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2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1【配套备课资源】第二章 2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)


2.2.2
一、基础过关

双曲线的简单几何性质(二)

1.过双曲线 x2-y2=4 的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,则 AB 的长为 ( A.2 B.4 C.8 D.4 2 ( A.0 ) )

2.过双曲线的一个顶点 A 作直线 l,若 l 与双曲线只有一个公共点,则这样的直线 l 有几条 B.1 C.3 D.4 x2 y2 x2 y2 3.已知椭圆 + =1 和双曲线 2- =1(m>0)有相同的焦点,那么双曲线的渐近线方程是 9 5 m 3 ( A.3x± y=0 B.x± 3y=0 )

C. 3x± y=0 D.x± 3y=0 x2 y2 c 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的半焦距为 c,若原点到直线 bx+ay=ab 的距离为 ,则 a b 2 双曲线的离心率 e 等于 A. 2 ( ) B.2 C.2 2 D.4 x2 y2 5.过双曲线 2- 2=1 的左焦点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M,N 两点,且双曲 a b 线的右顶点 A 满足 MA⊥NA,则双曲线的离心率等于________. 6.已知点(x,y)在双曲线 4x2-y2=16 上,则 y2+8x 的最小值为________. x2 y2 7.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则 a b 双曲线离心率的取值范围为________. 二、能力提升 y2 → → → 8.设 F1、F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点.若 P 在双曲线上,且PF1· PF2=0,则|PF1 9 → +PF2|等于 ( ) B. 5 C.2 10 D. 10 x2 y2 y2 2 9.已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x - =1 有公共的焦点,C2 的一条渐近线 a b 4 与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 ( ) 2 13 2 A.a = B.a =13 2 1 C.b2= D.b2=2 2 y2 10.已知双曲线方程 x2- =1,过点 A(0,1)作直线 l 交双曲线于 P1、P2 的不同两点,若线段 2 1 P1P2 的中点在直线 x= 上,求 l 的斜率 k 的值. 2 11.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的一个焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两 点,且 AB 的中点为 N(-12,-15).求双曲线 E 的方程. A.2 5

三、探究与拓展 12.直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.

答案
1.B 2.C 3.C 4.A 5.2 6.-16 7.(1,3] 8.C 9.C 10.解 设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0). y=kx+1, ? ? 由? 2 y2 ?x - 2 =1, ? 得(2-k2)x2-2kx-3=0. 2-k ≠0, ? ? 2 2 ∴?Δ=4k -4?2-k ??-3? ? ?=-8k2+24>0. 解得- 3<k< 3,且 k≠± 2. 1 ∵P1P2 的中点在直线 x= 上. 2 -k 1 1 ∴ (x1+x2)= 2 = , 2 k -2 2 ∴k=-1± 3. ∵- 3<k< 3,且 k≠± 2. x2 y2 11.解 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由题意知 c=3,a2+b2=9. a b 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x2 y2 1 1 2- 2=1, a b ∴k=-1+ 3.
2

? ?x y ?a -b =1,
2 2 2 2 2 2

y1-y2 b2?x1+x2? 两式作差得 = x1-x2 a2?y1+y2? -12b2 4b2 = = 2. -15a2 5a -15-0 又直线 AB 的斜率是 =1, -12-3 所以 4b2=5a2,代入 a2+b2=9 得 a2=4,b2=5, x2 y2 所以双曲线的标准方程是 - =1. 4 5 12.解 (1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 后,整理得(k2-2)x2+ 2kx+2=0①, 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,

? ?Δ=?22kk? -8?k -2?>0, ∴?- >0, k -2 2 ? >0, ?k - 2
2 2 2 2

k2-2≠0,

解得 k 的取值范围为{k|-2<k<- 2}. (2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 2k 2 则由①得 x1+x2= ,x x = ,② 2-k2 1 2 k2-2 假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0), 则由 FA⊥FB,得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0. 即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0. 整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0,③ 6 把②式及 c= 代入③式, 2 化简得 5k2+2 6k-6=0. 6+ 6 6- 6 解得 k=- 或 k= D∈/(-2,- 2)(舍去). 5 5 6+ 6 可知存在 k=- 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点. 5


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