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直线与平面平行的性质


青海昆仑中学教学设计学案
教学 内容 课 课 题 型

§2.4 直线与平面平行的性质
师生共同讨论课
掌握直线与平面平行的性质定理及其应用——解决实际问题,在证 明题中利用性质定理实现位置关系的转化 学生通过观察与类比,借助实物模型得到性质定理和探索其他的 一些性质,以及性质定理的应用。

教材分析

教 学 分 析

学生分析 中(高)考考 纲要求 知识培养点

掌握直线与平面平行的性质及其应用
:掌握平面和平面平行的性质定理,灵活运用面面平行的判定定理和 性质定理,掌握“线线、线面、面面”平行的转化. (1)进一步提高学生空间想象能力、思维能力。 (2)进一步体会类比的作用。 (3)进一步渗透等价转化的思想 激发学生学习的自信心、和积极性。培养学生不断发现、探索新 知的精神。提高观察问题、分析问题的能力。

教 学 目 标

能力培养点

德育渗透点

重 教学重点



直线与平面平行的性质

教 学 突 破
教学难点

确立依据

利用性质定理实现位置关系的转化





性质定理的证明和灵活运用

突破依据 总课时

让学生参与的主体地位、讨论中加深对知识的理解掌握

二课时 第一课时

课 时 安 排

2.4.1 直线与平面平行的性质 2.4.2 平面与平面平行的性质

课程侧重点

第二课时 第三课时

青海昆仑中学教学设计学案
教学方法 教学 策略 师生共同讨论法
学生通过观察与类比,借助实物模型得到性质定理和 探索其他的一些性质,以及性质定理的应用。

学法指点

教学手段

多媒体课件

课 后 反 思

本节“直线与平面的平行判定”是学生学习空间位置关系的判定与性质的第 一课,也是学生学习立体几何演绎推理论述的思维方式方法,因此,本节课 的学习对学生发展空间观念和逻辑思维能力是非常重要的。 本节课的设计遵循¨直观感知—操作确认—思辩论证¨的认识过程,注 重引导学生观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动,从多角度 认识直线与平面的平行的判定方法,让学生自主探究、合作交流,进一步认 识和掌握空间图形的性质,积累数学活动的经验,发展合情的推理,发展空 间观念与推理能力。

教 学 评 议

学科组 年级组 教学 检查 学校


教学互动 教学步骤 学生活动
一、 复 习回顾 思考回答






内 容 要 点

教师活动
板书课题 2.4.1 直线与平面平行的性质
1. 直线与直线位 a 置关系 2. 直线与平面平 b 行的判定方法: ⑴定义法; ? ⑵判定定理.线 线平行 ? 线面平行 a // b , b ? ? , a ? ? ? a // ? 。 1.思考问题: (1) 已知直线 a 与平面 ? 平行,那么直线 a 与平 面 ? 内的直线有什么位置关系? 异面或平行 (2) 什么条件下,平面 ? 内的直线与直线 a 平行 呢?若“不异面(共面)”必平行。 2.解决问题: 已知:直线 a∥ 平 面 ? ,

二、 定 理引入

学生观察、 引导学生观 思考 察、思考

a??

?



a

? ?? ?b,
求证:a∥b. 证 明 :

?

b

?? ? ? ? b , ?b ? ? , 又 ? a // ? ,
∴a 与 b 无公共点. 又∵ a ? ? , b ? ? ,即 a 与 b 共面, ∴ a∥b. (引导学生从直线与直线的位置关系以及直线与 平面平行的定义进行分析,找到命题和理由。 ) 三、性质定理及其运用 1.直线与平面平行的性质定理: (线面平行 ? 线 线平行) 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的 任一个平面与此平面的交线和该直线平行.

符号语言: a∥ ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a∥b. 2.直线与平面平行的性质定理的运用: 【例 1】 如图所示的一块木料中,棱 BC 平行于 面 A'C'. ⑴要经过面内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应 怎样画线? 解:⑴如图,在平面 A'C'内,作直线 EF//B'C',分 别交棱 A'B'、C'D'于点 E、F,连结 BE、CF, 下面证明 EF、BE、CF 为应画的线. BC// D' F 面 A'C' C'

三、例题讲 学生理解掌 教师分析指 解 握 导

BC ? 面BC' A'

P E D B' C B

? BC//B'C'
面BC'?面A' C ' ? B' C ' A
EF//B'C'

? BC//EF ? EF、BE、CF 共面.
则 EF、BE、CF 为应画的线. ⑵所画的线与平面 AC 是什么位置关系? 解:⑵ 由⑴,得 BC//EF, BC//EF BC ? 面AC ? EF//面 AC

EF ? 面AC
BE、CF 都与面相交. 总结:本题利用性质定理和判定定理实现了平行 关系的相互转化: 线面平行 ? 线线平行 ? 线面平行。 【 思 a 灯管 B 考】 教 A 室内的 日光灯 管所在 的直线 E F 与地面 地面 平行, 如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平 行? (学生讨论回答,可仿照例 1 找平行线——沿 灯绳在天花板上找平行线,再转化到墙面,再到 地面;或沿灯管两端垂下两条绳子,连接绳子在

练习回答

分析指导

地面的两个交点 E、F, 则 EF 满足要求,请学生说明) 3.直线与平面平行的性质的进一步思索: 【练习 1】 判断下列命题是否正确? ⑴若直线 a 与平面 ? 平行,则 a 与 ? 内任何直线 平行. (×) ⑵若直线 a、b 都和平面 ? 平行,则 a 与 b 平 行. (×) ⑶若直线 a 和平面 ? , ? 都平行,则 ? 与 ? 平 行. (×) ⑷若平面外的两条平行直线中的一条平行于这个 平面,则另一条也平行于这个平面. (√) 让学生分析,通过实物模型举反例说明命题 不成立,对真命题,引导学生将其转化为符号语 言,并证明,回到性质定理与判定定理的综合运 用。 【例 2】 若平面外的两条平行直线中的一条平行于 这个平面,则另一条也平行于这个平面. 已知:直线 a、 b,平面 ? ,且 a//b ,

理解掌握

分析指导

a // ? , b ? ?
。 求证:b// ? 。 , 证明:过 a 作 平面 ? ,且 a a
? ?

b b

c c

? ?? ? c ,
a // ?

? ?

a??
? ?? ? c

? a//c
a//b

练习回答

分析讲授

【练习 2】 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 是面 AA1D1D 的中心,点 Q 是 B1D1 上一 点,且 PQ//面 AB1,则线段 PQ 长为 解析:连结 AB1、AD1,
2 2

? b//c c ?? b ?? ,

? b// ? 。



∵点 P 是面 AA1D1D 的中心, ∴点 P 是 AD1 的中 点, ∵ PQ//面 AB1,

D1 Q A1 P, D A B B1

C1

PQ ? 面D1 AB1 ,
面D1 AB1 ? 面AB1 ? AB1

C

, ∴

PQ//AB1



四、课时小 理解掌握 结:

归纳总结

? PQ ?

1 AB1 ? 2 . 2 2

点评:已知直线与平面平行时,要利用这个已知 条件,往往需要利用性质定理构造过这条直线的 平面,找到两个面的交线,将“线面平行”转化 得到“线线平行” ,再进一步解决问题。 1.直线与平面平行的性质定理 a∥ ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a∥b. 性质定理的运用. 2.判定定理与性质定理展示的数学思想方法: ⑴判定定理.线线平行 ? 线面平行。 ⑵性质定理.线面平行 ? 线线平行。 3.对直线与平面平行的性质的进一步探索.

板书设计:
2.4.1 直线与平面平行的性质 1.直线与平面平行的判定方法: ⑴定义法; ⑵判定定理.线线平行 ? 线面平行 2.性质定理及其运用 3.例题讲解: 例 1 例2 4.课堂练习:练习 1 练习 2 5.课时小结:


教学互动 教学步骤






内 容 要 点

学生活动 教师活动 课 题
思考回答 板书 提问 2.4.2 平面与平面平行的性质
一、复习准备: 1.提问:线面平行、面面平行判定定理的符号语 言?线面平行性质定理的符号语言? 2. 讨论:两个平面平行,那么一个平面内的直线 与另一个平面内的直线有什么关系?

复习提问

讲授新课

学生观察、 引 导 学 生 思考

二、讲授新课:

观察、 思考 1. 教学面面平行性质定理:
① 讨论:两个平面平行,其中一个平面内的直线 与另一个平面有什么位置关系? 两个平面内的直线有什么位置关系? 当第三个平面和两个平行平面都相交, 两条交线有什么关系?为什么? ② 提出性质定理:两个平行平面同时和第三个平 面相交,那么它们的交线平行。 ③ 用符号语言表示性质定理:

?∥? ? a∥b ? ? ? =a,? ? ? =b
④ 讨论性质定理的证明思路.

?

? ?

A

D

B

C

⑤ 出示例 2:求证:夹在两个平行平面间的两条 平行线的长相等. →首先要将文字语言转化为符号语言和图形语 言: 已知: ? // ? , AB , CD 是夹在两个平行平面

? , ? 间的平行线段,求证: AB ? CD .
→ 分析:利用什么定理?(面面平行性质定理) 关键是如何得到第三个相交平面

例题讲解

理解掌握

分 析 指 导 2. 教学例题: 讲授
① 出示例 3:已知 l , m 是两条异面直线, l // 平面

? , l // 平面 ? , m // 面 ? , m // 平面 ? ,

求证: ? // ? . 讨论: 如何将符号语言 转化为图形语言? → 如何作辅助平 面? → 师生共同完成

a
?

b

② 练习:若 ? // ? , ? // ? , 求证: ? // ? .

a? b? ? a?? ? b??

(试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板 演) 在平面 ? 内取两条相交直线 a , b , 分别过 a , b 作平面 ? , ? ,使它们分别与平面 ? 交于两相交直线 a?, b? , ∵ ? // ? ,∴ a // a?, b // b? , 又∵ ? // ? ,同理在平面 ? 内存在两相交直线

a??, b?? ,使得 a? // a??, b? // b?? ,

课时小结

师生共同归 教师总结 纳 练习巩固 辅导指正

∴ a // a??, b // b?? , ∴ ? // ? 3. 小 结 : 面 面 平 行 的 性 质 定 理 及 其 它 性 质 ( ? // ? , a ? ? ? a // ? ) ;转化思想. 三、巩固练习: 1、 已知 l , m 是两条异面直线,l // 平面 ? ,l // 平 面 ? , m // 面 ? , m // 平面 ? ,求证: ? // ? . 2、教材 P61 面的练习。

课堂练习



业 布



预 习 内 容

线与面、面与面垂直的判定及性质 试比较平面几何中角的概念与二面角概念 求作二面角平面角注意什么?有何方法? 线面角、二面角的范围是什么?

基 础 性 作 业

P22 6、7、8

巩 固 作 业 强 化 性 作 业

1. 已知 ? ? ? ? a , ? ? ? ? m , ? ? ? ? b ,且 m//? ,求证: a//b . 2. 已知: ? ? ? ? b , a//? , a//? ,则 a 与 b 的位置关系是( )

A. a//b B. a ? b C. a , b 相交但不垂直 D. a , b 异面 F 3. 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点,E , 分别是 PA ,BD 上的点且 PE∶EA ? BF ∶FD ,求证: EF// 平面 PBC .

拓 展 性 作 业

1.如图,长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E1F 是平面 AC1 上的线段,求证: 1 1 1

E1F1// 平面 AC .
2.已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 为 PB 的中点, 求证: PD// 平面 MAC .


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