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高二必修5+选修1-1综合训练四


期末综合训练四
一,选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题: 目要求的.学科网 1. x > 1 "是" x > x "的( ) " A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2

2.在 ABC 中,已知 a + b = c +
2 2 2 0 0

2ab ,则 ∠C = ( ) 0 0 A. 30 B. 45 C. 150 D. 135 3.等差数列{an}中,已知前 15 项的和 S15 = 90 ,则 a8 等于( ) .
45 2
B.12 C.

A.

45 4

D.6

4.在 ABC 中, a = 80, b = 100, A = 45° ,则此三角形解的情况是( ) A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 5. 对 于 任 意 实 数 a , b , c , d , 命 题 ① 若a > b, c ≠ 0, 则ac > bc ; ② 若a > b, 则ac 2 > bc 2 ③

1 1 若ac 2 > bc 2 , 则a > b ;④ 若a > b, 则 < ;⑤ 若a > b > 0, c > d , 则ac > bd .其中真命题的个数是 a b
( ) A.1 B.2 C.3 2 函数 y=2x +3x 在 x=1 时的导数为 ( A.5 B.6 C.7
2

D.4 ) D.8 D. 4,0) () D.

6. 抛物线 y = 8 x 的焦点坐标是( ) A. (2,0) B. 2,0) (C. (4,0) 7. 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an = A.1 8. 双曲线 B.

5 6

1 ,则 S5 等于( n(n + 1) 1 C. 6

1 30

x2 y 2 =1 的焦点到渐近线的距离为( ) 4 12 B.2 C. 3 A. 2 3 2 9.若 a, b, c 成等比数列,则关于 x 的方程 ax + bx + c = 0 (

D.1 )

A.必有两个不等实根 B.必有两个相等实根 C.必无实根 D.以上三种情况均有可能 10. 已知一个等比数列首项为 1,项数是偶数,其奇数项之和为 85,偶数项之和为 170,则这个数列的公 比和项数分别为( ) A.8,2 B.2,4 C.4,10 D.2,8 11.设定点 M ( 3, 2 ) 与抛物线 y 2 = 2 x 上的点 P 的距离为 d1 ,P 到抛物线焦点 F 的距离为 d 2 , d1 + d 2 取 则 最小值时, P 点的坐标为( A. ( 0, 0 ) 12.若椭圆 ) . B. 1, 2

(

)

C. ( 2, 2 )

D. ,

1 8

1 2

x2 y2 x2 y2 + = 1(m > n > 0) 和双曲线 = 1(a > 0,b > 0) 有相同的左,右焦点 F1 , F2 ,P m n a b 是两条曲线的一个交点,则 | PF1 | | PF2 | 的值是( ) .
B.

A. m a

1 (m a) 2

2 2 C. m a

D. m

a.

二,填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填写在题中横线上. 填空题:

13.不等式

x2 ≤ 0 的解集是_________________. x +1 x + y 2 ≥ 0, 则 s = x + y 的最大值为 14.若实数 x, y 满足 x ≤ 4, y ≤ 5,

.

15.数列 an 的前 n 项和 S n = 3n 2n + 1, 则它的通项公式是__________.
2

{ }

16.若椭圆

x2 y 2 3 + = 1 的离心率等于 ,则 m = ____________. 4 m 2

三,解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题 17.在△ ABC 中,已知 a,b,c 分别是三内角 A , B , C 所对应的边长,且 b 2 + c 2 a 2 = bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sin 2 A + sin 2 B = sin 2 C ,试判断△ABC 的形状并求角 B 的大小. 解: (Ⅰ)在△ABC 中,由余弦定理得: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A

b2 + c 2 a2 ∴ cos A = ,………………………………………………………2 分 2bc 1 又∵ b 2 + c 2 a 2 = bc. ∴ cos A = , ………………………………………………………5 分 2 π ∵ 0< A<π ∴A= …………6 分 3
(Ⅱ)∵ sin 2 A + sin 2 B = sin 2 C ,由正弦定理得

即: a 2 + b 2 = c 2 又 A = π , ∴ B = π …………………………………………………………12 分
3 6

a2 b2 c2 …………8 分 + = 4R2 4R2 4R2 故△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形……………10 分

18.解关于 x 的不等式 ax -(a+1)x+1<0. 解析:当 a=0 时,不等式的解为 x>1;当 a≠0 时,分解因式 a(x- 1 )(x-1)<0 a 1 )(x-1)>0,不等式的解为 x>1 或 x< 1 ; 当 a<0 时,原不等式等价于(x- a a 1 ,不等式的解为 1<x< 1 ; 当 0<a<1 时,1< a a 1 <1,不等式的解为 1 <x<1; 当 a>1 时, a a 当 a=1 时,不等式的解为 φ. 综上,当 a=0 时,解为{x|x>1}; 当 a<0 时,解为{x|x>1 或 x< 1 }; a 当 0<a<1 时,解为{x| 1<x< 1 }; a 当 a=1 时,不等式的解为 φ; 当 a>1 时,解为{x| 1 <x<1}. a 2 19.围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的 旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙 墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示,已知旧墙 用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙长度 m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元). (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.

2

一面利用 对面的新 的维修费 为 x(单位:

20.设函数 f ( x ) = ax

b ,曲线 y = f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 7 x 4 y 12 = 0 . x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)证明:曲线 y = f ( x) 上任一点处的切线与直线 x = 0 和直线 y = x 所围成的三角形面积为定值,并 求此定值. 解: (Ⅰ)方程 7 x 4 y 12 = 0 可化为 y = 当 x = 2 时, y = 又 f ′( x ) = a +

7 x 3. 4

1 . 2 分 2

b , x2 b 1 2a = , a = 1, 2 2 于是 解得 b = 3. a + b = 7 , 4 4 3 故 f ( x) = x . 6 分 x 3 (Ⅱ)设 P ( x0,y0 ) 为曲线上任一点,由 y′ = 1 + 2 知曲线在点 P ( x0,y0 ) 处的切线方程为 x 3 y y0 = 1 + 2 ( x x0 ) , x0

3 3 = 1 + 2 ( x x0 ) . x0 x0 6 6 令 x = 0 得 y = ,从而得切线与直线 x = 0 的交点坐标为 0, . x0 x0
即 y x0 令 y = x 得 y = x = 2 x0 ,从而得切线与直线 y = x 的交点坐标为 (2 x0,x0 ) . 10 分 2 所以点 P ( x0,y0 ) 处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形面积为



1 6 2 x0 = 6 . 2 x0 故曲线 y = f ( x) 上任一点处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6 .
21.已知数列 {an } 中, a1 = 1 , an +1 = 2an + 3 ,数列 {bn } 中, b1 = 1 ,且点 ( bn +1 , bn ) 在直线 y = x 1 上. 12 分

(Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式;

(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式;

所以 {an + 3} 是首项为 a1 + 3 = 4 ,公比为 2 的等比数列. 所以 an + 3 = 4 × 2
n 1

解:(Ⅰ)由 an +1 = 2an + 3 得 an +1 + 3 = 2 ( an + 3)

(Ⅲ)若 cn = an + 3 ,求数列 {bn cn } 的前 n 项和 Sn .

(Ⅱ)因为 ( bn +1 , bn ) 在直线 y = x 1 上,

= 2 n +1 ,故 an = 2n +1 3

故数列 {bn } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 所以 bn = n (Ⅲ) cn = an + 3 = 2
2 n+1 3

所以 bn = bn +1 1 即 bn +1 bn = 1 又 b1 = 1

3 + 3 = 2n+1 故 bn cn = n 2n +1
4 n +1

所以 S n = 1× 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + + ni 2 故 2Sn =
2

1× 23 + 2 × 24 + + ( n 1)i2n +1 + ni2n + 2
3 4 n +1

相减得 S n = 2 + 2 + 2 + + 2 所以 S n = ( n 1)i2 22.已知椭圆 C :
n+ 2

n i2

n+ 2

=

4 ( 2n 1) 2 1

ni2n + 2 = (1 n ) 2n + 2 4

+4

3 x2 y2 1 + = 1(a > b > 0), 过点 ( 3, ) 离心率 e = , 2 a 2 b2 2

(1)求椭圆方程; (2)若过点 (1, 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆过原点,试求直线 l 的方程.
1 3 解: (1) 2 + 42 = 1 ,……………………………………(1 分) a b

c a2 b2 3 = = ,……………………………………(3 分) a a 2 解得 a = 2, b = 1 ,…………………………………………………(5 分) e=
x2 ∴ 椭圆方程: + y 2 = 1. ……………………………………(6 分) 4 (2)由题义得 OA ⊥ OB ,……………………………(7 分) L : y = k ( x 1). x = 1不适合故L必存在斜率) ……………(8 分) (直线 x2 + y 2 = 1. 得: (1 + 4k 2 ) x 2 8k 2 x + 4(k 2 1) = 0 ①………(9 分) 4 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y2 ), 则x1 x2 + y1 y2 = 0 …………………………(10 分)
代入

即x1 x2 + k 2 [ x1 x2 ( x1 + x2 ) + 1] = 0

②…………………………(11 分)


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