 的中点,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围。

【解析】(本小题满分 12 分) : (I)设双曲线 C 的焦点为: F (?c,0), F2 (c,0), c ? 0 1

c a2 ? 2 2 由已知 ? , ? a a 2
得a ? 2, c ? 2 ,
设双曲线 C 的渐近线方程为 y ? kx , 依题意, ……………2 分

k ?0 ? 2 k 2 ?1

? 1 ,解得 k ? ?1 .

∴ 双曲线 C 的两条渐近线方程为 y ? ?x .
2 2 2 故双曲线 C 的实半轴长与虚半轴长相等,设为 a1 ,则 2a1 ? c ? 2 ,得 a1 ? 1 ,

∴ 双曲线 C 的方程为 x ? y ? 1
2 2

……………6分.

(II)由 ?

? y ? mx ? 1
2 2

得(1 ? m 2 ) x 2 ? 2mx ? 2 ? 0 ?x ? y ? 1 ,

直线与双曲线左支交于两点,

?1 ? m2 ? 0 ? ?? ? 0 ? 因此 ? 2m ? 0 2 ?1 ? m ? ?2 ?0 ? ?1 ? m2
又 AB 中点为 (

解得1 ? m ? 2 ………………..9分

m 1 , ) 2 1 ? m 1 ? m2
1 ( x ? 2) , ? 2m ? m ? 2
2
2

∴ 直线 l 的方程为 y ? 令 x=0,得 b ?

2 ? ? 2m ? m ? 2

2 , 1 2 17 ? 2(m ? ) ? 4 8

29

m ∵ ? (1, 2 )

∴ 2(m ? ) ? ?
2

1 4

17 ? (?2 ? 2 ,1) 8

∴ b 的取值范围是 (??, ?2 ? 2) ? (2, ??) . ………………12 分. 故

高考数学压轴题练习 26
椭圆 x 2
a
2

?

y2 右焦点分别为 F1、 2, F1 的直线 F 过 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 b2

l 与椭圆交于 A、

B 两点. (1)如果点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? c 2 (c 为椭圆的半焦距)上,且|F1A|=c,求椭圆的离 心率; (2)若函数 y ? 2 ? log m x (m ? 0且m ? 1) 的图象,无论 m 为何值时恒过定点(b, a) , 求 F2 A ? F2 B 的取值范围。
【解析】(1)∵点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? c 2上,??AF F2为一直角三角形 : , 1

? F1 A |? c,| F1F2 |? 2c |

? F2 A |? | F1 F2 |2 ? | AF |2 ? 3c | 1

由椭圆的定义知:|AF1|+|AF2|=2a,

? c ? 3c ? 2a
(2)∵函数 y ? ∴a ?

?e ?

c 2 ? ? 3 ?1 a 1? 3

2 ? log m x的图象恒过点(1, 2)

2, b ? 1, c ? 1,

点 F1(-1,0) 2(1,0) ,F , ①若 AB ? x轴, 则A(?1,

2 2 ), B(?1,? ), 2 2

∴ F2 A ? (?2,

???? ?

? ? ? 2 ???? 2 ???? ???? 1 7 ), F2 B ? (?2, ? ), F2 A ? F2 B ? 4 ? ? 2 2 2 2

②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k,则 AB 的方程为 y=k(x+1) 由?

? y ? k ( x ? 1)
2 2

消去y得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 ????(*) ?x ? 2 y ? 2 ? 0

? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0,?方程(*)有两个不同的实根.

30

设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1,x2 是方程(*)的两个根

x1 ? x 2 ? ?

4k 2 2(k 2 ? 1) , x1 x 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

F2 A ? ( x1 ? 1, y1 ), F2 B ? ( x2 ? 1, y 2 ),

F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2

? (1 ? k 2 )

2(k 2 ? 1) 4k 2 7k 2 ? 1 7 9 ? (k 2 ? 1)(? ) ?1? k 2 ? ? ? 2 2 2 2 2(1 ? 2k 2 ) 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k

?1 ? 2k 2 ? 1,? 0 ?

1 9 9 ? 1,0 ? ? 2 2 1 ? 2k 2(1 ? 2k ) 2 7 9 7 ? 1 ? F2 A ? F2 B ? ? ? , 2 2 2(1 ? 2k ) 2

由①②知 ? 1 ? F2 A ? F2 B ?

7 2

高考数学压轴题练习 27
如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M (2,1) , 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m ? 0) ,交 l 椭圆于 A、B 两个不同点 (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。

31

【解析】(1)设椭圆方程为 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

?a ? 2b ?a 2 ? 8 x2 y2 ? ? ? ?1 则? 4 解得 ? 2 所以椭圆方程 1 8 2 ?b ? 2 ? ? a 2 ? b2 ? 1 ?
(2)因为直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 KOM ?

1 1 ,所以 l 的方程为: y ? x ? m 2 2

1 ? ?y ? 2 x ? m ? 由? 2 ? x 2 ? 2mx ? 2m2 ? 4 ? 0 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?
因为直线 l 与椭圆交于 A B 两个不同点, 、

?? ? (2m)2 ? 4(2m2 ? 4) ? 0,
所以 m 的取值范围是 ?m | ?2 ? m ? 2, m ? 0? 。 (3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1, k2 ,只要证明 k1 ? k2 ? 0 即可 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 k1 ? 由 x ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0
2 2
2 可得 x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m ? 4

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

32

而 k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
? x1 x2 ? (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4( m ? 1) ?0 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?

?k1 ? k2 ? 0
故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。

高考数学压轴题 28
已知函数 f (x) ? ln 1? 2x ? mx (1)

f ( x)

为定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围

(2)当 m ? ?1时,求函数

f ( x)

的最大值

4 f ( a ) ? f (b ) ? ?2 a?b (3)当 m ? 1时,且 1? a ? b ? 0,证明: 3

1 1 ( x ? ? ) f ?( x ) ? ?m 2 ∴ 1 ? 2x 【解析】(1) f (x) ? ln 1? 2x ? mx, : x??
因为对

1 1 ? (0,??) 2 ,有 1 ? 2 x f ?( x) ? 1 1 ?m?0 x?? 1 ? 2x 2 恒成立 ,对

∴不存在实数 m 使

2分

f ?( x) ?


1 1 ?m?0 m?? 1 ? 2x 1 ? 2x , 恒成立,∴

33

1 ?0 而 1 ? 2x ,所以 m? 0 ? f ?( x) ? 1 1 ?m?0 x ? ? 1 ? 2x 2 恒成立。 对
4分

经检验,当 m? 0 时, ∴当 m? 0 时,

f ( x)

为定义域上的单调增函数

(2)当 m ? ?1时,由

f ?( x) ?

1 ? 2x ?1 ? ?0 1 ? 2x 1 ? 2x ,得 x ? 0

1 x ? (? ,0) 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (0,??) 时, f ?( x) ? 0 当


f ( x)

在 x ? 0时取得最大值,∴此时函数

f ( x)

的最大值为

f ( 0) ? 0

7分

(3)由(2)得, ln 1 ? 2 x ? x 对

x??

1 2 恒成立,当且仅当 x ? 0时取等号

当 m ? 1时, f (x) ? ln 1? 2x ? x ,∵ 1? a ? b ? 0, a ?b ? 0

f (b) ? f (a) ? ln


1 ? 2b 2(b ? a) ? (b ? a) ? ln 1 ? ? (b ? a) 1 ? 2a 1 ? 2a

?

b?a (a ? b)(2 ? 2a ) ? (b ? a ) ? ? 1 ? 2a 1 ? 2a

f (a) ? f (b) 2 ? 2a ? a?b 1 ? 2a ∴ f ( a ) ? f (b ) 2 ? 2 a 2 ? 2a 1 4 ? ? 1? ? a?b 1 ? 2 a , 1? a ? b ? 0 , 1 ? 2 a 1 ? 2a 3 , 同理可得
2 ? 2b 1 ? 1? ?2 1 ? 2b 1 ? 2b

4 f ( a ) ? f (b ) ? ?2 a?b ∴3
法二:当 m ? 1时(由待证命题的结构进行猜想,辅助函数,求差得之) ,

f ( x)



1 (? ,??) 2 上递增

34

g ( x) ? f ( x) ?


4 1 1 x ? ln (1 ? 2 x) ? x 3 2 3

g ?( x) ?

1 1 2(1 ? x) ? ? 1 ? 2 x 3 3(1 ? 2 x) 在 ?0,1? 上总有 g ?( x ) ? 0 ,即 g (x) 在 ?0,1? 上递增
g (a) ? g (b)

当 0 ? b ? a ?1时,

4 4 f (a ) ? f (b) 4 f (a) ? a ? f (b) ? b ? ? 3 3 a?b 3 即 h( x ) ? f ( x) ? 2 x ?
令 即

1 ln (1 ? 2 x ) ? x h(a ) ? h(b) 2 由(2)它在 ?0,1? 上递减∴

f ( a ) ? 2a ? f (b) ? 2b
∵ a ?b ? 0

f (a) ? f (b) ? 2(a ? b)

f (a) ? f (b) 4 f ( a ) ? f (b ) ?2 ? ?2 a ?b a?b ∴ ,综上 3 成立,其中 0 ? b ? a ?1。

高考数学压轴题 29
已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? x , a ? R 是常数, x ? R . ⑴若 y ? 2 x ? 1是曲线 y ? f (x) 的一条切线,求 a 的值; ⑵ ?m? R ,试证明 ? x ? (m , m ? 1) ,使 f / (x) ? f (m ? 1) ? f (m) .
2a -------2 3

【解析】 :⑴ f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1-------1 分,解 f / ( x) ? 1 得, x ? 0 或 x ? ? 分 当 x ? 0 时, f (0) ? 0 , y ? 0 ? 1 ? 0 ,所以 x ? 0 不成立-------3 分 当 x??

8a 3 4a 3 2a 2a 2a ? ? ?? ?1 , 得 时 , 由 f ( x) ? y , 即 ? 27 9 3 3 3

a?

33 2 -----5 分 2

35

⑵作函数 F ( x) ? f / ( x) ? [ f (m ? 1) ? f (m)] -------6 分

F ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (3m2 ? 3m ? 2am? a ? 1) ,函数 y ? F (x) 在 [m , m ? 1] 上的图
象是一条连续不断的曲线------7 分,

F (m) ? F (m ? 1) ? ?(3m ? a ? 1)(3m ? a ? 2) ------8 分
① 若 (3m ? a ? 1)(3m ? a ? 2) ? 0 , F (m) F (m ? 1) ? 0 , ? x ? (m , m ? 1) , 使

F ( x) ? 0 ,
即 f / ( x) ? f (m ? 1) ? f (m) -------10 分 ②若 (3m ? a ? 1)(3m ? a ? 2) ? 0 , ? 2 ? 3m ? a ? ?1, F (m ? 1) ? 3m ? a ? 2 ? 0 ,

F (m) ? ?(3m ? a ? 1) ? 0 , F ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (3m2 ? 3m ? 2am? a ? 1) 当 x ? ?
2 有 最 小 值 Fm i n( x) ? ?(3m ? 3m ? 2am ? a ? 1) ?

a 时 3

a2 3 ? 2a 2 1 ? ?3(m ? ) ? ? 0 ,且当 3 6 4

1 a 2 ? 2 ? 3m ? a ? ?1时 m ? m ? ? ? ? m ? ? m ? 1 -------11 分, 3 3 3
所 以 存 在 ? x ? (m , ?

a a ) ( 或 ? x ? (? , m ? 1) ) 从 而 ? x ? (m , m ? 1) , 使 3 3

F ( x) ? 0 ,即 f / ( x) ? f (m ? 1) ? f (m) -------12 分

高考数学压轴题 30
我们知道, 判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别,那么直 线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问题。 ( 1 ) 设 F1 、 F2 是 椭 圆 M :
x2 y2 ? ? 1 的 两 个 焦 点 , 点 F1 、 F2 到 直 线 25 9

L : 2 x ? y ? 5 ? 0 的距离分别为 d1、d2,试求 d1〃d2 的值,并判断直线 L 与椭

圆 M 的位置关系。 (2)设 F1、F2 是椭圆 M :
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,点 F1、F2 到直线 a2 b2

L : mx ? ny ? p ? 0 (m、n 不同时为 0)的距离分别为 d1、d2,且直线 L 与椭圆 M
相切,试求 d1〃d2 的值。

36

(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明。 (4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线,请同学们给出自己研究的有关 结论(不必证明) 。
【解析】 :21. (本题 20 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 6 分,第 4 小题 4 分) (1) d 1 ? d 2 ?

| ?4 2 ? 5 | | 4 2 ? 5 | ? ? 9 ; ………………2 分 3 3

? x2 y2 ?1 ? ? 消去 y可得 59 x 2 ? 50 10 x ? 100 ? 0 ; …………3 分 联立方程 ? 25 9 ? 2x ? y ? 5 ? 0 ?
? ? (50 10 ) 2 ? 4 ? 59 ? 100 ? 0, 所以直线 L 与椭圆 M 相交。 …………4 分

? x2 y2 ?1 ? ? , (2)联立方程组 ? a 2 b 2 ?mx ? ny ? p ? 0 ?
消去

y可得 (a 2 m 2 ? b 2 n 2 ) x 2 ? 2a 2 mpx ? a 2 ( p 2 ? b 2 n 2 ) ? 0, (*) ???? 6分 ? ? (2a 2 mp ) 2 ? 4(a 2 m 2 ? b 2 n 2 )a 2 ( p 2 ? b 2 n 2 ) ? 4a 2 b 2 n 2 (a 2 m 2 ? b 2 n 2 ? p 2 ) ? 0 即p 2 ? a 2 m 2 ? b 2 n n . ????8分 因为椭圆焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0), 其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ; | ?mc ? p | | mc ? p | | p 2 ? m 2 c 2 | d1 ? d 2 ? ? ? 2 2 2 2 m2 ? n2 m ?n m ?n | a 2m2 ? b 2n 2 ? m 2c 2 | ? ? b 2 . ????10分 2 2 m ?n
(3)设 F1、F2 是椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,点 F1、F2 到直线 a2 b2

L : mx ? ny ? p ? 0(m, n不同时为0) 的距离分别为 d1、d2,且 F1、F2 在直线 L 的同侧。那
么直线 L 与椭圆相交的充要条件为: d1 ? d 2 ? b 2 ;直线 L 与椭圆 M 相切的充要条件为:

d1 ? d 2 ? b2 ;直线 L 与椭圆 M 相离的充要条件为: d1 ? d 2 ? b2

……14 分

37

证明:由(2)得,直线 L 与椭圆 M 相交 ? (*) ? ? 0 ? p 2 ? a 2 m2 ? b2 n2 中

m2 ? n2 m2 ? n2 同理可证: 直线L与椭圆M相离 ? d1 ? d 2 ? b 2

? d1 ? d 2 ?

? mc ? p

?

mc ? p

?

p 2 ? m2c 2 a 2m2 ? b2n2 ? m2c 2 ? ? b2 ; m2 ? n2 m2 ? n2

直线L与椭圆M相切 ? d1 ? d 2 ? b 2 . ????16分
命题得证。 (写出其他的充要条件仅得 2 分,未指出“F1、F2 在直线 L 的同侧”得 3 分) (4)可以类比到双曲线:设 F1、F2 是双曲线 M :
x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 F1、F2 a2 b2

到直线 L : mx ? ny ? p ? 0(m, n不同时为0) 距离分别为 d1、d2,且 F1、F2 在直线 L 的同侧。 那么直线 L 与双曲线相交的充要条件为: d1 ? d 2 ? b 2 ;直线 L 与双曲线 M 相切的充要条件 为: d1 ? d 2 ? b 2 ;直线 L 与双曲线 M 相离的充要条件为: d1 ? d 2 ? b 2 ………………20 分 (写出其他的充要条件仅得 2 分,未指出“F1、F2 在直线 L 的同侧”得 3 分) 。

高考数学压轴题练习 31
15.已知抛物线 W : y ? ax2 经过点 A(2,1),过 A 作倾斜角互补的两条不同直线 l1 , l2 . (Ⅰ )求抛物线 W 的方程及准线方程; (Ⅱ )当直线 l1 与抛物线 W 相切时,求直线 l2 的方程 (Ⅲ )设直线 l1 , l2 分别交抛物线 W 于 B,C 两点(均不与 A 重合) ,若以线段 BC 为直径的圆 与抛物线的准`线 BC 的方程. 解: )由于 A(2,1)在抛物线 y ? ax2 上,所以 1 ? 4a ,即 a ? (Ⅰ 故所求抛物线的方程为 y ?

1 . ………….2 分 4

1 2 x ,其准线方程为 y ? ?1 . ……………….3 分 4
x?2

(Ⅱ )当直线 l1 与抛物线相切时,由 y?

? 1 ,可知直线 l1 的斜率为 1,其倾斜角为 45? ,所

以直线 l2 的倾斜角为 135? ,故直线 l2 的斜率为 ? 1 ,所以 l2 的方程为 y ? ?x ? 3 …6 分 (Ⅲ )不妨设直线 AB 的方程为 y ?1 ? k(x ? 2)

(k ? 0) ,

………………8 分

38

? y ? 1 ? k ( x ? 2) ? 由? 得 x2 ? 4kx ? 8k ? 4 ? 0 ,……….10 分 1 y ? x2 ? ? 4

y

C

易知该方程有一个根为 2,所以另一个根为 4k ? 2 , 所以点 B 的坐标为 (4k ? 2,4k 2 ? 4k ? 1) , 同理可得 C 点坐标为 (?4k ? 2,4k 2 ? 4k ? 1) ,
O B
A

……………….11 分

y ? ?1

x

所以 | BC |? [(4k ? 2) ? (?4k ? 2)]2 ? [(4k 2 ? 4k ? 1) ? (4k 2 ? 4k ? 1)]2
? (8k )2 ? (?8k )2 ? 8 2k ,

……………….9 分

线段 BC 的中点为 (?2, 4k 2 ? 1) ,因为以 BC 为直径的圆与准线 y ? ?1 相切, 所以 4k 2 ? 1 ? (?1) ? 4 2k ,由于 k ? 0 ,解得 k ?
2 . 2

…………….10 分

此时,点 B 的坐标为 (2 2 ? 2,3 ? 2 2) ,点 C 的坐标为 (?2 2 ? 2,3 ? 2 2) , 直线 BC 的斜率为
(3 ? 2 2) ? (3 ? 2 2) (?2 2 ? 2) ? (2 2 ? 2) ? ?1 ,

所以,BC 的方程为 y ? (3 ? 2 2) ? ?[ x ? (2 2 ? 2)] ,即 x ? y ?1 ? 0 . …….12 分

39


更多相关文档:

2013高考数学压轴题汇编-31套(历年真题和各省知名中学....doc

2013高考数学压轴题汇编-31套(历年真题和各省知名中学高三模拟题) - 高考

2013高考数学压轴题汇编-31套(历年真题和各省知名中学....doc

2013高考数学压轴题汇编-31套(历年真题和各省知名中学高三模拟题) - 1.

高考数学填空选择压轴题试题汇编.doc

高考数学填空选择压轴题试题汇编_高三数学_数学_高中...共计 40 套试题.试题为每套试 卷选择题最后两题,...则 a= ___. 31.【12 年焦作一模】12.定义在 ...

高考数学填空选择压轴题试题汇编.doc

高考数学填空选择压轴题试题汇编_高三数学_数学_高中...共计 40 套试题.试题为每套试 卷选择题最后两题,...31.【12 年焦作一模】12.定义在 R 上的奇函数 ...

新课标高考数学填空选择压轴题汇编(理科)_图文.doc

新课标高考数学填空选择压轴题汇编(理科)_高三数学_... 2012 一模二模三模试题 6 套;2012 河南 ...≥ 0 ,则 a = ___. 31. 【 12 年焦作一模】...

新课标高考数学填空选择压轴题汇编(文科).doc

新课标高考数学填空选择压轴题汇编(文科)_高三数学_... 2012 一模二模三模试题 6 套; 2012 河南...31 2 3 5 5 6 8 32 0 2 2 4 7 9 33 1...

...2013届高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编2:函....doc

新课标全国统考区(山西、河南、河北)2013高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编2:函数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【精品推荐】新课标全国统考区(山西...

...2013届高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编6:不....doc

试题精选(31套)分类汇编6:不等式_高三数学_数学_...2013 高中毕业年级第二次质量预测数学(理)试题)...河北省武邑中学 2013高三第一次模拟考试数学 ( ...

...2013届高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编1:集....doc

新课标全国统考区(山西、河南、河北)2013高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编1:集合_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【精品推荐】新课标全国统考区(山西...

...2013届高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编5:数....doc

试题精选(31套)分类汇编5:数列(2)_高三数学_数学...选择题 1 . (河南省十所名校 2013高三第三次...14. (河北省衡水中学 2013高三第六次模拟考试...

...河北)2013届高三理科最新试题精选(31套)分类汇编2:....doc

河北)2013高三理科最新试题精选(31套)分类汇编2:...中学、长治二中 2013高三第三次四校联考数学(理...2013 高中毕业年级第二次质量预测数学(理)试题)...

...2013届高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编7:立....doc

(31 套)分类汇编 7:立体几何(2)一、选择题 1 . (河南省开封市 2013 届...(河北省武邑中学 2013高三第一次模拟考试数学(理)试题)某几何体的一条棱...

...2013届高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编9:圆....doc

河北)2013高三名校理科最新试题精 选(31 套)分类汇编 9:圆锥曲线(2)一、选择题 1 . (河南省 2013高三新课程高考适应性考试(一)数学(理)试题)过双...

...2013届高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编17:....doc

河南、河北)2013高三名校理科最新试题精 选(31 套)分类汇编 17:复数一、选择题 1 . (山西省太原市 2013高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题)复数 ...

...2013届高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编7:立....doc

(31 套)分类汇编 7:立体几何(1)一、选择题 1 ...7 . (山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治...2013高三 4 月模拟考试数学(理)试题)从正方体...

...河北)2013届高三理科最新试题精选(31套)分类汇编19:....doc

(31 套)分类汇编 19:几何证明一、解答题 1 . (...2013高三新课程高考适应性考试(一)数学()试题...17. (河北省武邑中学 2013高三第一次模拟考试...

...2013届高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编3:三....doc

(山西、河南、河北)2013高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编3:三角函数(...长度 1页 5 . (河北省衡水中学 2013高三第六次模拟考试数学(理)试题)在...

...2013届高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编13:....doc

(山西、河南、河北)2013高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编13:统计_政...重点中学协作体 2013高三第一次模拟考试数学(理)试题) 右图是2011在某...

...2013届高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编9:圆....doc

河北)2013高三名校理科最新试题精 选(31 套)分类汇编 9:圆锥曲线(1)一、选择题 2 2 1 . (山西省忻州市 2013高三第一次联考数学(理)试题)设双曲线...

...2013届高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编4:平....doc

新课标全国统考区(山西、河南、河北)2013高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编4:平面向量_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【精品推荐】新课标全国统考区(...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com