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重庆一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


重庆一中 2014-2015 学年高一上学期期中数学试卷
一、选择题(每题 5 分,共 50 分.每题只有一个正确答案) 1. (5 分)以下表示正确的是() A.?=0 B.?={0} C.?∈{0} 2. (5 分)函数 f(x)= ﹣ln(2﹣x)的定义域为() A. A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b

D.??{0}

D.c>b>a

5. (5 分)已知幂函数 f(x)的图象经过点(4,2) ,则 f(x)的增区间为() A.(﹣∞,+∞) B.(﹣∞,0) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 6. (5 分)x>1 的充分不必要条件是() A.x>0 B.x≥1 7. (5 分)已知 f( A.±2 +1)=x+2 B. 2

C.x=0

D.x=2

,且 f(a)=3,则实数 a 的值是() C . ﹣2 D.4

8. (5 分)函数

,若互不相等的实数 x1,x2,x3 满足 f(x1)

=f(x2)=f(x3) ,则 x1+x2+x3 的取值范围为() A.(﹣5,4] B.(﹣5,3) C.(﹣1,4)

D.(﹣1,3]

9. (5 分)已知函数 y=lg 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是() A. B. C. (﹣2,1) D. (﹣∞,﹣2)∪=xf(x)+1,则方程 f(x)=0 的实根个数为() A.0 B. 1 C. 2 D.4

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 2 11. (5 分)函数 y=x +1,x∈的值域为. 12. (5 分)已知函数 f(x)= +a 为奇函数,则常数 a=.

13. (5 分)函数 y=log2(4x﹣x )的递增区间是. 14. (5 分)一元二次不等式 ax +bx+c>0 的解集为 结论:
2

2

,对于 a,b,c 有以下几个

①a>0, ②b>0, ③c>0, ④a+b+c>0, ⑤a﹣b+c>0. 其中正确结论的序号是. 15. (5 分)已知函数 f(x)=mx ﹣2(m+n)x+n, (m≠0)满足 f(0)?f(1)>0,设 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两根,则|x1﹣x2|的取值范围是.
2

三、解答题(共 75 分) 16. (13 分)计算下列各式: (要求写出必要的运算步骤) (1) (2) ; 3.

17. (13 分)已知集合 A={x|x ﹣x﹣2>0},B={x|2x +(2k+5)x+5k<0}; (1)若 k=﹣1 时,求 A∩B; (2)若 A∪B=R,求实数 k 的取值范围. 18. (13 分)已知函数 f(x)=x﹣ ,x∈(0,+∞) ,且 f(2)= .

2

2

(1)用定义证明函数 f(x)在其定义域上为增函数; (2)若 a>0,解关于 x 的不等式 f(3
2 x﹣2

﹣1)<f(9 ﹣1) .
*

ax

19. (12 分)已知函数 f(x)=ax +2x+c, (a,c∈N )满足①f(1)=5;②6<f(2)<1 1. (1)求函数 f(x)的解析表达式; (2)若对任意 x∈,都有 f(x)﹣2mx≥1 成立,求实数 m 的取值范围.

20. (12 分)已知函数 f(x)=

,a∈R.

(1)若 f(x)在时,f(x)<1. (1)求 f(0) ,f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并给出你的证明; (3)定义:“若存在非零常数 T,使得对函数 F(x)定义域中的任意一个 x,均有 F(x+T) =F(x) ,则称 F(x)为以 T 为周期的周期函数”.试证明:函数 f(x)为周期函数,并求出 的值.

重庆一中 2014-2015 学年高一上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 50 分.每题只有一个正确答案) 1. (5 分)以下表示正确的是() A.?=0 B.?={0} C.?∈{0}

D.??{0}

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 本题考察集合与集合,集合与元素间的关系,要注意空集?,然后注意判断. 解答 : 解:A,空集?只能等于集合,等于 0,不正确, B,{0}中有一个元素 0,不等于?,不正确, C,{0}中没有元素?,不能使用∈符号表示其关系,不正确, D,?是任意集合的子集,D 正确, 故选:D. 点评: ?是集合,但不含有任何元素,它是任意集合的子集. 2. (5 分)函数 f(x)= A. C. 关于原点对称 ﹣ln(2﹣x)的定义域为() D.关于直线 y=x 对称

考点: 奇偶函数图象的对称性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将函数进行化简,利用函数的 奇偶性的定义进行判断. 解答: 解: 因为 ═ , 所以 f (﹣x) =2 +2 =2 +2 =f (x) ,
﹣x

x

x

﹣x

所以函数 f(x)是偶函数,即函数图象关于 y 轴对称. 故选 A. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系,利用函数奇偶性的定义判断函数的奇 偶性是解决本题的关键.

4. (5 分)已知 a= A.a>b>c

,b=log2 ,c= B.a>c>b

,则() C.c>a>b D.c>b>a

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 判断 a、b、c 与 1,0 的大小,即可得到结果.

解答: 解:a=

∈(0,1) ,b=log2 <0,c=log

>1.

∴c>a>b. 故选:C. 点评: 本题考查函数值的大小比较,基本知识的考查. 5. (5 分)已知幂函数 f(x)的图象经过点(4,2) ,则 f(x)的增区间为() A.(﹣∞,+∞) B.(﹣∞,0) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 设幂函数 f(x)=x ,代入点(4,2) ,解出 n,再判断单调增区间. n 解答: 解:设幂函数 f(x)=x , 则 4 =2,解得,n= , 即有 f(x)= , 则有 x≥0, 则增区间为(0,+∞) . 故选 C. 点评: 本题考查幂函数的解析式和单调区间,注意运用待定系数法,属于基础题. 6. (5 分)x>1 的充分不必要条件是() A.x>0 B.x≥1
n n

C.x=0

D.x=2

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 运用充分必要条件的定义判断. 解答: 解:根据充分必要条件的定义可判断: x=2,是 x>1 的充分不必要条件, 故选:D 点评: 本题考查了充分必要条件的定义,属于容易题. 7. (5 分)已知 f( A.±2 +1)=x+2 B. 2 ,且 f(a)=3,则实数 a 的值是() C . ﹣2 D.4

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 2 分析: 设 ,则 x=(t﹣1) ,t≥1,从而 f(t)=(t﹣1) +2t﹣2=t ﹣1,由此能求出 a. 解答: 解:∵f( +1)=x+2 ,且 f(a)=3, 2 设 ,则 x=(t﹣1) ,t≥1, 2 2 ∴f(t)=(t﹣1) +2t﹣2=t ﹣1, 2 ∴a ﹣1=3,

解得 a=2 或 a=﹣2(舍) . 故选:B. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.

8. (5 分)函数

,若互不相等的实数 x1,x2,x3 满足 f(x1)

=f(x2)=f(x3) ,则 x1+x2+x3 的取值范围为() A.(﹣5,4] B.(﹣5,3) C.(﹣1,4) 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用.

D.(﹣1,3]

分析: 先画出函数的图象,得到 x2+x3 的值,求出 x1 的取值范围,从而得到答案. 解答: 解:画出函数 f(x)的图象,如图示:

, 不妨设则 x1<x2<x3,则 x2+x3=4,﹣5<x1≤﹣1, ∴﹣1<x1+x2+x3≤3, 故选:D. 点评: 本题考查了函数的零点问题,考查了函数的对称性,是一道中档题. 9. (5 分)已知函数 y=lg 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是() A. B. C. (﹣2,1) D. (﹣∞,﹣2)∪的值域为 R, 2 ∴当 a ﹣1=0 时,a=1 或 a=﹣1,验证 a=1 时不成立; 2 当 a ﹣1≠0 时, , 解得﹣2≤a<﹣1; 综上,﹣2≤a≤﹣1, ∴实数 a 的取值范围是. 故选:B. 点评: 本题考查了对数函数的应用问题,解题时应根据理解数函数的解析式以及定义域和 值域是什么,属于基础题.

10. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f=xf(x)+1,则方程 f(x)=0 的实根个数为 () A.0 B. 1 C. 2 D.4 考点: 根的存在性及根的个数判断. 分析: 设设函数的零点为 x0,则 f(x0)=0, 赋值思想:x=0,代入 f=xf(x)+1 可得 f(1)=1, x=1,代入 f=xf(x)+1 可得:f=1×f(1)+1,即 f(1)=1×1+1=2,与 f(1)=1,矛盾,判断 无零点. 解答: 解:∵f=xf(x)+1, ∴设函数的零点为 x0, 则 f(x0)=0, ∴f=x0f(x0)+1, f(0)=x0×0+1=1, 把 x=0 代入 f=xf(x)+1 可得 f(1)=1, x=1,代入 f=xf(x)+1 可得:f=1×f(1)+1, 即 f(1)=1×1+1=2,与 f(1)=1,矛盾. ∴函数 f(x)无零点, 方程 f(x)=0 的实根个数为 0 故选:A 点评: 本题考查了抽象函数的零点的求解判断,赋值思想,反正法,属于难题. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 2 11. (5 分)函数 y=x +1,x∈的值域为. 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 函数 y=x +1,x∈在上递减,在上递增,计算即可得到最值和值域. 2 解答: 解:函数 y=x +1,x∈ 在上递减,在上递增, 则 x=0 取最小为 1,x=﹣1 时,y=2, x=2 时,y=5.则最大为 5. 则值域为: . 故答案为: . 点评: 本题考查二次函数在闭区间上的最值,注意对称轴和区间的关系,运用单调性解题, 属于基础题和易错题. 12. (5 分)已知函数 f(x)= +a 为奇函数,则常数 a= .
2

考点: 有理数指数幂的运算性质;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 运用函数的性质得出 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(0)=0,代入即可求解.

解答: 解:∵函数 f(x)= ∴f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f(0)=0, +a=0,a= , 故答案为: .

+a 为奇函数,

点评: 本题考查了函数的定义、性质,属于容易题. 13. (5 分)函数 y=log2(4x﹣x )的递增区间是(0,2]. 考点: 对数函数的单调性与特殊点;二次函数的性质. 专题: 计算题. 2 2 分析: 由﹣x +4x>0 可求定义域,根据复合函数的单调性,要求函数 y=log2(﹣x +4x)的 2 单调增区间,只要求 t=﹣x +4x 在 0<t≤4 的单调增区间. 2 解答: 解:由﹣x +4x>0,得 0<x<4, (2 分) 即定义域为 x∈(0,4) . 2 设 t=﹣x +4x(0<t≤4) , 则当 x∈(0,2]时,t 为增函数; (8 分) 又 y=log2t(0<t≤4)也为增函数, (9 分) 故函数的单调递增区间为(0,2]. (10 分) 故答案为: (0,2]. 点评: 本题主要考查了对数函数域二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调区间的求 解,解题的关键是灵活利用对数函数的定义域及复合函数的单调性.
2 2

14. (5 分)一元二次不等式 ax +bx+c>0 的解集为 结论: ①a>0, ② b>0, ③c>0, ④a+b+c>0, ⑤a﹣b+c>0. 其中正确结论的序号是(2) , (3) , (4) . 考点: 一元二次不等式的应用. 专题: 计算题. 分析: 由题意知:x=

,对于 a,b,c 有以下几个

,x=2 是方程 ax +bx+c=0 的两根,由韦达定理可得到系数 a,b,

2

c 之间的关系.结合函数的图象可以解决.

解答: 解:由题意,x=

,x=2 是方程 ax +bx+c=0 的两根,且开口向下,利 用函数的图 ,∴b>0,

2

象可知,f(1)>0,f(﹣1)<0,又对称轴为

故答案为: (2) , (3) , (4) 点评: 本题主要考查一元二次不等式的运用,应注意不等式的解集与方程解之间的关系, 同时应正确利用函数的图象. 15. (5 分)已知函数 f(x)=mx ﹣2(m+n)x+n, (m≠0)满足 f(0)?f(1)>0,设 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两根,则|x1﹣x2|的取值范围是,都有 f(x)﹣2mx≥1 成立,求实数 m 的取 值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)f(1)=5 可得 c=3﹣a.①,由 6<f(2)<11,得 6<4a+c+4<11,②联立 ①②可求得 a,c,进而可得函数 f(x)的解析表达式; (2)法一:设 g(x)=f(x)﹣2mx﹣1=x ﹣2(m﹣1)x+1,x∈,则由已知得:当 m﹣1≤1 即 m≤2 时,gmin(x)=g(1)=4﹣2m≥0,解得 m 的取值范围. (2)法二:不等式 f(x)﹣2mx≥1 恒成立等价于 2m﹣2≤x+ 在上恒成立.只需求出(x+ )
min. 2 2

解答: 解: (1)∵f(1)=5 ∴5=a+c+2,即 c=3﹣a, 又∵6<f(2)<11 ∴6<4a+c+4<11, ∴∴
*



又∵a∈N , ∴a=1,c=2. 2 所以 f(x)=x +2x+2. 2 (2)法一:设 g(x)=f(x)﹣2mx﹣1=x ﹣2(m﹣1)x+1,x∈,则由已知得: 当 m﹣1≤1 即 m≤2 时,gmin(x)=g(1)=4﹣2m≥0,此时 m≤2; 当 1<m﹣1<2 即 2<m<3 时,△ ≤0,解得:无解; 当 m﹣1≥2 即 m≥3 时,gmin(x)=g(2)=9﹣4m≥0,此时无解. 综上所述,m 的取值范围为(﹣∞,2]. 法二:由已知得, 由于 所以 在上单调递增, , 在 x∈上恒成立.

故 2(m﹣1)≤2, 即 m≤2. 点评: 本题考查二次函数的性质、二次不等式恒成立,考查转化思想,属中档题.

20. (12 分)已知函数 f(x)=

,a∈R.

(1)若 f(x)在时,f(x)<1. (1)求 f(0) ,f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并给出你的证明; (3)定义:“若存在非零常数 T,使得对函数 F(x)定义域中的任意一个 x,均有 F(x+T) =F(x) ,则称 F(x)为以 T 为周期的周期函数”.试证明:函数 f(x)为周期函数,并求出 的值.

考点: 函数的周期性;抽象函数及其 应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由于 f(x)不恒为 0,故存在 x0,使 f(x0)≠0,令 m=x0,n=0,可得 f(0) , 令 m=n=1,即得 f(1) ; (2)令 m=0,n=x,由条件,即可得到奇偶性; (3)由 f(1+m)=f(1﹣m)得 f(﹣x)=f(2+x) ,又 f(x)为偶函数,则 f(x+2)=f(x) , 即 f(x)以 2 为周期的周期函数, 运用周期,即可得到所求值. 解答: 解: (1)由于 f(x)不恒为 0,故存在 x0,使 f(x0)≠0,令 m=x0,n=0, 则 f(x0)+f(x0)=2f(x0)f(0) , 2 则 f(0)=1.令 m=n=1,则 f(2)+f(0)=2f (1) , 2 又 f(0)=f(2) ,则 f (1)=1,则 f(1)=±1, 由已知,f(1)<1,故 f(1)=﹣1; (2)令 m=0,n=x,得,f(x)+f(﹣x)=2f(0)f(x)=2f(x) , 即有 f(﹣x)=f(x) ,即有 f(x)为偶函数; (3)由 f(1+m)=f(1﹣m)得 f(﹣x)=f(2+x) ,又 f(x)为偶函数, 则 f(x+2)=f(x) ,即 f(x)以 2 为周期的周期函数, 令 m=n= ,f( )+f(0)=2f ( ) ,即 f( )+1=2f ( ) , 再令 m= ,n= 得,f(1)+f( )=2f( )f( ) ,即 f( )﹣1=2f( )f( ) . 而 f( )<1,解得,f( )= ,f( )=﹣ ,由条件得,f( )=f( ) ,f( )=f( ) , 故 f( )+f( )+…+f( )=0,f(x)以 2 为周期的周期函数, 则 =336×0+f( )=f( )= .
2 2

点评: 本题考查函数的周期性和奇偶性及运用,考查运算能力,考查抽象函数的解决方法: 赋值法,属于中档题.


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