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2.3变量间的相关关系 教案(人教A版必修3)


2.3 变量间的相关关系
●三维目标 1.知识与技能 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据,认识变量间的相关关系. 2.过程与方法 明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系. 3.情感、态度与价值观 通过对事物之间相关关系的了解, 让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想. ●重点难点 重点:(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系; (2)利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系. 难点:(1)变量之间相关关系的理解; (2)作散点图和理解两个变量的正相关和负相关. 从现实生活入手,抓住学生们的注意力,引导学生分析得出概念,让学生真正参与到概念的形成过程中来.通过对典型事例的分析, 向学生们介

绍什么是散点图,并总结出如何从散点图上判断变量之间关系的规律.通过实验让学生们感受散点图的主要形成过程,并由此引出线性相关关系强化本 节重点. 通过学生讨论、交流,用 TI 图形计算器展示、对比自己作出的散点图,得出线性相关关系、正负相关关系的概念.教师及时将求线性方程的公式展 示出来,通过例题的讲解和训练,进一步加深对散点图和回归方程的理解,突破难点.

●教学建议 结合本节课的教学内容和学生的认知水平,充分发挥教师的主导作用,让学生真正成为教学活动的主体.通过多媒体辅助教学,充分调动学生参与 课堂教学的主动性与积极性. 本节课宜采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自主和合作交流为前提,以“散点图”为基本探究内容, 以周围世界和生活实际为参照对象,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活 动,通过例题和变式训练进一步巩固本节知识,将自己所学知识应用于对现实生活的深入探讨.让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合 作”中增知,在“探究”中创新. ●教学流程 创设问题情境引入问题:人体内脂肪的含量与年龄之间有何关系? 引导学生结合必修一中函数图象的画法将对应点在坐标系中描出,观察比较,分析这些点的特征
∧ ∧

? ? ?

通过引导学生回答所提问题理解相关关系与散点图的概念进一步探究这些点的特征给出求b,a的公式 通过例1及变式训练使学生进一步理解和掌握线性相关的应用,及散点图与线性相关的关系

?通过例 2 及其变式训练,使学生掌握线性回归方程的求法?研究现实生活中的实际问题,应用本节知识完成例 3 及变式能够对总体进行估计? 归纳整理,进行课堂小结,整体把握本节知识 ? 完成当堂双基达标,巩固所掌握的知识,并进行反馈矫正

1.理解两个变量的相关关系的概念.(难点) 课标 解读 2.会作散点图,并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.(重点) 3.会求回归直线方程.(重点) 4.相关关系与函数关系.(易混点)

变量间的相关关系 【问题导思】 下表是水稻产量与施化肥量的一组观测数据: 施化肥量 水稻产量 1.将上述数据制成散点图. 【提示】 散点图如下: 15 320 20 330 25 360 30 410 35 460 40 470 45 480

2.施化肥量与水稻产量有关系吗? 【提示】 有关系. 1.相关关系:不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的,而是带有不确定性. 2.散点图:将样本中几个数据点(xi,yi)(i=1,2,?,n)描在平面直角坐标系中得到的图形. 3.正相关与负相关:散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,称它为正相关.若散点图中的点分布在从左上 角到右下角的区域内,对于两个变量的这种相关关系,称它为负相关.

回归直线方程 【问题导思】 一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会有缺陷.按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下: 转速 x(转/秒) 每小时生产有缺 16 11 14 9 12 8 8 5

陷的零件数 y(件) 1.在平面直角坐标系中作出散点图. 【提示】

2.从散点图中判断 x 和 y 之间是否具有相关关系? 【提示】 有. 3.若转速为 10 转/秒,能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数? 【提示】 可以.根据散点图作出一条直线,求出直线方程后可预测. 1.回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. 2.回归方程:回归直线对应的方程叫回归直线的方程,简称回归方程. 3.最小二乘法 求回归直线时,使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. 4.求回归方程 若两个具有线性相关关系的变量的一组数据为:(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),则所求的回归方程为











y =bx+a ,其中a,b为待定的参数,由最小二乘法得: - x y ? ? ?x - x ??y - y ? ?x y -n- ?b= = , - ?x -n x ? ? ?x - x ? ? ?a= y -b x .
n n


i=1

i

i

i=1

i i

n

i=1

i

2

n

i=1

2 i

2









b是回归直线斜率,a是回归直线在 y 轴上的截距.

线性相关关系的判断 以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格 y(单位:万元)和房屋面积 x(单位:m2)的数据: 房屋面积 x(m2) 销售价格 y(万元) (1)画出数据对应的散点图; (2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系?如果有相关关系,是正相关还是负相关? 【思路探究】 涉及两个变量房屋面积与销售价格,以房屋面积为自变量,考察销售价格的变化趋势从而做出判断. 【自主解答】 (1)数据对应的散点图如图所示: 115 24.8 110 21.6 80 19.4 135 29.2 105 22

(2)通过以上数据对应的散点图可以判断,新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系,且是正相关.

两个随机变量 x 和 y 相关关系的确定方法: 1.散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断. 2.表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断. 3.经验法:借助积累的经验进行分析判断.

5 个学生的数学和物理成绩如下表:

学生 成绩 学科 数学 物理 画出散点图,并判断它们是否具有线性相关关系. 80 70 75 66 70 68 65 64 60 62 A B C D E

【解】 以 x 轴表示数学成绩,y 轴表示物理成绩,可得相应的散点图如图所示,由散点图可知,两者之间具有线性相关关系,且是正相关.

求回归直线方程

一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 10 次试验,收集数据如下:

零件数 x(个) 加工时间 y(分) (1)y 与 x 是否具有线性相关关系?

10 62

20 68

30 75

40 81

50 89

60 95

70 102

80 108

90 115

100 122

(2)如果 y 与 x 具有线性相关关系,求 y 关于 x 的回归直线方程. 【思路探究】 画散点图→确定相关关系→ 求回归直线系数→写回归直线方程 【自主解答】 (1)画散点图如下:

由上图可知 y 与 x 具有线性相关关系. (2)列表、计算:

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi yi xiyi

10 62 620

20 68 160

30 75 250

40 81 340

50 89 4450

60 95 500

70 102 740

80 108 8 40

90 115 1050

100 122 12200

x =55, y =91.7,
2 ?=x2 i =38 500, ?yi =87 777, ?xiyi=55 950 i=1 i=1 10 10 10

i=1



i=1

?xiyi-10 x ?xi2-10 x


10

y
2

b=

10

55 950-10×55×91.7 = ≈0.668, 38 500-10×552

i=1


a= y -b x =91.7-0.668×55=54.96.


即所求的回归直线方程为: y =0.668x+54.96.

用公式求回归方程的一般步骤: 1.列表 xi,yi,xiyi; 2.计算 x , y ,∑ = x2 i ,∑ = xiyi;
i 1 i 1 n n





3.代入公式计算b、a的值; 4.写出回归方程.

从某一行业随机抽取 12 家企业,它们的生产产量与生产费用的数据如下表: 企业编号 产量 x/台 费用 y/万元 1 40 130 2 42 150 3 50 155 4 55 140 5 85 150 6 78 154 7 84 165 8 100 170 9 116 167 10 125 180 11 130 175 12 140 185

(1)绘制生产产量 x 和生产费用 y 的散点图; (2)如果两个变量之间是线性相关关系,请用最小二乘法求出其回归直线方程. 【解】 (1)两个变量 x 和 y 之间的关系的散点图如图所示.

(2)根据散点图可知,两个变量 x 和 y 之间的关系是线性相关关系.下面用最小二乘法求回归直线方程.

l xi yi xiyi x2 i

1 40 130 5200 1600

2 42 150 6300 1764


3 50 155 7750 2500
∧ ∧

4 55 140 7700 325

5 85 150 12750 7225

6 78 154 12012 6084

7 84 165 13860 7056

8 100 170 17000 10000

9 116 167 19372 13456

10 125 180 22500 15625

11 130 175 22750 16900

12 140 185 25900 19600

合计 1 045 1 921 173094 104835

x ≈87.08, y ≈160.1,n x 设所求的回归直线方程是 y = b x+ a ,

y =167 298.096,n x 2≈90 995.116 8



i=1

?xiyi-n x ?x2 i -n x
n 2

n

y

所以 b =

i=1

173 094-167 298.096 = 104 835-90 995.116 8 5 795.904 = ≈0.42, 13 839.883 2
∧ ∧

a = y - b x =160.1-0.42×87.08≈123.53.


所求的回归直线方程是 y =0.42x+123.53.

利用回归方程对总体进行估计

(12 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据: x y (1)请画出上表数据的散点图;
∧ ∧ ∧

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出回归方程y =bx+a; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨 标准煤?





【思路探究】 (1)以产量为横坐标,以生产能耗对应的测量值为纵坐标,在平面直角坐标系内画散点图;(2)应用计算公式求得线性相关系数b,a的 值;(3)实际上就是求当 x=100 时,对应的 y 的值. 【自主解答】 (1)散点图,如图所示.

(2)由题意,得 ?xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,
i=1

4

3+4+5+6 x= =4.5, 4 2.5+3+4+4.5 y= =3.5, 4

i=1

2 2 2 2 ?x2 i =3 +4 +5 +6 =86,

4

∧ 66.5-4×4.5×3.5 66.5-63 ∴b= = =0.7, 86-4×4.52 86-81 ∧ ∧

a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35,


故线性回归方程为y =0.7x+0.35. (3)根据回归方程的预测,现在生产 100 吨产品消耗的标准煤为 0.7×100+0.35=70.35(吨), 故耗能减少了 90-70.35=19.65(吨标准煤).

1.回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性. 2.只有当两个变量之间存在线性相关关系时,才能用回归直线方程对总体进行估计和预测.否则,如果两个变量之间不存在线性相关关系,即使由 样本数据求出回归直线方程,用其估计和预测结果也是不可信的.

炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时, 钢水含碳量 x 与冶炼时间 y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的几种对应数据如下表所示:

x(0.01%)

104

180

190

177

147

134

150

191

204

121

y(分)

100

200

21

185

155

135

170

205

235

125

(1)作出散点图,判断冶炼时间 y 对钢水含碳量 x 是否线性相关; (2)求回归直线方程; (3)预测当钢水含碳量为 160 个 0.01%时应冶炼多少分钟. 【解】 (1)以 x 轴表示含碳量,y 轴表示冶炼时间,可作散点图如图所示.

从图中可以看出,各点散布在一条直线附近,即它们线性相关. (2)列表如下:

i xi yi xiyi

1 104 100 10400

2 180 200 36000

3 190 210 39900

4 177 185 32745

5 147 155 22785

6 134 135 18090

7 150 170 25500

8 191 205 39155

9 204 235 47940

10 121 125 15125

x =159.8, y =172,

i=1
∧ ∧ ∧

?x2 i =265 448, ?xiyi=287 640
i=1

10

10

设所求的回归直线方程为 y =bx+a.



i=1

?xiyi-10 x ?xi2-10 x
10 2

10

y 287 640-10×159.8×172 = 265 448-10×159.82

b=

i=1

≈1.27,
∧ ∧

a= y -b x ≈172-1.27×159.8≈-30.95,


即所求的回归直线方程为y =1.27x-30.95.


(3)当 x=160 时,y =1.27×160-30.95≈172(分),

即大约冶炼 172 分钟.

数形结合在线性相关性中的应用 (12 分)下表数据是退水温度 x(℃)对黄硐延长性 y(%)效应的试验结果,y 是以延长度计算的,且对于给定的 x,y 为正态变量,其方 差与 x 无关. x(℃) y(%) (1)画出散点图; (2)指出 x,y 是否线性相关; (3)若线性相关,求 y 关于 x 的线性回归方程; (4)估计退水温度是 1 000 ℃时,黄硐延长性的情况. 【思路点拨】 根据所给数据画出散点图,然后可借助函数的思想分析. 【规范解答】 (1)散点图如图所示. 300 40 400 50 500 55 600 60 700 67 800 70

4分 (2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近,可见 y 与 x 线性相关. (3)列出下表,并用科学计算器进行有关计算. i xi yi xiyi x2 i 1 300 40 12000 90000 2 400 50 20000 160000 3 500 55 27500 250000 x =550, y =57, 4 600 60 36000 360000 5 700 67 46900 490000 6 800 70 56000 640000 5分

i=1

?x2 i =1 990 000, ?xiyi=198 400
i=1

6

6

于是可得:



i=1

?xiyi-6 x ?xi2-6 x
6 2

6

y 198 400-6×550×57 = 1 990 000-6×5502

b=

i=1

≈0.058 857,
∧ ∧

8分

a= y -b x =57-0.058 857×550=24.628 65.9 分


因此所求的线性回归方程为 y =0.058 857x+24.628 65. 10 分


(4)将 x=1 000 代入回归方程得y =0.058 857×1 000+24.628 65=83.486,即退水温度是 1 000 ℃时,黄硐延长性大约是 83.486%.

12 分

1.在研究两个变量是否存在某种关系时,必须从散点图入手,对于散点图,可以做出如下判断:(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,那么 就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系;(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,那么变量之间具有相关关系;(3)如果所 有的样本点都落在某一直线附近,那么变量之间具有线性相关关系. 2.利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系,体现了数形结合思想的作用,而用回归直线方程进行估计又体现了函数与方程思想的应用.

1.判断变量之间有无相关关系,一种简便可行的方法就是绘制散点图.根据散点图,可以很容易看出两个变量是否 具有相关关系,是否线性相关,是正相关还是负相关.

2.求回归直线方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系,无需进行相关性检验,否则应首先进行相关性检验,如果两个变量之间本身不具有相 关关系,或者说,它们之间的相关关系不显著,即使求出回归方程也是毫无意义的,而且用其估计和预测的量也是不可信 的.
∧ ∧ ∧ ∧

(2)用公式计算a,b的值时,要先算出b,然后才能算出a.
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

3.利用回归方程,我们可以进行估计和预测.若回归直线方程为y =bx+a,则 x=x0 处的估计值为y 0=bx0+a. 由于回归直线将部分观测值所反映的规律进行了延伸,所以它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用.

1.下列变量之间的关系是相关关系的是( A.正方体的表面积与体积 B.光照时间与果树产量 C.匀速行驶车辆的行驶距离与时间

)

D.中国足球队的比赛成绩与中国乒乓球队的比赛成绩 【解析】 A、C 是函数关系,D 无相关关系. 【答案】 B


2.设一个回归方程y =3+1.2x,则变量 x 增加一个单位时( A.y 平均增加 1.2 个单位 B.y 平均增加 3 个单位

)

C.y 平均减少 1.2 个单位 D.y 平均减少 3 个单位 【解析】 由 b=1.2>0,故选 A. 【答案】 A


3.若施化肥量 x(千克/亩)与水稻产量 y(千克/亩)的回归方程为y =5x+250,当施化肥量为 80 千克/亩时,预计水稻产量为亩产________千克左右.


【解析】 当 x=80 时,y =400+250=650. 【答案】 650 4.某公司利润 y(单位:千万元)与销售总额 x(单位:千万元)之间有如下表对应数据: x y (1)画出散点图; (2)判断 y 与 x 是否具有线性相关关系. 【解】 (1)散点图如下: 10 1 15 1.3 17 1.8 20 2 25 2.6 28 2.7 32 3.3

(2)由图可知,所有数据点接近直线排列,因此,认为 y 与 x 有线性相关关系,且为正相关.

一、选择题 1.判断下列图形中具有相关关系的两个变量是( )

【解析】 A、B 为函数关系,D 无相关关系. 【答案】 C 2.(2013· 广州高一检测)已知 x 与 y 之间的一组数据:

x y


0 1

1 3

2 5

3 7

4 9

则 y 与 x 的线性回归方程y =bx+a 必过点( A.(1,2) C.(2,5) D.(2.5,5) B.(5,2)

)

【解析】 线性回归方程一定过样本中心( x , y ). 0+1+2+3+4 1+3+5+7+9 由x= =2, y = =5. 5 5 故必过点(2,5). 【答案】 C 3.(2013· 长沙高一检测)某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)呈负相关,其回归方程可能是(
∧ ∧

)

A.y =-10x+200 B.y =10x+200
∧ ∧

C.y =-10x-200 D.y =10x-200 【解析】 由于 y 与 x 呈负相关,∴x 的系数为负, 又 y 不能为负值,∴常数必须是正值. 【答案】 A 4.两个相关变量满足如下关系:

x y 两变量的回归直线方程为(
∧ ∧

10 1 003

15 1 005

20 1 010

25 1 011

30 1 014

)

A.y =0.56x+997.4 B.y =0.63x-231.2
∧ ∧

C.y =50.2x+501.4 D.y =60.4x+400.7 【解析】 1 x = (10+15+20+25+30)=20, 5

1 y = (1 003+1 005+1 010+1 011+1 014)=1 008.6, 5 代入所给选项 A 符合. 【答案】 A 5.(2012· 湖南高考)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘


法建立的回归方程为y =0.85x-85.71,则下列结论中不正确 的是( ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg

)

D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 【解析】 由于线性回归方程中 x 的系数为 0.85,因此 y 与 x 具有正的线性相关关系,故 A 正确.又线性回归方程必过样本中心点( x , y ),因此 B 正确.由线性回归方程中系数的意义知,x 每增加 1 cm,其体重约增加 0.85 kg,故 C 正确.当某女生的身高为 170 cm 时,其体重估计值是 58.79 kg,而 不是具体值,因此 D 不正确.

【答案】 D 二、填空题 6.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数


据得到 y 对 x 的回归直线方程:y =0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加________万元.


【解析】 由于y =0.254x+0.321 知,当 x 增加 1 万元时,年饮食支出 y 增加 0.254 万元. 【答案】 0.254 7.某服装商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月平均气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表:

月平均气温 x(℃) 月销售量 y(件)


17 24

13 23

8 40

2 55

由表中数据算出线性回归方程中的b=-2.气象部门预测下个月的平均气温约为 6 ℃,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量约为________件. 【解析】 样本中心点是(10,35.5), - - 则a= y -b x =35.5-(-2)×10=55.5, 故线性回归方程为
∧ ∧ ∧

y =-2x+55.5, 将 x=6 代入得


y =-2×6+55.5 =43.5≈44.

【答案】 44 8.某公司的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有下列对应数据(由资料显示 y 与 x 呈线性相关关系):

x y
∧ ∧ ∧ ∧

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

根据上表提供的数据得到回归方程y =bx+a中的b=6.5,预测销售额为 115 万元时约需________万元广告费. 【解析】 1 x = (2+4+5+6+8)=5, 5

1 y = (30+40+60+50+70)=50, 5
∧ ∧ ∧

由b=6.5 知,a= y -b·x =50-6.5×5=17.5,
∧ ∧

∴ y =17.5+6.5x,当y =115 时,解得 x=15. 【答案】 15 三、解答题 9.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据:

产量 x(千件) 成本 y(万元) (1)画出散点图; (2)求成本 y 与产量 x 之间的线性回归方程.(结果保留两位小数)

2 7

3 8

5 9

6 12

【解】 (1)散点图如图所示.







(2)设 y 与产量 x 的线性回归方程为y =bx+a, 2+3+5+6 7+8+9+12 x= =4, y = =9, 4 4



i=1

?xiyi-n x ?xi2-n x
n 2

n

y

b=

i=1

?x1y1+x2y2+x3y3+x4y4?-4 x = 2 2 2 2 x1 +x2 2+x3+x4-4 x
∧ ∧

y

11 = =1.10, 10

a= y -b x =9-1.10×4=4.60.


∴回归方程为:y =1.10x+4.60. 10.高三(1)班的 10 名学生每周用于数学学习的时间 x(h)与数学成绩 y(分)之间有如下对应数据:

x y

24 92

15 79

23 97

19 89

16 64

11 47

20 83

16 68

17 71

13 59

如果 y 与 x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程.(保留 2 位小数) 【解】 列出下表,并用科学计算器进行有关计算.

i xi yi xiyi x= 17.4, y= 74.9,

1 24 92 2 208

2 15 79 1 185

3 23 97 2 231

4 19 89 1 691

5 16 64 1 024

6 11 47 517

7 20 83 1 660

8 16 68 1 088

9 17 71 1 207

10 13 59 767

i=1

?x2 i

10

=3 182,

i=1

?xiyi

10

=13 578



i=1

?xiyi-10 x ·y

i=1

10

b=

?x2 i -10 x


10

2

545.4 ≈3.53, 154.4



a= y -b x =74.9-3.53×17.4≈13.48,


∴所求的回归方程是y =3.53x+13.48. 11.某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:

年份 需求量(万吨)

2004 236

2006 246

2008 257

2010 276

2012 286

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程∧ y =∧ b x+∧ a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2014 年的粮食需求量. 【解】 (1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来求回归直线方程,先将数据预处理如下:

年份-2008

-4

-2

0

2

4

需求量-257 对预处理的数据,容易算得 x =0, y =3.2,


-21

-11

0

19

29

?-4?×?-21?+?-2?×?-11?+2×19+4×29 260 b= = =6.5, 40 42+22+22+42




a= y -b x =3.2.由上述计算结果,知所求回归直线方程为
∧ ∧

∧ y -257=b (x-2 006)+a=6.5(x-2 006)+3.2. 即∧ y =6.5×(x-2 006)+260.2. (2)利用所求得的回归方程,可预测 2014 年的粮食需求量为 6.5×(2 014-2 006)+260.2=6.5×8+260.2=312.2(万吨).

一般地,一个人的身高越高,他的手就越大.为了调查这一问题,对 10 名高三男生的身高与右手一拃长测量得如下数据(单位:cm): 168 170 171 172 身高 19.0 20.0 21.0 21.5 一拃长 (1)根据上述数据制作散点图,能发现两者有何近似关系吗? (2)如果两个变量近似成线性关系,求线性回归方程; (3)如果一个学生身高 185 cm,估计他的右手一拃长. 174 21.0 176 22.0 178 24.0 178 23.0 180 22.5 181 23.0





【思路探究】 作散点图→判断→求a,b →得回归方程→估计 【自主解答】 (1)以横轴表示身高,以纵轴表示一拃长,作散点图.

由散点图可以看出,各点散布在一条直线附近,即它们线性相关.
∧ ∧ ∧

(2)设线性回归方程为y =bx+a.
∧ ∧

用计算器计算可得b≈0.303,a≈-31.246,


∴回归方程为y =0.303x-31.246.


(3)当 x=185 时,y =24.809. 即一个学生身高 185 cm,估计他的右手一拃长 24.809 cm.

在 10 年间,某城市居民的年收入 x(万元)与某种商品的销售额 y(万元)之间的关系有如下数据: 1 城市居民年 收入 某商品销售 额 (1)画出散点图; 32.2 25.0 2 31.1 30.0 3 32.9 34.0 4 35.8 37.0 5 37.1 39.0 6 38.0 41.0 7 39.0 42.0 8 43.0 44.0 9 44.6 48.0 10 46.0 51.0

(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近,求 y 与 x 之间的回归直线方程. 【解】 (1)散点图如图所示:

(2)列表如下: i xi yi xiyi 1 32.2 25.0 805 2 31.1 30.0 933 3 32.9 34.0 1118.6 4 35.8 37.0 1324.6 5 6 37.1 38.0 39.0 41.0 1446.9 1558 - - x =37.97, y =39.1,
10 i=1

7 39.0 42.0 1 638

8 43.0 44.0 1892

9 44.6 48.0 2140.8

10 46.0 51.0 2346

i=1

?x2 i =14 663.67, ?xiyi=15 202.9

10



i=1 10

-- ?xiyi-10 x y

10

b=

i=1


?xi2-10 x


2

15 202.9-10×37.97×39.1 356.63 = = ≈1.447, 246.461 14 663.67-10×37.972

- - a= y -b x =39.1-1.447×37.97≈-15.843,

因此所求的回归直线方程是
∧ ∧ ∧

y =bx+a=1.447x-15.843.


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