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高考复习三角函数部分基本题型巩固训练题


函数部分基本题型巩固训练题 1.sin 2cos 3tan 4 的值( A.小于 0 ). C.等于 0 D.不存在

B.大于 0

解析 ∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0, ∴sin 2cos 3tan 4<0. 答案 A 5π 3π 2.已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 是第________象限角.( 4 4 A.一 B.二 C.三 D.四 )

解析:因 P 点坐标为(- 答案:C

2 2 ,- ),∴P 在第三象限. 2 2

3.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的中心角的弧度数是( A.1 B.4 C.1 或 4 D.2 或 4 2r+l=6, ? ? 解析 设此扇形的半径为 r,弧长是 l,则?1 ? ?2rl=2,
? ? ?r=1, ?r=2, 解得? 或? ?l=4 ?l=2. ? ? l 4 l 2 从而 α= = =4 或 α= = =1. r 1 r 2 答案 C

)

4.若 cos α=- A.2 3

3 ,且角 α 的终边经过点(x,2),则 P 点的横坐标 x 是( 2 B.± 2 3
2

).

C.-2 2

D.-2 3

解析 由 cos α= 答案 D

x 3 =- ,解得,x=-2 3. 2 x +4

5.已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? ? ( A. ?

)

4 5

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

解 析

设 P(a, 2a) 是 角 ? 终 边 上 任 意 一 点 , 则 由 三 角 函 数 定 义 知 : cos ? ? ?

5 , 所 以 5

cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 2 ? (?
答案 B

5 2 3 ) ? 1 ? ? ,故选 B. 5 5

4 6.已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30° ),且 cos α=- ,则 m 的值为 5 (
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).

1 A.- 2

1 B. 2

C.- -8m
2

3 2

D.

3 2

解析 ∵r= 64m2+9,∴cos α=

4 =- , 5 64m +9

4m2 1 1 1 ∴m>0,∴ = ,∴m=± .∵m>0,∴m= . 2 25 2 2 64m +9 答案 B 2π 7.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为( 3 1 3 A.?- , ? ? 2 2? B.?- ).

?

3 1? ,- 2 2?

1 3 C.?- ,- ? 2? ? 2

D.?-

?

3 1? , 2 2?

解析 设 α=∠POQ,由三角函数定义可知,Q 点的坐标(x,y)满足 x=cos α, 1 3 1 3 y=sin α,∴x=- ,y= ,∴Q 点的坐标为?- , ?. 2 2 ? 2 2? 答案 A 3π 3π? 8.若 β 的终边所在直线经过点 P? ?cos 4 ,sin 4 ?,则 sin β=________,tan β=________. 3π 3π? 解析:因为 β 的终边所在直线经过点 P? ?cos 4 ,sin 4 ?,所以 β 的终边所在直线为 y=-x,则 β 在第二或第四 象限. 所以 sin β= 答案: 2 2 或- ,tan β=-1. 2 2 -1

2 2 或- 2 2

9.已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在第______象限. 解析 ∵点 P(tan α,cos α)在第三象限,∴tan α<0,cos α<0. ∴角 α 在第二象限. 答案 二 10.弧长为 3? ,圆心角为 135 的扇形的半径为
?

,面积为

.

解析 由扇形面积公式得: 答案 4; 6?

1 lR ? 6? . 2

11.若三角形的两个内角 α,β 满足 sin αcos β<0,则此三角形为________. 解析 ∵sin αcos β<0,且 α,β 是三角形的两个内角. ∴sin α>0,cos β<0, ∴β 为钝角.故三角形为钝角三角形. 答案 钝角三角形 12.函数 y= sin x+ 1 -cos x的定义域是________. 2

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sin x≥0, sin x≥0, ? ? ? ? 解析 由题意知?1 即? 1 -cos x≥0, ? ? ?2 ?cos x≤2. π ∴x 的取值范围为 +2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z. 3 π ? 答案 ? ?3+2kπ,π+2kπ?(k∈Z) 20π? 1. cos? ) ? - 3 ? =( 1 3 1 3 A. B. C.- D.- 2 2 2 2 20π? 2π? 2π π 1 ? ? π? 解析 cos? ?- 3 ?=cos?6π+ 3 ?=cos 3 =cos?π-3?=-cos3=-2,故选 C. 答案 C 2. 若 tan ? =3,则 A.2 解析 因为 答案 D 3.若 cos(2π-α)= A.- 5 3 π ? 5 且 α∈? ?-2,0?,则 sin(π-α)=( 3 2 B.- 3 1 C.- 3 ). 2 D.± 3

sin 2? 的值等于( cos 2 a
B.3

) C.4 D.6

sin 2? 2sin ? cos ? = = 2 tan ? ? 6 ,所以选 D. cos 2 a cos 2 a

解析 cos(2π-α)=cos α= ∴sin α=- 1-cos2α=- 2 ∴sin(π-α)=sin α=- . 3 答案 B

π ? 5 ,又 α∈? ?-2,0?, 3 1-? 2 5?2 =- . 3 3 ? ?

4.若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上,则 A.-2 B.2

1-cos2α sin α + 的值等于( cos α 1-sin2α D.0

).

C.-2 或 2

sin α |sin α| 解析 原式= + ,由题意知角 α 的终边在第二、四象限,sin α 与 cos α 的符号相反,所以原式=0. |cos α| cos α 答案 D π 24 - ,0?,则 sin α+cos α=( 5.已知 sin 2α=- ,α∈? 4 ? ? 25 1 A.- 5 1 B. 5 7 C.- 5 7 D. 5 )

1 解析:(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+sin 2α= , 25

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π - ,0?,sin α+cos α>0, 又 α∈? ? 4 ? 1 所以 sin α+cos α= . 5 答案:B 6.已知 f(cos x)=cos 3x,则 f(sin 30° )的值为( A.0 B.1 C.-1 ). D. 3 2

解析 ∵f(cos x)=cos 3x, ∴f(sin 30° )=f(cos 60° )=cos 180° =-1. 答案 C 7.若 sin θ,cos θ 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根,则 m 的值为 ( A.1+ 5 B.1- 5 C.1± 5 D.-1- 5 ).

m m m2 m 解析 由题意知:sin θ+cos θ=- ,sin θcos θ= ,又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,∴ =1+ , 2 4 4 2 解得:m=1± 5,又 Δ=4m2-16m≥0,∴m≤0 或 m≥4,∴m=1- 5. 二、填空题 π ? 1 8.若 sin(π+α)=- ,α∈? ?2,π?,则 cos α=________. 2 π ? 1 3 2 解析 ∵sin(π+α)=-sin α,∴sin α= ,又 α∈? ?2,π?,∴cos α=- 1-sin α=- 2 . 2 答案 - 3 2 答案 B

5 9.已知 cosα=- ,且 α 是第二象限的角,则 tan(2π-α)=________. 13 12 sinα 12 12 解析 由 α 是第二象限的角,得 sinα= 1-cos2α= ,tanα= =- ,则 tan(2π-α)=-tanα= . 13 cosα 5 5 12 答案 5 10.已知 α 为第二象限角,则 cos α 1+tan2α+sin α 解析:原式=cos α =cos α 答案:0 1 π π 11.已知 sin αcos α= ,且 <α< ,则 cos α-sin α 的值是________. 8 4 2 解析 3 (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α= , 4 1+ sin2α +sin α cos2α 1+ cos2α sin2α 1 1+ 2 =________. tan α

1 +sin α cos2α

1 1 1 =cos α +sin α =0. sin2α sin α -cos α

π π 3 又∵ <α< ,sin α>cos α.∴cos α-sin α=- . 4 2 2 答案 - 3 2

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π 1 cos 2α 0, ?,则 12.已知 sin α= +cos α,且 α∈? 的值为________. 2 ? ? 2 π? ? α - sin? 4? 1?2 1 解析 依题意得 sin α-cos α= ,又(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,即(sin α+cos α)2+? ?2? =2,故(sin α 2 π cos2α-sin2α 7 7 cos 2α 0, ?,因此有 sin α+cos α= ,所以 +cos α)2= ;又 α∈? = =- 2(sin α+cos ? 2? 4 2 π 2 α- ? sin? ? 4? 2 ?sin α-cos α? α)=- 14 . 2 14 2 1 cos x- 的定义域为( 2 π π? B.? ?kπ-3,kπ+3?,k∈Z ) π π? C.? ?2kπ-3,2kπ+3?,k∈Z D.R

答案 -

1.函数 y= π π? A.? ?-3,3?

1 1 1.选 C ∵cosx- ≥0,得 cos x≥ , 2 2 π π ∴2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 3 3 π? 2.已知函数 f(x)=sin? ?x-2?(x∈R),下面结论错误的是( A.函数 f(x)的最小正周期为 2π C.函数 f(x)的图像关于直线 x=0 对称 π? 2.选 D ∵y=sin? ?x-2?=-cos x, π? ∴T=2π,在? ?0,2?上是增函数,图像关于 y 轴对称,为偶函数. πx π? 3.函数 y=2sin? ? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( A.2- 3 B.0 C.-1 D.-1- 3 ) )

π 0, ?上是增函数 B.函数 f(x)在区间? ? 2? D.函数 f(x)是奇函数

πx π? π πx π 7π 3 3.选 A 当 0≤x≤9 时,- ≤ - ≤ ,- ≤sin ? ? 6 -3?≤1,所以函数的最大值为 2,最小值为- 3 6 3 6 2 3,其和为 2- 3.

?π?? ?π? 4.已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤? ?f?6??对 x∈R 恒成立,且 f?2?>f(π),则 f(x)的单
调递增区间是( ) π? B.? ?kπ,kπ+2?(k∈Z) π ? D.? ?kπ-2,kπ?(k∈Z) π π? A.? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z) π 2π? C.? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z)

π? π 5π ?π?? ?π ? 1, 4. 选 C 因为当 x∈R 时, f(x)≤? 所以 f? 可得 φ=2kπ+ 或 φ=2kπ- . ?f?6??恒成立, ?6?=sin?3+φ?=± 6 6
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π? 5π ?2x-5π?, 因为 f? = sin(π + φ ) =- sin φ > f (π) = sin(2π + φ ) = sin φ ,故 sin φ <0 ,所以 φ = 2 k π - ,所以 f ( x ) = sin 6? ?2? ? 6 π 5π π 函数的单调递增区间为- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ, 2 6 2 π 2π? 所以 x∈? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). π π - , ?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于( 6.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间? ? 3 4? 2 A. 3 3 B. 2 C.2 D.3 )

π π π π π π π - , ?,则 ωx∈?- ω, ω?,要使函数 f(x)在?- , ?上取得最小值-2,则- ω≤- 6.选 B ∵x∈? ? 3 4? ? 3 4 ? ? 3 4? 3 π π 3π 3 3 或 ω≥ ,得 ω≥ ,故 ω 的最小值为 . 2 4 2 2 2 π ? 7.函数 y=cos? ?4-2x?的单调减区间为________. π π π ? 7.解析:由 y=cos? ?4-2x?=cos2x-4得 2kπ≤2x-4≤2kπ+π(k∈Z), π 5π 故 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8 π 5π? 所以函数的单调减区间为? ?kπ+8,kπ+ 8 ?(k∈Z) π 5π? 答案:? ?kπ+8,kπ+ 8 ?(k∈Z) 4π ? 8.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图像关于点? ? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为________. π ? 8.解析:∵y=cos x 的对称中心为? ?kπ+2,0?(k∈Z), 4π π ∴由 2× +φ=kπ+ (k∈Z), 3 2 13π 得 φ=kπ- (k∈Z). 6 π ∴当 k=2 时,|φ|min= . 6 π 答案: 6 π 9.若函数 f(x)=2tan(kx+ )的最小正周期 T 满足 1<T<2,则自然数 k 的值为________. 3 π 9.解析:由条件得最小正周期为 T= , k π π 故有 1< <2,解得 <k<π.又 k∈N, k 2 所以 k=2 或 k=3. 答案:2 或 3 10.已知函数 f(x)=2sin(π-x)cos x.
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(1)求 f(x)的最小正周期; π π? (2)求 f(x)在区间? ?-6,2?上的最大值和最小值. 10.解:(1)∵f(x)=2sin(π-x)cos x =2sin xcos x=sin 2x, ∴函数 f(x)的最小正周期为 π. π π (2)∵- ≤x≤ , 6 2 π 3 ∴- ≤2x≤π,则- ≤sin 2x≤1. 3 2 π π? 3 所以 f(x)在区间? ?-6,2?上的最大值为 1,最小值为- 2 . ?sin x-cos x?sin 2x 11.已知函数 f(x)= . sin x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 11.解:(1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 π? = 2sin? ?2x-4?-1, 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π? (2)函数 y=sin x 的单调递增区间为? ?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z). π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 8 8 π 3π? ? ? 所以 f(x)的单调递增区间为? ?kπ-8,kπ?和?kπ,kπ+ 8 ?(k∈Z). 2π? 12.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?0<φ< 3 ?的最小正周期为 π. (1)求当 f(x)为偶函数时 φ 的值; π 3 (2)若 f(x)的图像过点? , ?,求 f(x)的单调递增区间. ?6 2 ? 12.解:∵由 f(x)的最小正周期为 π, 2π 则 T= =π,∴ω=2. ω
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∴f(x)=sin(2x+φ). (1)当 f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x). ∴sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),展开整理得 sin 2xcos φ=0, 由已知上式对任意 x∈R 都成立, 2π π ∴cos φ=0,∵0<φ< ,∴φ= . 3 2 π 3 (2)f(x)的图像过点? , ?时, ?6 2 ? π 3 ? sin? ?2×6+φ?= 2 , π ? 3 即 sin? ?3+φ?= 2 . 2π π π 又∵0<φ< ,∴ < +φ<π. 3 3 3 π 2π π ∴ +φ= ,φ= . 3 3 3 π 2x+ ?. ∴f(x)=sin? 3? ? π π π 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 5π π kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. ∴f(x)的递增区间为? 12 12 ? ? π? ?π ? 1.(2012· 新课标全国卷)已知 ω>0,函数 f(x)=sin? ?ωx+4?在?2,π?单调递减,则 ω 的取值范围是( 1 5? A.? ?2,4? 1? C.? ?0,2? 1.选 A 1 3? B.? ?2,4? D.(0,2] π? π 函数 f(x)=sin? ?ωx+4?的图像可看作是由函数 f(x)=sin x 的图像先向左平移4个单位得 f(x)= )

π 1 ?x+π?的 x+ ?的图像, sin? 再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的 倍, 纵坐标不变得到的, 而函数 f ( x ) = sin ? 4? ? 4? ω

?4×ω≤2, π 5π? π? ?π ? ? ? 减区间是?4, 4 ?, 所以要使函数 f(x)=sin?ωx+4?在?2,π?上是减函数, 需满足? 5π 1 ? 4 ×ω≥π,
?sin x,sin x≤cos x, ? 2.(2012· 潍坊模拟)对于函数 f(x)=? 给出下列四个命题: ? ?cos x,sin x>cos x

π

1

π

1 5 解得 ≤ω≤ . 2 4

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值是-1;
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5π ③该函数的图像关于 x= +2kπ(k∈Z)对称; 4 π 2 ④当且仅当 2kπ<x< +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ .其中正确命题的序号是________.(请将所有正确命题的 2 2 序号都填上) 2.解析:画出函数 f(x)的图像.

由图像可得函数的最小正周期为 2π,故①错误;当 x=π+2kπ(k∈Z)或 x= 小值,故②错误;结合图像可得③④正确. 答案:③④

3π +2kπ(k∈Z)时,函数取得最 2

π? ? π? 3.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin? ?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; π? 3.解:(1)∵x∈? ?0,2?, π π 7π? , . ∴2x+ ∈? 6 ?6 6 ? π? ? 1 ? ∴sin? ?2x+6?∈?-2,1?, π? ∴-2asin? ?2x+6?∈[-2a,a]. ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. π ωx+ ?(ω>0)的最小正周期为 π,则该函数的图象( 1.已知函数 f(x)=sin? 3? ? π ? A.关于点? ?3,0?对称 )

π B.关于直线 x= 对称 4 π π ? C.关于点? D.关于直线 x= 对称 ?4,0?对称 3 π π π 2x+ ?,因为 f? ?=0,所以函数图象关于点? ,0?中心对称,故选 A. 解析 由已知,ω=2,所以 f(x)=sin? 3? ? ?3? ?3 ? 答案 A 2.要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象( A. 向左平移 1 个单位 C. 向左平移 B. 向右平移 1 个单位 D.向右平移 )

1 个单位 2 1 1 解析 因为 y ? cos(2 x ? 1) ? cos(2( x ? ) ,所以将 y ? cos 2 x 向左平移 个单位,故选 C. 2 2
个单位 答案 C π 3.若函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中 ω>0,|φ|< )的最小正周期是 π,且 f(0)= 3,则( 2
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1 2

).

1 π A.ω= ,φ= 2 6 π C.ω=2,φ= 6

1 π B.ω= ,φ= 2 3 π D.ω=2,φ= 3

2π 解析 由 T= =π,∴ω=2.由 f(0)= 3? 2sin φ= 3, ω ∴sin φ= 答案 D π 4.将函数 y=f(x)· sin x 的图象向右平移 个单位后,再作关于 x 轴对称变换,得到函数 y=1-2sin2x 的图象, 4 则 f(x)可以是( A.sin x ). B.cos x C.2sin x D.2cos x 3 π π ,又|φ|< ,∴φ= . 2 2 3

π? 解析 运用逆变换方法:作 y=1-2sin2x=cos 2x 的图象关于 x 轴的对称图象得 y=-cos 2x=-sin 2? ?x+4?的 π? π 图象,再向左平移 个单位得 y=f(x)· sin x=-sin 2? ?x+2?=sin 2x=2sin xcos x 的图象.∴f(x)=2cos x. 4 答案 D π 7.设函数 f(x)=cos ωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的 3 最小值等于( 1 A. 3 ). B.3 C.6 D.9

π π ωπ π x- ?=cos ω?x- ?=cos?ωx- ? 解析 依题意得,将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到的是 f? 3? ? 3? ? 3? ? 3 ωπ? ωπ? ωπ? ? ? 的图象,故有 cos ωx=cos? ?ωx- 3 ?,而 cos ωx=cos?2kπ+ωx- 3 ?(k∈Z),故 ωx-?ωx- 3 ?=2kπ(k∈Z), 即 ω=6k(k∈Z),∵ω>0,因此 ω 的最小值是 6. 答案 C 二、填空题 π 4π 2π ? 8. 将函数 y=sin(ωx+φ)? ?ω>0,2<φ<π?的图象,向右最少平移 3 个单位长度,或向左最少平移 3 个单位长度, 所得到的函数图象均关于原点中心对称,则 ω=________. 解析 因为函数的相邻两对称轴之间距离或相邻两对称点之间距离是函数周期的一半,则有 T 4π ? 2π? 2π 1 = - - =2π,故 T=4π,即 =4π,ω= . 2 3 ? 3? ω 2 1 答案 2 π π? 9.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?ω>0,-2≤φ≤2?的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2 2,则 ω= ________. T 解析:由已知两相邻最高点和最低点的距离为 2 2,而 f(x)max-f(x)min=2,由勾股定理可得 = ? 2 2?2-22 2 2π π =2,∴T=4,∴ω= = . T 2
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π 答案: 2 π ?0,π?, ωx- ?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相同. 10. 已知函数 f(x)=3sin? 若 x ∈ 6? ? ? 2? 则 f(x) 的取值范围是________. π 2x- ?, 解析 由题意知 ω=2,∴f(x)=3sin? 6? ? π π 5 π 0, ?时,2x- ∈?- , π?, 当 x∈? ? 2? 6 ? 6 6 ? 3 ? ∴f(x)的取值范围是? ?-2,3?. 3 ? 答案 ? ?-2,3? π 1 4π 1 11.在函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一个周期内,当 x= 时有最大值 ,当 x= 时有最小值- ,若 9 2 9 2 π? φ∈? ?0,2?,则函数解析式 f(x)=________. 4π π? 1 π 1 4π 1 2π 解析 首先易知 A= ,由于 x= 时 f(x)有最大值 ,当 x= 时 f(x)有最小值- ,所以 T=? ? 9 -9?×2= 3 ,ω 2 9 2 9 2 π π π 1 1 π 1 3× +φ?= ,φ∈?0, ?,解得 φ= ,故 f(x)= sin?3x+ ?. =3.又 sin? 6? ? 2 ? 2? 2 ? 9 6 2 ? 答案 π 1 ? sin 3x+6? ? 2 ?

π ? π π?? 12.设函数 y=sin(ωx+φ)? ?ω>0,φ∈?-2,2??的最小正周期为 π,且其图象关于直线 x=12对称,则在下面 四个结论中: π ? ?π ? ? π? ? π ? ①图象关于点? ?4,0?对称;②图象关于点?3,0?对称;③在?0,6?上是增函数;④在?-6,0?上是增函数. 以上正确结论的编号为________. 解析 ∵y=sin(ωx+φ)最小正周期为 π, 2π π ∴ω= =2,又其图象关于直线 x= 对称, π 12 π π π ∴2× +φ=kπ+ (k∈Z),∴φ=kπ+ ,k∈Z. 12 2 3 π π π π - , ?,得 φ= ,∴y=sin?2x+ ?. 由 φ∈? 2 2 3? ? ? ? 3 π kπ π 令 2x+ =kπ(k∈Z),得 x= - (k∈Z). 3 2 6 π π 2x+ ?关于点? ,0?对称.故②正确. ∴y=sin? 3? ? ?3 ? π π π 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 2 3 2 kπ- 5π π ≤x≤kπ+ (k∈Z). 12 12

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π 2x+ ?的单调递增区间为 ∴函数 y=sin? 3? ?

?kπ-5π,kπ+ π ?(k∈Z). 12 12? ?
π 5π π - ,0???kπ- ,kπ+ ?(k∈Z).∴④正确. ∵? 12 12? ? 6 ? ?

答案 ②④ 三、解答题 13.已知函数 f(x)= 3sin2x+2cos2x. π (1)将 f(x)的图象向右平移 个单位长度,再将周期扩大一倍,得到函数 g(x)的图象,求 g(x)的解析式; 12 (2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间. cos2x+1 解析 (1)依题意 f(x)= 3sin2x+2· 2 = 3sin2x+cos2x+1 π? =2sin? ?2x+6?+1, π π π x- ?+ ?+1=2sin2x+1 的图象,该函数的周 将 f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到函数 f1(x)=2sin?2? 12 ? ? 6 12 ? ? 期为 π,若将其周期变为 2π,则得 g(x)=2sinx+1. (2)函数 f(x)的最小正周期为 T=π, π π π 当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)时,函数单调递增, 2 6 2 π π 解得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 3 6 π π? ∴函数的单调递增区间为? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z). π A>0,ω>0,0<φ< ?的部分图象如图所示. 15.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? 2? ?

(1)求 f(x)的解析式;

? π ??2 ? π π? (2)设 g(x)=? ?f?x-12?? ,求函数 g(x)在 x∈?-6,3?上的最大值,并确定此时 x 的值.
解析 T π 2π π 3 (1)由题图知 A=2, = ,则 =4× ,∴ω= . 4 3 ω 3 2

π? ?3 ? π? ? 又 f? ?-6?=2sin 2×?-6?+φ

?

?

π ? =2sin? ?-4+φ?=0, π? π π π π ∴sin? ?φ-4?=0,∵0<φ<2,∴-4<φ-4<4, π π ∴φ- =0,即 φ= , 4 4

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3 π? ∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin? ?2x+4?. π π 3 π x- ?=2sin? ?x-12?+ ? (2)由(1)可得 f? ? 4 ? 12? 2?

?

?

3 π? =2sin? ?2x+8?, π 3x+ ? 1-cos? 4? ? ? π ??2 ∴g(x)=? ?f?x-12?? =4× 2 π? =2-2cos? ?3x+4?, π π? π π 5π ∵x∈? ?-6,3?,∴-4≤3x+4≤ 4 , π π ∴当 3x+ =π,即 x= 时,g(x)max=4. 4 4 1. 计算sin43 cos13 -sin13 cos 43 的值等于( A.
? ?
? ?

) D.

1 2
?

B.
?

3 3
?

C.

2 2

3 2

解析 原式= sin (43 -13 )= sin 30 = 答案 A

1 ,故选 A. 2

π ? 2.已知锐角 α 满足 cos 2α=cos ? ) ?4-α?,则 sin 2α 等于( 1 1 A. B.- 2 2 2 2 C. D.- 2 2 π ? 解析:由 cos 2α=cos ? ?4-α? 2 得(cos α-sin α)(cos α+sin α)= (cos α+sin α) 2 由 α 为锐角知 cos α+sin α≠0. 2 1 ∴cos α-sin α= ,平方得 1-sin 2α= . 2 2 1 ∴sin 2α= . 2 答案:A π ? 4 3.已知 x∈? ). ?-2,0?,cos x=5,则 tan 2x 等于( 7 7 24 24 A. B.- C. D.- 24 24 7 7 π 4 3 ? 解析 ∵x∈? ?-2,0?,cos x=5.∴sin x=-5, ?-3? 2× ? 4? 3 2tan x 24 ∴tan x=- .∴tan 2x= =- . 2 = 4 3 7 1-tan x - ?2 1-? ? 4? 答案 D 5 10 4.已知 α,β 都是锐角,若 sin α= ,sin β= ,则 α+β= ( ). 5 10 π 3π A. B. 4 4
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π 3π C. 和 4 4

π 3π D.- 和- 4 4 2 5 3 10 解析 由 α,β 都为锐角,所以 cos α= 1-sin2α= ,cos β= 1-sin2β= .所以 cos(α+β)=cos α· cos β 5 10 2 π -sin α· sin β= ,所以 α+β= . 2 4 答案 A π π π 3 ? 1 ?π β? ? β? 5.若 0<α< ,- <β<0,cos? ). ?4+α?=3,cos?4-2?= 3 ,则 cos?α+2?=( 2 2 3 3 A. B.- 3 3 5 3 6 C. D.- 9 9 β? ??π ? ?π β?? 解析 对于 cos ? ?α+2?=cos??4+α?-?4-2??= π ? ?π β? ?π ? ?π β? cos? ?4+α?cos?4-2?+sin?4+α?sin?4-2?, π 3π? π β ?π π? π 而 +α∈? ?4, 4 ?,4-2∈?4,2?, 4 π 2 2 ?π-β?= 6, +α?= 因此 sin? , sin 4 ? ? 3 ?4 2? 3 β? 1 3 2 2 6 5 3 则 cos? ?α+2?=3× 3 + 3 × 3 = 9 . 答案 C 3 6.已知 α 是第二象限角,且 sin(π+α)=- ,则 tan2α 的值为( ) 5 4 23 24 8 A. B.- C.- D.- 5 7 7 3 3 3 4 3 解析 由 sin(π+α)=- ,得 sinα= ,又 α 是第二象限角,故 cosα=- 1-sin2α=- ,∴tanα=- ,tan2α 5 5 5 4 3? ? 2× ?-4? 2tanα 24 = = =- . 3 7 1-tan2α ?2 1-? ?-4? 答案 C π 4 3 ?α+7π?的值是( α- ?+sin α= 7.已知 cos? ,则 sin ). 6 6? ? ? ? 5 2 3 2 3 4 4 A.- B. C.- D. 5 6 5 5 π? 4 3 3 3 解析 cos? ?α-6?+sin α= 5 ? 2sin α+ 2 cos α π? 4 4 3 = ? sin? ?α+6?=5, 5 7π? 4 ? π? 所以 sin? ?α+ 6 ?=-sin?α+6?=-5. 答案 C 二、填空题 π? 1 ? π? 8.已知 cos ? ?α+4?=3,α∈?0,2?,则 cos α=________. π? π ?π 3π? 解析:∵α∈? ?0,2?,∴α+4∈?4, 4 ?, π 2 2 α+ ?= ∴sin ? ? 4? 3 . π? π 故 cos α=cos [? ?α+4?-4]
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π π π π α+ ?cos +sin ?α+ ?sin =cos ? ? 4? 4 ? 4? 4 1 2 2 2 2 4+ 2 = × + × = . 3 2 3 2 6 4+ 2 答案: 6 9.化简[2sin50° +sin10° (1+ 3tan10° )]· 2sin280° 的结果是________. cos10° + 3sin10° 解析 原式=2sin50° +sin10° · · 2sin80° cos10° 1 3 ? ? cos10° + sin10° ?· 2cos10° 2 2 =? ?2sin50° ? +2sin10° · cos10° ? ? cos? 60° -10° ?? =?2sin50° +2sin10° · cos10° ? ?· 2cos10° =2 2(sin50° cos10° +sin10° cos50° )=2 2sin60° = 6. 答案 6 π ? 2 10.已知 tan? ?4+θ?=3,则 sin 2θ-2cos θ 的值为________. π ? 解析 法一 ∵tan? ?4+θ?=3, 1+tan θ ∴ =3, 1-tan θ 1 解得 tan θ= . 2 ∵sin 2θ-2cos2 θ=sin 2θ-cos 2θ-1 2 2 2sin θcos θ cos θ-sin θ = 2 -1 2 - 2 sin θ+cos θ sin θ+cos2θ 1-tan2 θ 2tan θ = -1 2 - 1+tan θ 1+tan2 θ 4 3 4 = - -1=- . 5 5 5 法二 sin 2θ-2cos2 θ=sin 2θ-cos 2θ-1 π ? ?π ? =-cos? ?2+2 θ?-sin?2+2θ?-1 π ? ?π ? 1-tan2? ?4+θ? 2tan?4+θ? =- - -1 π ? π +θ 1+tan2? +θ? 1+tan2? ?4 ? ?4 ? 1-9 2× 3 4 =- - -1=- . 5 1+9 1+9 4 答案 - 5 11.函数 f(x)=2cos2x+sin 2x 的最小值是________. π 2x+ ?,∴f(x)min=1- 2. 解析 ∵f(x)=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=1+ 2sin? 4? ? 答案 1- 2 1 3 12.若 cos(α+β)= ,cos(α-β)= ,则 tan αtan β=________. 5 5 1 3 2 1 解析 由已知,得 cos αcos β-sin αsin β= ,cos αcos β+sin αsin β= ,则有 cos αcos β= ,sin αsin β= , 5 5 5 5 sin αsin β 1 1 = ,即 tan αtan β= . cos αcos β 2 2 1 答案 2 三、解答题
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π ? 5 1-tan x ?π 3π? 13.已知 sin? ?4+x?=13,且 x∈?4, 4 ?,求1+tan x. π 3π? π π , ,∴ +x∈? ,π?, 解析 ∵x∈? ?4 4 ? ?2 ? 4 π 12 ? ∴cos? ?4+x?=-13, π ? 5 +x =- , ∴tan? 4 ? ? 12 1-tan x 1 12 ∴ = =- . π 5 1+tan x ? tan? ?x+4? π? 14.设函数 f(x)=sinωx+sin? ?ωx-2?,x∈R. 1 (1)若 ω= ,求 f(x)的最大值及相应的 x 的集合; 2 π (2)若 x= 是 f(x)的一个零点,且 0<ω<10,求 ω 的值和 f(x)的最小正周期. 8 解析 π? (1)f(x)=sinωx+sin? ?ωx-2?=sinωx-cosωx,

x π? 1 x x 当 ω= 时,f(x)=sin -cos = 2sin? ?2-4?, 2 2 2 x π? 而-1≤sin? ?2-4?≤1,所以 f(x)的最大值为 2, x π π 3π 此时, - = +2kπ,k∈Z,即 x= +4kπ,k∈Z, 2 4 2 2 3π ? ? ? 相应的 x 的集合为?x?x= 2 +4kπ,k∈Z? . ? ? π ? (2)因为 f(x)= 2sin? ?ωx-4?, π? π ?ωπ π? 所以,x= 是 f(x)的一个零点?f? ?8?=sin? 8 -4?=0, 8 ωπ π 即 - =kπ,k∈Z,整理,得 ω=8k+2, 8 4 1 又 0<ω<10,所以 0<8k+2<10,- <k<1,而 k∈Z,所以 k=0,ω=2, 4 π ? f(x)= 2sin? ?2x-4?,f(x)的最小正周期为 π. 4.6 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.在△ABC 中,C=60° ,AB= 3,BC= 2,那么 A 等于( ). A.135° B.105° C.45° D.75° BC AB 2 3 2 解析 由正弦定理知 = ,即 = ,所以 sin A= ,又由题知,BC<AB,∴A=45° . sin A sin C sin A sin 60° 2 答案 C 2.已知 a,b,c 是△ABC 三边之长,若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C 的大小为( ). A.60° B.90° C.120° D.150° 解析 由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab, ∴c2=a2+b2+ab=a2+b2-2abcos C, 1 ∴cos C=- ,∴C=120° . 2 答案 C 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a=λ,b= 3λ(λ>0),A=45° ,则满足此条件的三角 形个数是( ) A.0 B .1 C .2 D .无数个
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a b bsin A 3λsin 45° 6 解析:直接根据正弦定理可得 = ,可得 sin B= = = >1,没有意义,故满足条件的 sin A sin B a λ 2 三角形的个数为 0. 答案:A 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos2B 等于( ). 1 1 A.- B. C.-1 D.1 2 2 解析 根据正弦定理,由 acos A=bsin B,得 sin Acos A=sin2B,∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1. 答案 D 5. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小值为(
2 2 2



1 2 C. 2 2 2 2 2 2 2 a ?b ?c 2c ? c 1 ? 2 ? ,故选 C. 解析 cosC ? 2 2ab 2 a ?b
A.

3 2

B.

D. ?

1 2

答案 C 6.在△ABC 中,sin2 A≤sin2 B+sin2 C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是( ). π? π ? π? π ? ? ? ? ? A.?0,6? B.?6,π? C.?0,3? D.?3,π? 解析 由已知及正弦定理有 a2≤b2+c2-bc, 而由余弦定理可知 a2=b2+c2-2bccos A, 于是可得 b2+c2-2bccos π 1 0, ?. A≤b2+c2-bc,可得 cos A≥ ,注意到在△ABC 中,0<A<π,故 A∈? 3? ? 2 答案 C 7.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60° ,则 ab 的值为( ). 4 2 A. B.8-4 3 C.1 D. 3 3 2 2 ? ? a + b ? - c = 4 ? 4 解析 依题意得? 2 ,两式相减得 ab= ,选 A. 2 2 3 ?a +b -c =2abcos 60° =ab ? 答案 A 二、填空题 8.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45° ,则 AD 的长度等于________.

解析 在△ABC 中,∵AB=AC=2,BC=2 3,∴cos C= =

3 1 AD ,∴sin C= ;在△ADC 中,由正弦定理得, 2 2 sin C

AC 2 1 , ∴AD= × = 2. sin 45° 2 sin∠ADC 答案 2 9. 在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 3a=2csin A,角 C=________. a c 解析:根据正弦定理, = , sin A sin C a c 由 3a=2csin A,得 = , sin A 3 2 3 π ∴sin C= ,而角 C 是锐角.∴角 C= . 2 3 π 答案: 3 10.设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若三边的长为连续的三个正整数, 且 A>B>C, 3b=20acosA, 则 sinA∶sinB∶sinC 为______.

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答案 6∶5∶4 11.若 AB=2,AC= 2BC,则 S△ABC 的最大值________. 解析 (数形结合法)因为 AB=2(定长),可以令 AB 所在的直线为 x 轴,其中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则 A(-1,0),B(1,0),设 C(x,y),由 AC= 2BC, 得 ?x+1?2+y2= 2 ?x-1?2+y2,化简得(x-3)2+y2=8, 即 C 在以(3,0)为圆心,2 2为半径的圆上运动, 1 所以 S△ABC= · |AB|· |yC|=|yC|≤2 2,故答案为 2 2. 2 答案 2 2 7.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔 18 km,速度为 1 000 km/h,飞行员先 看到山顶的俯角为 30° ,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75° ,则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km)( ).

A.11.4

B.6.6

C.6.5

D.5.6

1 50 000 解析 AB=1 000× 1 000× = (m), 60 3 AB 50 000 ∴BC= · sin 30° = (m). sin 45° 3 2 50 000 ∴航线离山顶 h= ×sin 75°≈11.4 (km). 3 2 ∴山高为 18-11.4=6.6 (km). 答案 B 二、填空题 8.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60° 方向,行驶 4 h 后,船到 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15° 方向,这时船与灯塔的距离为________ km. 解析:如图所示,依题意有 AB=15× 4=60, ∠MAB=30° ,∠AMB=45° ,在△AMB 中, 60 BM 由正弦定理得 = , sin 45° sin 30° 解得 BM=30 2. 答案:30 2 9.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为
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60° ,再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 米到位置 D,测得∠BDC=45° ,则塔 AB 的高是________米.

解析

在△BCD 中,CD=10,∠BDC=45° ,∠BCD=15° +90° =105° ,∠DBC=30° ,

BC CD = ,BC sin 45° sin 30°

CDsin 45° AB = =10 2.在 Rt△ABC 中,tan 60° = ,AB=BCtan 60° =10 6(米). sin 30° BC 答案 10 6 10. 2010 年 11 月 12 日广州亚运会上举行升旗仪式.如图,在坡度为 15° 的观礼台上,某一列座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面,在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60° 和 30° ,且座位 A、B 的距离为 10 6米,则旗杆的高度为________米.

解析 由题可知∠BAN=105° ,∠BNA=30° , AN 10 6 由正弦定理得 = ,解得 AN=20 3(米), sin 45° sin 30° 在 Rt△AMN 中,MN=20 3 sin 60° =30(米).故旗杆的高度为 30 米. 答案 30 11.如图,在日本地震灾区的搜救现场,一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象, 然后向右转 105° ,进行 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象,这时它向右转 135° 后继续前行回到出发点,那么 x =________.

x 10 解析 由题知,∠CBA=75° ,∠BCA=45° ,∴∠BAC=180° -75° -45° =60° ,∴ = . sin 45° sin 60° 10 6 ∴x= m. 3 答案 10 6 m 3

12.如图,一船在海上自西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 α 角,前进 m 海里后在 B 处测得 该岛的方位角为北偏东 β 角,已知该岛周围 n 海里范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行,当 α 与 β 满足 条件________时,该船没有触礁危险.
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BM m mcos α 解析 由题可知,在△ABM 中,根据正弦定理得 = ,解得 BM= ,要使 sin? 90° -α? sin?α-β? sin?α-β? mcos αcos β 该船没有触礁危险需满足 BMsin(90° -β)= >n,所以当 α 与 β 的关系满足 sin?α-β? mcos αcos β>nsin(α-β)时,该船没有触礁危险. 答案 mcos αcos β>nsin(α-β) 三、解答题 13.隔河看两目标 A 与 B,但不能到达,在岸边先选取相距 3千米的 C,D 两点,同时,测得∠ACB=75° , ∠BCD=45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=45° (A,B,C,D 在同一平面内),求两目标 A,B 之间的距离. 解析 如图所示,在△ACD 中,∵∠ADC=30° ,∠ACD=120° , ∴∠CAD=30° ,AC=CD= 3(千米), 在△BDC 中,∠CBD=180° -45° -75° =60° .

由正弦定理得,BC=

3sin 75° 6+ 2 = (千米). sin 60° 2

在△ABC 中,由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠BCA, 即 AB2=( 3)2+?

? 6+ 2?2-2 3· 6+ 2cos 75° =5. ? 2 ? 2 ?

∴AB= 5 (千米). 所以两目标 A、B 间的距离为 5千米. 14.如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60° 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/时的速 度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追 上,此时到达 C 处.

(1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. 解析 (1)依题意知,∠BAC=120° ,AB=12(海里),AC=10× 2=20(海里),∠BCA=α,

在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC
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=122+202-2× 12× 20× cos 120° =784. 解得 BC=28(海里). BC 所以渔船甲的速度为 =14 海里/时. 2 AB BC (2)在△ABC 中, 因为 AB=12(海里), ∠BAC=120° , BC=28(海里), ∠BCA=α, 由正弦定理, 得 = . sin α sin 120° 3 12× 2 3 3 ABsin 120° 即 sin α= = = . BC 28 14

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