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(考试必备)内蒙古包头一中2011年高考第一次模拟数学理

内蒙古包头一中 2011 年高考第一次模拟考试

数 学 试 题(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分
2 1.若集合 A ? x x ? x ? 2 ? 0 , B ? ? x

?

?

? 2x ?1 ? ? 0? ,则 A B 是 ? 3? x ?
B. x 2 ? x ? 3





A. ? x ? 1 ? x ? ? 或2 ? x ? 3?

? ?

1 2

? ?

?

?
1? 2?
( )

C. ? x ?

? ?

1 ? ? x ? 2? 2 ?

D. ? x ? 1 ? x ? ? ?

? ?

2.函数 f ( x) ? x | x | ?2 x ( x ? 0) 的反函数为 A. 1 ? 1 ? x ( x ? 0) C. 1 ? 1 ? x ( x ? 0) 3.已知 0 ? a ? 1 , x ? loga 则 A. x ? y ? z B. 1 ? 1 ? x ( x ? 0) D. 1 ? 1 ? x ( x ? 0)

1 2 ? loga 3 , y ? log a 5 , z ? loga 21 ? loga 3 , 2
( ) C. y ? x ? z D. z ? x ? y

B. z ? y ? x

? y ? x ? 1 ≤ 0, ? 4.已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 3 x ? 1 ≤ 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? x ? 1≥ 0, ?
A. 4 B. 2 C. 1 D. ? 4 5.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 81,则 a2 ? a5 ? a8 ? A.26 B.27 C.28 D.29









6.已知 a, b 是非零向量且满足 (3a ? b) ? a, (4a ? b) ? b ,则 a与b 的夹角是 A.





? 6

B.

? 3

C.

2? 3
0

D.

5? 6

7.如图, A1B1C1 ? ABC 是直三棱柱, ?BCA ? 90 ,点 D1 、 F 1 分别是 A 1B 1 、 AC 1 1 的中

点,若 BC ? CA ? CC1 ,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是





A.

30 10

B.

1 2

C.

3 2

D.

15 10

8.为得到函数 y ? cos(2 x ? A.向右平移 C.向右平移

?
3

) 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像
B.向左平移





5? 个长度单位 6

5? 个长度单位 6

5? 5? 个长度单位 D.向左平移 个长度单位 12 12 9.设地球是半径为 R 的球,地球上 A、B 两地都在北纬 45°的纬线上,A 在东经 20°、B 在东经 110°的经线上,则 A、B 两地的球面距离是 ( )
A.

4 ?R 3

B.

2 ?R 3

C.

1 ?R 3

D.

5 ?R 3

10. y ?

2 ? cos x ? 在点 ( , 3) 处的切线与直线 x ? ay ? 1 ? 0垂直 , sin x 3
( B. ? )

则a为
A. 0

3 8

C.

3 8

D. ?

8 3
0

11. 若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形, 另外两个侧面都是有一个内角为 60 的菱形, 则该棱柱的体积等于 A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 4 2 ( )

12.已知双曲线

x2 y2 ? ? ? 1 ( ? ? ? ? ) 的右焦点为 F,P 是右支上任意一点,以 P 2 2 cos ? sin ? 2


为圆心,PF 长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于 PF ,则 ? 的值为 ( A.

? 6

B.

3? 4
2

C.

5? 6

D.

2? 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.设直线 a x-y+3=0 与圆 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 4 相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为
2

2 3 ,则 a =
14. 若x ? 3,则



f ( x) ?

4 ? x 的最大值是 x?3



15.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ,若

S6 S ? 3, 则 9 ? S3 S6



16.过抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 30 的直线,与抛物线分别交 A 、 B 两 点( A 在 y 轴左侧) ,则

AF FB

?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17. (本小题满分 10 分) 求函数

y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cosx ? cos4 x 的最小正周期和最小值;并写出

该函数在 [0, ? ] 上的单调递增区间

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , a ? c ? b ?
2 2 2

1 ac . 2

A?C ? cos 2 B 的值; 2 (2)若 b ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值.
(1)求 sin
2

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC ? 底面 BCDE ,

BC ? 2 , CD ? 2 , AB ? AC .
(1)证明: AD ? CE ; (2)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 ,求二面角 C ? AD ? E 的大小. A

B

E

C

D

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,3, (1)设 bn ? an ?1 ? 2an (n ? 1,2,

), a1 ? 1.

), 求证:数列 ?bn ? 是等比数列;

(2)设 cn ?

an (n ? 1, 2, 2n

), 求证:数列 ?cn ? 是等差数列;

(3)求数列 ?an ? 的通项公式及其前 n 项和.

21. (本小题满分 12 分) 已知方向向量为 v ? 1, 3 的直线l过点 0,?2 3 和椭圆C :

?

?

?

?

x2 y2 ? ?1 a2 b2

?a ? b ? 0?的右焦点,且椭圆的离心率为
(1)求椭圆 C 的方程;

6 . 3

(2)若已知点 D(3,0) ,点 M,N 是椭圆 C 上不重合的两点,且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ?

1 ? ln x x
1 ) 上存在极值,求正实数 a 的取值范围; 2
f ( x) ? k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1

(1)若函数在区间 ( a, a ?

(2)当 x ? 1时,有不等式

(3)求证:

??n ? 1?!?2 ? ?n ? 1?en?2 ?n ? N * ?

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 题号 答案 D 1 A 2 C 3 B 4 B 5 A 6 A 7 D 8 C 9 10 A 11 B 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13 0 . 14 -1 . 15 7/3 . 16 1/3 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 17. (本小题 10 分)

解 : y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos4 x ? (sin 2 x ? cos2 x)(sin2 x ? cos2 x) ? 3 sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ). 6
1 3 5 6

?

故该函数的最小正周期是 ? ;最小值是-2; 单增区间是 [0, ? ], [ ? , ? ] 18. (本小题 12 分)解: (Ⅰ)由余弦定理: cos B ?

1 4

sin 2

A?C ? B ? cos 2 B ? sin 2 ( ? ) ? 2 cos 2 B ? 1 2 2 2 B ? cos 2 ? 2 cos 2 B ? 1 2 1 ? cos B ? ? 2 cos 2 B ? 1 2 1 ?? 4

(Ⅱ) 由 cos B ?

1 15 1 2 2 2 , 得 sin B ? . w. w. ^w. . c. ∵ b ? 2 , 、a ? c ? b ? ac 2 4 4

2 2 ∴a ?c ?

8 1 1 ac ? b 2 ? ac ? 4 ? 2ac ,从而 ac ? 3 2 2

故 S?ABC ?

1 15 (当且仅当 a ? c 时取等号)w.w.^w.k.s.5* ac sin B ? 2 3

19. (本小题 12 分)解: (1)取 BC 中点 F ,连接 DF 交 CE 于点 O , AB ? AC ,? AF ? BC , 又面 ABC ? 面 BCDE ,? AF ? 面 BCDE , ? AF ? CE .

tan ?CED ? tan ?FDC ?

2 , 2

? ?OED ? ?ODE ? 90 ,??DOE ? 90 ,即 CE ? DF ,
? CE ? 面 ADF ,? CE ? AD . (2)在面 ACD 内过 C 点作 AD 的垂线,垂足为 G . CG ? AD , CE ? AD ,? AD ? 面 CEG ,? EG ? AD , 则 ?CGE 即为所求二面角的平面角.

CG ?

6 30 AC CD 2 3 2 2 , DG ? , EG ? DE ? DG ? , ? 3 3 AD 3

CG 2 ? GE 2 ? CE 2 10 , ?? CE ? 6 ,则 cos ?CGE ? 2CG GE 10
? 10 ? ? 10 ? ??CGE ? π ? arccos ? ,即二面角 C ? AD ? E 的大小 π ? arccos ? ? ? 10 ? ? 10 ? ? ? ? ? ?
法二:向量法 20. (本小题 12 分)

an ? ?3n ? 1? ? 2
x y ? ?1 6 2
2 2

n ?2

sn ? ?3n ? 4? ? 2

n?1

A

?2

21. (本小题 12 分)

? ? 5 ? 2 6,1 ? 1,5 ? 2 6

?

? ?

?
C

B F

G

E D

O
19 题图

22. (本小题 12 分)

?1 ? a ? ? ,1? ?2 ?

k?2


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