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2019届高三文科数学一轮复习导学案(教师用书):第7章不等式第4节合情推理与演绎推理

第四节 考点 高考试题 合情推理与演绎推理 考查内容 依据给出的说法进行推理 核心素养 逻辑推理 2017· 全国卷Ⅱ· T9· 5 分 合情推理与演绎 推理 2016· 全国卷Ⅱ· T16· 5 分 2014· 全国卷Ⅰ· T14· 5 分 命题分析 依据给出的说法进行推理 逻辑推理 依据给出的说法进行推理 逻辑推理 本节对本节内容的考查主要是合情推理和演绎推理的理解及应用, 一般以选择题或填空题的形式出现,难度中高档,分值 5 分. 1.合情推理 类型 归纳 推理 定义 根据一类事物的部分对象具有某种特 征,推出这类事物的全部对象都具有 这种特征的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊 由部分到整体、由个别到一般 特点 类比 推理 2.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演 绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 提醒: 1.辨明两个易误点 (1)演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的 严密性,书写格式的规范性. (2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据. 2.把握合情推理与演绎推理的三个特点 (1)合情推理包括归纳推理和类比推理,所得到的结论都不一定正确,其结论的正确性 是需要证明的. (2)在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑;否则只抓住 一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误. (3)应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提与 推理形式是正确的,结论必定是正确的.如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结 论也是错误的. 1.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.( ) ) ) (3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( (4)演绎推理的结论一定是正确的.( ) ) ) (5)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.( (6)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.( 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)× 2.(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无 限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 解析:选 C 由条件知使用了三段论,但推理形式是错误的. 3.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则 a10+b10 等于( A.28 C.123 ) B.76 D.199 ) 解析:选 C 从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式 子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,依据此规律,a10+b10=123. 4.观察下列不等式: 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 …… 照此规律,第五个 不等式为________. ... 解析: 观察每行不等式的特点, 每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的 分母相等,且每行右端分数的分子构成等差数列. 1 1 1 1 1 11 ∴第五个不等式为 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 1 1 1 1 1 11 答案:1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 5.(教材改编)在等差数列{an}中,若 a10=0,则有 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n (n<19, n∈N*)成立, 类比上述性质, 在等比数列{bn}中, 若 b9=1, 则 b1b2b3b4…bn=________. 答案:b1b2b3b4…b17-n (n<17,n∈N*) 归纳推理 [析考情] 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与“数字”相关问题:主要是观察数字特点,找出等式左右两侧的规律. (2)与不等式有关的推理:观察所给几个不等式两边式子的特点,注意纵向看,找出隐 含规律. (3)与图形有关推理:合理利用特殊图形归纳推理得出结论. [提能力] 【典例】 (1)(2018· 郑州模拟)从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角 形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为 ( ) A.2 011 C.2 013 B.2 012 D.2 014 解析:选 B 根据题干图所示的规则排列,设最上层的一个数为 a, 则第二层的三个数 为 a+7, a+8, a+9, 第三层的五个数为 a+14, a+15, a+16, a+17, a+18, 这 9 个数之和为 a+3a+24+5a+80=9a+104.由 9a+104=2012, 得 a=212, 是自然数.故选 B. (2)(2018· 陕西质检)观察下列式子: 1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1, …, 由以上可推测出一个一般性结论:对于 n∈N*,1+2+…+n+…+2+1=________. 解析:∵1=12,1+2+1=22,1+2+3+2+1=32,1+2+3+4+3+2+1=42,…,∴归纳可 得 1+2+…+n+…+2+1=n2. 答案:n2 [刷好题] 1.某种树的分枝生长规律如图所示,第 1

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