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【数学】2.3.2《变量间的相互关系》课件(新人教B版必修3)


§2.3.2 两个变量的线性相关

知识回顾:
相关关系(正相关、负相关) ? 散点图(更直观) ? 回归直线: y ? bx ? a ?
?
n n ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? xi yi ? nx y ? ? ?b ? i ?1 n ? i ?1n , ? ( xi ? x ) 2 xi 2 ? nx 2 ? ? ? i ?1 i ?1 ? ? ?a ? y ? bx . 1 n 1 n 其中: x ? n ? xi , y ? n ? yi i ?1 i ?1

思考?
公式一: ?(xi ? x)(yi ? y) ? ? xiyi ? nxy
i?1 i?1 n n

公式二:

? ( x ? x) ? ? x
2 i ?1 i i ?1

n

n

2 i

? nx

2

公式一: ?(xi ? x)(yi ? y) ? ? xiyi ? nxy i?1 i?1
?(x
i?1 n i

n

n

? x)(yi ? y) ??(xiyi ? xi y ? xyi ? xy)
i?1 n

n

? ? xiyi ? ? xi y ? ? xyi ? ? xy
i?1 n i?1 i?1 i

n

n

n

? ? xiyi ?(x1 ? x 2 ? ? ? x n )y ? x(y1 ? y 2 ? ? ? y n )? nxy
i?1 n

? ? xiyi ? nxy ? nxy ? nxy
i?1 n

? ? xiyi ? nxy
i?1

公式二: ? ( xi i ?1

n

? x)
n

2

?

?x
i ?1

n

2 i

? nx
2

2

?(x
i?1

n

i

? x) ?
2

?(x
i?1 n

2 i

? 2xi x ? x )
n n 2

? ? ?

?x
i ?1 n

2 i

? 2 ? xi x ? ? x
i?1 i?1

?x
i ?1 n

2 i

? 2nx ? n x ? nx
2

2

2

?x
i ?1

2 i

回归直线方程的求法:
采用n个离差的平方和表示n个点与回归直线在整体 上的接近程度. 记n个离差的平方和:
Q ? ? ( yi ? bxi ? a ) 2
i ?1 n

Q是一个关于a,b的二次多项式,应用配方法,可 求使Q取得最小值时a、b的值. 使“离差平方和为最小”的方法,叫做“最小二乘 法”。

如何根据最小二乘法(利用配方法使Q 取最小值)得到a与b????

Q = (y1 - bx1 - a)2 + (y 2 - bx 2 - a)2 + (y 3 - bx 3 - a)2 + ?? + (y n - bx n - a)2

经过展开、整理、配方等步骤得到:
? n y ? bx ? a ? ? ?
2
n i ?1

?

?

? ? xi ? x ? yi ? y 2 ? x i ? x ? ?b ? i ?1 n 2 ? xi ? x ? ? i ?1 ?

n

?

??

??

??? ?

?

?

? ? ? xi ? x ? yi ? y ? n ? ? ? ? ? ? i ?1 n ? yi ? y 2 ? i ?1 ? xi ? x ? i ?1 ?

2

n

?

??

?

2

?

?

?

?

2

非负数

与a、b无关

当前两项为0时,Q(a,b)取最小值.

此时得到a、b的值:
n ? ? (x i - x)(y i - y) ? ? ?b = b = i=1 n = ? ? (x i - x) 2 ? ? i=1 ? ?a = a = y - bx. ??

?x y
i=1 n i i=1

n

i

- nx y ,

x i 2 - nx 2 ?

进而得到回归直线方程

? y ? bx ? a

注:样本的中心点 ?x, y ? 在回归直线上。

Q ? ? ( yi ? bxi ? a )
i ?1
n n 2 i

n

2

? ? y ? 2b? xi yi ? 2a ? yi ? b
i ?1 i ?1 i ?1
n ? n ? xi ? ? yi ? na 2 ? 2na ? i ?1 ? b i ?1 n ? n ? ?

n

2

x ? 2ab? xi ? na 2 ?
i ?1 2 i i ?1

n

n

? ? n n n 2 2 ? ? b ? xi ? 2b? xi yi ? ? yi2 ? i ?1 i ?1 i ?1 ? ?
n n n i ?1 i ?1 i ?1

? na 2 ? 2na( y ? bx ) ? b2 ? xi2 ? 2b? xi yi ? ? yi2

? n[a ? ( y ? bx )]2 ? n( y ? bx )2 ? b 2 ? xi2 ? 2b? xi yi ? ? yi2
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

? n[a ? ( y ? bx )] ? n y ? 2nbx y ? nb x ? b
2 2
n n

2

2

2

x ? 2b? xi yi ? ? yi2 ?
i ?1 2 i i ?1 i ?1
n 2

n

n

n

? n[a ? ( y ? bx )] ? b ( ? x ? nx ) ? 2b( ? xi yi ? nx y ) ? ( ? y ? n y )
2 2 i ?1 2 i 2 i ?1 i ?1 2 i

? n[a ? ( y ? bx )]2 ? b2 ? ( xi ? x )2 ? 2b? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ? ( yi ? y )2
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

? ? ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? n 2 ? Q ? n ?a ? ( y ? bx )? ? ? ( xi ? x )2 ?b ? i ?1 n ? ? ? ? 2 i ?1 ? ( x1 ? x ) ? ? i ?1 ? ?
n

2

? ? ? ? ( xi ? x )( yi ? y )? n ? i ?1 ? ? ( y ? y )2 ? ? i n 2 i ?1 ( xi ? x ) ?
n i ?1

2

探究:这是人体的年龄与脂肪含量数据表,
试估计其在47和65岁时的脂肪含量分别为多少。
年龄 23 27 . 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58

脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 年龄 60 61

脂肪 35.2 34.6

回归直线的意义:当所给数据值有限时,我们 可以根据已知数据求得回归直线,进而大体预 测出它的未来走势,以便估计我们需要但数据 中并没有给出的值。

求回归直线方程的步骤: 1.列表
i 1 xi yi
xi2
xi ? yi

2

3

4

5

6

7

8

… … … n

y? x? 2.代入公式计算

?x
i ?1

n

2

i

?

?x y
i ?1 i

n

i

?

3.写出回归直线方程 ? ? bx ? a y

例1:[07广东卷]下表提供了某厂节能降耗技术改 造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相 应的产量能耗y(吨标准煤)的几组对照数据:

x
y

3
2.5

4
3

5
4

6
4.5

产量 能耗

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关 于x的线性回归方程 ? ? bx ? a y ;

(3)已知该厂技术改造前100吨家产品能耗为90吨标 准煤;根据上问求出线性回归方程,预测生产100吨 甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?

(1) 解:
5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7

① 先把数据列成表; 序 号 1 2 3 4

x
3

Y
2.5

x
9

2

xy
7.5

4
5 6 18

3
4 4.5 14

16
25 36 86

12
20 27 66.5



9 7 ② 经过计算得,x ? , y ? . 2 2 带入公式得, 66.5 ? 9 ? 7

? b?

86 ? 81

? 0.7

? a ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35
③ 写出回归直线的方程:

? y ? 0.7 x ? 0.35

(3)当x=100时,^ y=0.7*100+0.35=70.35 90-70.35=29.65

∴降低了29.65吨标准煤。

例2. 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验, 得到腐蚀深度Y与腐蚀时间x之间相应的一 组观察值如下表:
x/s Y/μm 5 6 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46

(1)画出表中数据的散点图; (2)求Y对x的回归直线方程; (3)试预测腐蚀时间为100时腐蚀深度是 多少?

解:(1)散点图如下

(2)根 据公式求 腐蚀深度 Y对腐蚀 时间x的 回归直线 方程。

序号 1 2 3 4

x 5 10 15 20

Y 6 10 10 13

x2 25 100 225 400

xy 30 100 150 260

5 6 7 8 9 10 11


30 40 50 60 70 90 120 510

16 17 19 23 25 29 46 214

900 1600 2500 2600 4900 8100 14400 36780

480 680 950 1380 1750 2610 5520 13910

^ ^ b的值. 计算a, 510 214 由上表分别计算x,y的平均数得 x ? , y ?
11 11

510 214 13910 ? 11 ? ? 11 11 ? 0.3043 ? 0.304 ? b? 510 2 36750 ? 11 ? ( ) 11 214 510 ? a? ? 0.3043 ? ? 5.346 11 11

^ 写出回归方程为y=0.304x+5.346.
回归系数b的意义:腐蚀时间x每增加一个单位,深 度Y平均增加0.304个单位.

(3)根据求得的回归方程,当腐蚀时间 为100s时, ^ y=0.304×100+5.346=38.86(μm) 即腐蚀深度约为38.86μm.

练习题:
1.下面哪些变量是相关关系( C ) A.出租车费与行驶的里程 B.圆的面积与周长

C.身高与体重
D.铁的大小与质量

2.下列说法正确的是( D ) (A)y=2x2+1中的x,y是具有相关关系的 两个变量 (B)正四面体的体积与其棱长具有相关 关系 (C)电脑的销售量与电脑的价格之间是 一种确定性的关系 (D)传染病医院感染“非典”的医务人 员数与医院收治的“非典”病人数是具有 相关关系的两个变量

3、汽车的重量和汽车消耗一升汽油所行 驶的路程成负相关,这说明( A ) A.汽车越重,每消耗1升汽油所行驶的路 程越短 B.汽车越轻,每消耗1升汽油所行驶的路程 越短 C.汽车越重,消耗汽油越多 D.汽车越轻,消耗汽油越多

4. 有关线性回归的说法,不正确的是( D ) A. 相关关系的两个变量不是因果关系 B. 散点图能直观地反映数据的相关程度
C. 回归直线最能代表线性相关的两个变量 之间的关系 D. 任一组数据都有回归方程

^ 5. 回归方程y=1.5x-15,则( A )
A. y=1.5 x-15 B. 15是回归系数a

C. 1.5是回归系数a
D. x=10时,y=0

(x, y) ^ 6.线性回归方程y=bx+a过定点________.

^ 7.已知回归方程y=4.4x+838.19,则可估 5 计x与y的增长速度之比约为________. 22

8.下表是某地的年降雨量与年平均气温, 判断两者是相关关系吗?求回归直线方程 有意义吗?
年平均气温 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 (°C) 748 542 507 813 574 701 432 年降雨量 (mm)

9.某市近10年的煤气消耗量与使用煤气户 数的历史资料如下:
年份

1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
1 6 1.2 7 1.6 9.8 1.8 12 2 2.5 3.2 20 4 24 4.2 4.5

x用户(万 户)
y (百万立 方米)

12.1 14.5

25.4 27.5

(1)画出散点图,求回归方程;

^ y=6.0573x+0.0811

年份 x用户(万 户) y (百万立 方米)

199 3 1 6

199 4 1.2 7

199 5 1.6 9.8

199 6 1.8 12

199 7 2

199 8 2.5

199 9 3.2 20

200 0 4 24

200 1 4.2

200 2 4.5

12.1 14.5

25.4 27.5

(2)若市政府下一步再扩大5千煤气 用户,试预测该市煤气消耗量将达到 多少. ^ y=6.0573x+0.0811 解:当x=5时, y=30.3676≈30.37。


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